Analysis Beispiele

$f (x) = (x - 4) e^{- 3 x}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x - 4$ und $g (x) = e^{- 3 x}$ .

$(x - 4) \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}] + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x - 4]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - 3 x$ .

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Schritt 1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- 3 x$ .

$(x - 4) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 3 x]) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x - 4]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$(x - 4) (e^{u} \frac{d}{d x} [- 3 x]) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x - 4]$

Schritt 1.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $- 3 x$ .

$(x - 4) (e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [- 3 x]) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x - 4]$

Schritt 1.1.3

Differenziere.

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x - 4) e^{- 3 x} (- 3 \frac{d}{d x} [x]) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x - 4]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(x - 4) e^{- 3 x} (- 3 \cdot 1) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x - 4]$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.3.3.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$(x - 4) e^{- 3 x} \cdot - 3 + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x - 4]$

Schritt 1.1.3.3.2

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $(x - 4) e^{- 3 x}$ .

$- 3 \cdot ((x - 4) e^{- 3 x}) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x - 4]$

Schritt 1.1.3.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$- 3 (x - 4) e^{- 3 x} + e^{- 3 x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Schritt 1.1.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 3 (x - 4) e^{- 3 x} + e^{- 3 x} (1 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Schritt 1.1.3.6

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 3 (x - 4) e^{- 3 x} + e^{- 3 x} (1 + 0)$

Schritt 1.1.3.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.3.7.1

Addiere $1$ und $0$ .

$- 3 (x - 4) e^{- 3 x} + e^{- 3 x} \cdot 1$

Schritt 1.1.3.7.2

Mutltipliziere $e^{- 3 x}$ mit $1$ .

$- 3 (x - 4) e^{- 3 x} + e^{- 3 x}$

Schritt 1.1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(- 3 x - 3 \cdot - 4) e^{- 3 x} + e^{- 3 x}$

Schritt 1.1.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- 3 x e^{- 3 x} - 3 \cdot - 4 e^{- 3 x} + e^{- 3 x}$

Schritt 1.1.4.3

Vereine die Terme

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Schritt 1.1.4.3.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 4$ .

$- 3 x e^{- 3 x} + 12 e^{- 3 x} + e^{- 3 x}$

Schritt 1.1.4.3.2

Addiere $12 e^{- 3 x}$ und $e^{- 3 x}$ .

$- 3 x e^{- 3 x} + 13 e^{- 3 x}$

Schritt 1.1.4.4

Stelle die Terme um.

$- 3 e^{- 3 x} x + 13 e^{- 3 x}$

Schritt 1.1.4.5

Stelle die Faktoren in $- 3 e^{- 3 x} x + 13 e^{- 3 x}$ um.

$f' (x) = - 3 x e^{- 3 x} + 13 e^{- 3 x}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 3 x e^{- 3 x} + 13 e^{- 3 x}$ .

$- 3 x e^{- 3 x} + 13 e^{- 3 x}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 3 x e^{- 3 x} + 13 e^{- 3 x} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- 3 x e^{- 3 x} + 13 e^{- 3 x} = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $e^{- 3 x}$ aus $- 3 x e^{- 3 x} + 13 e^{- 3 x}$ heraus.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $e^{- 3 x}$ aus $- 3 x e^{- 3 x}$ heraus.

$e^{- 3 x} (- 3 x) + 13 e^{- 3 x} = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere $e^{- 3 x}$ aus $13 e^{- 3 x}$ heraus.

$e^{- 3 x} (- 3 x) + e^{- 3 x} \cdot 13 = 0$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere $e^{- 3 x}$ aus $e^{- 3 x} (- 3 x) + e^{- 3 x} \cdot 13$ heraus.

$e^{- 3 x} (- 3 x + 13) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$e^{- 3 x} = 0$

$- 3 x + 13 = 0$

Schritt 2.4

Setze $e^{- 3 x}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $e^{- 3 x}$ gleich $0$ .

$e^{- 3 x} = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $e^{- 3 x} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{- 3 x}) = \ln (0)$

Schritt 2.4.2.2

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (0)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 2.4.2.3

Es gibt keine Lösung für $e^{- 3 x} = 0$

Keine Lösung

Schritt 2.5

Setze $- 3 x + 13$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $- 3 x + 13$ gleich $0$ .

$- 3 x + 13 = 0$

Schritt 2.5.2

Löse $- 3 x + 13 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.2.1

Subtrahiere $13$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 x = - 13$

Schritt 2.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- 3 x = - 13$ durch $- 3$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 3 x = - 13$ durch $- 3$ .

