Analysis Beispiele

$f (x) = \cos (\frac{4 x}{3})$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = \frac{4 x}{3}$ .

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Schritt 1.1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{4 x}{3}$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{4 x}{3}]$

Schritt 1.1.1.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{4 x}{3}]$

Schritt 1.1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{4 x}{3}$ .

$- \sin (\frac{4 x}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{4 x}{3}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Da $\frac{4}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4 x}{3}$ nach $x$ gleich $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (\frac{4 x}{3}) (\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.1.2.2

Kombiniere $\frac{4}{3}$ und $\sin (\frac{4 x}{3})$ .

$- \frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{3} \cdot 1$

Schritt 1.1.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f' (x) = - \frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{3}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{3}$ .

$- \frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{3}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{3} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{3} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$4 \sin (\frac{4 x}{3}) = 0$

Schritt 2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $4 \sin (\frac{4 x}{3}) = 0$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $4 \sin (\frac{4 x}{3}) = 0$ durch $4$ .

$\frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.3.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 2.3.1.2.1.2

Dividiere $\sin (\frac{4 x}{3})$ durch $1$ .

$\sin (\frac{4 x}{3}) = \frac{0}{4}$

Schritt 2.3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1.3.1

Dividiere $0$ durch $4$ .

$\sin (\frac{4 x}{3}) = 0$

Schritt 2.3.2

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$\frac{4 x}{3} = \arcsin (0)$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Der genau Wert von $\arcsin (0)$ ist $0$ .

$\frac{4 x}{3} = 0$

Schritt 2.3.4

Setze den Zähler gleich Null.

$4 x = 0$

Schritt 2.3.5

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 0$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.5.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 0$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 2.3.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.3.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 2.3.5.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Schritt 2.3.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.5.3.1

Dividiere $0$ durch $4$ .

$x = 0$

Schritt 2.3.6

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$\frac{4 x}{3} = π - 0$

Schritt 2.3.7

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.7.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{4 x}{3} = \frac{3}{4} (π - 0)$

Schritt 2.3.7.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 2.3.7.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.7.2.1.1

Vereinfache $\frac{3}{4} \cdot \frac{4 x}{3}$ .

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Schritt 2.3.7.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.3.7.2.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{4 x}{3} = \frac{3}{4} (π - 0)$

Schritt 2.3.7.2.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{4} (4 x) = \frac{3}{4} (π - 0)$

Schritt 2.3.7.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.3.7.2.1.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x$ heraus.

$\frac{1}{4} (4 (x)) = \frac{3}{4} (π - 0)$

Schritt 2.3.7.2.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{4} (4 x) = \frac{3}{4} (π - 0)$

Schritt 2.3.7.2.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{3}{4} (π - 0)$

Schritt 2.3.7.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.7.2.2.1

Vereinfache $\frac{3}{4} (π - 0)$ .

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Schritt 2.3.7.2.2.1.1

Subtrahiere $0$ von $π$ .

$x = \frac{3}{4} π$

Schritt 2.3.7.2.2.1.2

Kombiniere $\frac{3}{4}$ und $π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Schritt 2.3.8

Ermittele die Periode von $\sin (\frac{4 x}{3})$ .

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Schritt 2.3.8.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 2.3.8.2

Ersetze $b$ durch $\frac{4}{3}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| \frac{4}{3} |}$

Schritt 2.3.8.3

$\frac{4}{3}$ ist ungefähr $1.\overline{3}$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{4}{3}}$

Schritt 2.3.8.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \frac{3}{4}$

Schritt 2.3.8.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.8.5.1

Faktorisiere $2$ aus $2 π$ heraus.

$2 (π) \frac{3}{4}$

Schritt 2.3.8.5.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$2 (π) \frac{3}{2 (2)}$

Schritt 2.3.8.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 π \frac{3}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.3.8.5.4

Forme den Ausdruck um.

$π \frac{3}{2}$

Schritt 2.3.8.6

Kombiniere $π$ und $\frac{3}{2}$ .

$\frac{π \cdot 3}{2}$

Schritt 2.3.8.7

Bringe $3$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Schritt 2.3.9

Die Periode der Funktion $\sin (\frac{4 x}{3})$ ist $\frac{3 π}{2}$ , d. h., Werte werden sich alle $\frac{3 π}{2}$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{3 π n}{2}, \frac{3 π}{4} + \frac{3 π n}{2}$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2.4

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{3 π n}{4}$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 3

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $\frac{3 π n}{4}$ .