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 13}{- 3}$

Schritt 2.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

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Schritt 2.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 13}{- 3}$

Schritt 2.5.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 13}{- 3}$

Schritt 2.5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.2.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{13}{3}$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $e^{- 3 x} (- 3 x + 13) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{13}{3}$

Schritt 3

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $\frac{13}{3}$ .

$\frac{13}{3}$

Schritt 4

Nach dem Auffinden des Punktes, der die Ableitung $f' (x) = - 3 x e^{- 3 x} + 13 e^{- 3 x}$ gleich $0$ oder undefiniert macht, ist das Intervall, in dem geprüft werden muss, wo $f (x) = (x - 4) e^{- 3 x}$ ansteigt und abfällt, gleich $(- \infty, \frac{13}{3}) \cup (\frac{13}{3}, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{13}{3}) \cup (\frac{13}{3}, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, \frac{13}{3})$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{10}{3}$ .

$f' (\frac{10}{3}) = - 3 (\frac{10}{3}) \cdot e^{- 3 (\frac{10}{3})} + 13 e^{- 3 (\frac{10}{3})}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$f' (\frac{10}{3}) = 3 (- 1) (\frac{10}{3}) \cdot e^{- 3 (\frac{10}{3})} + 13 e^{- 3 (\frac{10}{3})}$

Schritt 5.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (\frac{10}{3}) = 3 \cdot (- 1 (\frac{10}{3})) \cdot e^{- 3 (\frac{10}{3})} + 13 e^{- 3 (\frac{10}{3})}$

Schritt 5.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (\frac{10}{3}) = - 1 \cdot 10 \cdot e^{- 3 (\frac{10}{3})} + 13 e^{- 3 (\frac{10}{3})}$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $10$ .

$f' (\frac{10}{3}) = - 10 \cdot e^{- 3 (\frac{10}{3})} + 13 e^{- 3 (\frac{10}{3})}$

Schritt 5.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.1.3.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$f' (\frac{10}{3}) = - 10 \cdot e^{3 (- 1) (\frac{10}{3})} + 13 e^{- 3 (\frac{10}{3})}$

Schritt 5.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (\frac{10}{3}) = - 10 \cdot e^{3 \cdot (- 1 (\frac{10}{3}))} + 13 e^{- 3 (\frac{10}{3})}$

Schritt 5.2.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (\frac{10}{3}) = - 10 \cdot e^{- 1 \cdot 10} + 13 e^{- 3 (\frac{10}{3})}$

Schritt 5.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $10$ .

$f' (\frac{10}{3}) = - 10 \cdot e^{- 10} + 13 e^{- 3 (\frac{10}{3})}$

Schritt 5.2.1.5

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (\frac{10}{3}) = - 10 \cdot \frac{1}{e^{10}} + 13 e^{- 3 (\frac{10}{3})}$

Schritt 5.2.1.6

Kombiniere $- 10$ und $\frac{1}{e^{10}}$ .

$f' (\frac{10}{3}) = \frac{- 10}{e^{10}} + 13 e^{- 3 (\frac{10}{3})}$

Schritt 5.2.1.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (\frac{10}{3}) = - \frac{10}{e^{10}} + 13 e^{- 3 (\frac{10}{3})}$

Schritt 5.2.1.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.1.8.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$f' (\frac{10}{3}) = - \frac{10}{e^{10}} + 13 e^{3 (- 1) (\frac{10}{3})}$

Schritt 5.2.1.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (\frac{10}{3}) = - \frac{10}{e^{10}} + 13 e^{3 \cdot (- 1 (\frac{10}{3}))}$

Schritt 5.2.1.8.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (\frac{10}{3}) = - \frac{10}{e^{10}} + 13 e^{- 1 \cdot 10}$

Schritt 5.2.1.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $10$ .

$f' (\frac{10}{3}) = - \frac{10}{e^{10}} + 13 e^{- 10}$

Schritt 5.2.1.10

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (\frac{10}{3}) = - \frac{10}{e^{10}} + 13 (\frac{1}{e^{10}})$

Schritt 5.2.1.11

Kombiniere $13$ und $\frac{1}{e^{10}}$ .

$f' (\frac{10}{3}) = - \frac{10}{e^{10}} + \frac{13}{e^{10}}$

Schritt 5.2.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.2.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (\frac{10}{3}) = \frac{- 10 + 13}{e^{10}}$

Schritt 5.2.2.2

Addiere $- 10$ und $13$ .

$f' (\frac{10}{3}) = \frac{3}{e^{10}}$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{3}{e^{10}}$ .

$\frac{3}{e^{10}}$

Schritt 5.3

Bei $x = \frac{10}{3}$ ist die Ableitung $\frac{3}{e^{10}}$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- \infty, \frac{13}{3})$ an.

Ansteigend im Intervall $(- \infty, \frac{13}{3})$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(\frac{13}{3}, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{16}{3}$ .

$f' (\frac{16}{3}) = - 3 (\frac{16}{3}) \cdot e^{- 3 (\frac{16}{3})} + 13 e^{- 3 (\frac{16}{3})}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.2.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$f' (\frac{16}{3}) = 3 (- 1) (\frac{16}{3}) \cdot e^{- 3 (\frac{16}{3})} + 13 e^{- 3 (\frac{16}{3})}$

Schritt 6.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (\frac{16}{3}) = 3 \cdot (- 1 (\frac{16}{3})) \cdot e^{- 3 (\frac{16}{3})} + 13 e^{- 3 (\frac{16}{3})}$

Schritt 6.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (\frac{16}{3}) = - 1 \cdot 16 \cdot e^{- 3 (\frac{16}{3})} + 13 e^{- 3 (\frac{16}{3})}$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$f' (\frac{16}{3}) = - 16 \cdot e^{- 3 (\frac{16}{3})} + 13 e^{- 3 (\frac{16}{3})}$

Schritt 6.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.2.1.3.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$f' (\frac{16}{3}) = - 16 \cdot e^{3 (- 1) (\frac{16}{3})} + 13 e^{- 3 (\frac{16}{3})}$

Schritt 6.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (\frac{16}{3}) = - 16 \cdot e^{3 \cdot (- 1 (\frac{16}{3}))} + 13 e^{- 3 (\frac{16}{3})}$

Schritt 6.2.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (\frac{16}{3}) = - 16 \cdot e^{- 1 \cdot 16} + 13 e^{- 3 (\frac{16}{3})}$

Schritt 6.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$f' (\frac{16}{3}) = - 16 \cdot e^{- 16} + 13 e^{- 3 (\frac{16}{3})}$

Schritt 6.2.1.5

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (\frac{16}{3}) = - 16 \cdot \frac{1}{e^{16}} + 13 e^{- 3 (\frac{16}{3})}$

Schritt 6.2.1.6

Kombiniere $- 16$ und $\frac{1}{e^{16}}$ .

$f' (\frac{16}{3}) = \frac{- 16}{e^{16}} + 13 e^{- 3 (\frac{16}{3})}$

Schritt 6.2.1.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (\frac{16}{3}) = - \frac{16}{e^{16}} + 13 e^{- 3 (\frac{16}{3})}$

Schritt 6.2.1.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.2.1.8.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$f' (\frac{16}{3}) = - \frac{16}{e^{16}} + 13 e^{3 (- 1) (\frac{16}{3})}$

Schritt 6.2.1.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (\frac{16}{3}) = - \frac{16}{e^{16}} + 13 e^{3 \cdot (- 1 (\frac{16}{3}))}$

Schritt 6.2.1.8.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (\frac{16}{3}) = - \frac{16}{e^{16}} + 13 e^{- 1 \cdot 16}$

Schritt 6.2.1.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$f' (\frac{16}{3}) = - \frac{16}{e^{16}} + 13 e^{- 16}$

Schritt 6.2.1.10

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (\frac{16}{3}) = - \frac{16}{e^{16}} + 13 (\frac{1}{e^{16}})$

Schritt 6.2.1.11

Kombiniere $13$ und $\frac{1}{e^{16}}$ .

$f' (\frac{16}{3}) = - \frac{16}{e^{16}} + \frac{13}{e^{16}}$

Schritt 6.2.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 6.2.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (\frac{16}{3}) = \frac{- 16 + 13}{e^{16}}$

Schritt 6.2.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.2.2.2.1

Addiere $- 16$ und $13$ .

$f' (\frac{16}{3}) = \frac{- 3}{e^{16}}$

Schritt 6.2.2.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (\frac{16}{3}) = - \frac{3}{e^{16}}$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- \frac{3}{e^{16}}$ .

$- \frac{3}{e^{16}}$

Schritt 6.3

Bei $x = \frac{16}{3}$ ist die Ableitung $- \frac{3}{e^{16}}$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(\frac{13}{3}, \infty)$ ab.

Abfallend im Intervall $(\frac{13}{3}, \infty)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 7

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- \infty, \frac{13}{3})$

Abfallend im Intervall: $(\frac{13}{3}, \infty)$

Schritt 8