$\frac{3 π n}{4}$

Schritt 4

Nach dem Auffinden des Punktes, der die Ableitung $f' (x) = - \frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{3}$ gleich $0$ oder undefiniert macht, ist das Intervall, in dem geprüft werden muss, wo $f (x) = \cos (\frac{4 x}{3})$ ansteigt und abfällt, gleich $(- \infty, \frac{3 π n}{4}) \cup (\frac{3 π n}{4}, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{3 π n}{4}) \cup (\frac{3 π n}{4}, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, \frac{3 π n}{4})$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{3 π n}{4} - 1$ .

$f' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{4 (\frac{3 π n}{4} - 1)}{3})}{3}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.1.1

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$f' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{4 (\frac{3 π n}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4})}{3})}{3}$

Schritt 5.2.1.2

Kombiniere $- 1$ und $\frac{4}{4}$ .

$f' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{4 (\frac{3 π n}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4})}{3})}{3}$

Schritt 5.2.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{4 (\frac{3 π n - 1 \cdot 4}{4})}{3})}{3}$

Schritt 5.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{4 (\frac{3 π n - 4}{4})}{3})}{3}$

Schritt 5.2.2

Kombiniere $4$ und $\frac{3 π n - 4}{4}$ .

$f' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{\frac{4 (3 π n - 4)}{4}}{3})}{3}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{4 (3 π n - 4)}{4}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{\frac{4 (3 π n - 4)}{4}}{3})}{3}$

Schritt 5.2.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{\frac{3 π n - 4}{1}}{3})}{3}$

Schritt 5.2.3.2

Dividiere $3 π n - 4$ durch $1$ .

$f' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{3 π n - 4}{3})}{3}$

Schritt 5.2.4

Die endgültige Lösung ist $- \frac{4 \sin (\frac{3 π n - 4}{3})}{3}$ .

$- \frac{4 \sin (\frac{3 π n - 4}{3})}{3}$

Schritt 5.3

Bei $x = \frac{3 π n}{4} - 1$ ist die Ableitung $- \frac{4 \sin (\frac{3 π n - 4}{3})}{3}$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- \infty, \frac{3 π n}{4})$ ab.

Abfallend im Intervall $(- \infty, \frac{3 π n}{4})$ da $f' (x) < 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(\frac{3 π n}{4}, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{3 π n}{4} + 1$ .

$f' (\frac{3 π n}{4} + 1) = - \frac{4 \sin (\frac{4 (\frac{3 π n}{4} + 1)}{3})}{3}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.1.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f' (\frac{3 π n}{4} + 1) = - \frac{4 \sin (\frac{4 (\frac{3 π n}{4} + \frac{4}{4})}{3})}{3}$

Schritt 6.2.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (\frac{3 π n}{4} + 1) = - \frac{4 \sin (\frac{4 (\frac{3 π n + 4}{4})}{3})}{3}$

Schritt 6.2.2

Kombiniere $4$ und $\frac{3 π n + 4}{4}$ .

$f' (\frac{3 π n}{4} + 1) = - \frac{4 \sin (\frac{\frac{4 (3 π n + 4)}{4}}{3})}{3}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.3.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{4 (3 π n + 4)}{4}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (\frac{3 π n}{4} + 1) = - \frac{4 \sin (\frac{\frac{4 (3 π n + 4)}{4}}{3})}{3}$

Schritt 6.2.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f' (\frac{3 π n}{4} + 1) = - \frac{4 \sin (\frac{\frac{3 π n + 4}{1}}{3})}{3}$

Schritt 6.2.3.2

Dividiere $3 π n + 4$ durch $1$ .

$f' (\frac{3 π n}{4} + 1) = - \frac{4 \sin (\frac{3 π n + 4}{3})}{3}$

Schritt 6.2.4

Die endgültige Lösung ist $- \frac{4 \sin (\frac{3 π n + 4}{3})}{3}$ .

$- \frac{4 \sin (\frac{3 π n + 4}{3})}{3}$

Schritt 6.3

Bei $x = \frac{3 π n}{4} + 1$ ist die Ableitung $- \frac{4 \sin (\frac{3 π n + 4}{3})}{3}$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(\frac{3 π n}{4}, \infty)$ ab.

Abfallend im Intervall $(\frac{3 π n}{4}, \infty)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 7

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Abfallend im Intervall: $(- \infty, \frac{3 π n}{4}), (\frac{3 π n}{4}, \infty)$

Schritt 8