Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{3 x - 8}{x}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 3 x - 8$ und $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [3 x - 8] - (3 x - 8) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x - 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]) - (3 x - 8) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.1.2.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]) - (3 x - 8) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8]) - (3 x - 8) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.1.2.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{x (3 + \frac{d}{d x} [- 8]) - (3 x - 8) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.1.2.5

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x (3 + 0) - (3 x - 8) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.1.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.6.1

Addiere $3$ und $0$ .

$\frac{x \cdot 3 - (3 x - 8) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.1.2.6.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{3 \cdot x - (3 x - 8) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.1.2.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{3 x - (3 x - 8) \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 1.1.2.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{3 x - (3 x - 8)}{x^{2}}$

Schritt 1.1.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 x - (3 x) - - 8}{x^{2}}$

Schritt 1.1.3.2

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.2.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{3 x - 3 x - - 8}{x^{2}}$

Schritt 1.1.3.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 8$ .

$\frac{3 x - 3 x + 8}{x^{2}}$

Schritt 1.1.3.2.2

Subtrahiere $3 x$ von $3 x$ .

$\frac{0 + 8}{x^{2}}$

Schritt 1.1.3.2.3

Addiere $0$ und $8$ .

$f' (x) = \frac{8}{x^{2}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{8}{x^{2}}$ .

$\frac{8}{x^{2}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{8}{x^{2}} = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{8}{x^{2}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$8 = 0$

Schritt 2.3

Da $8 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 3

Es gibt keine Werte von $x$ im Definitionsbereich, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

Keine kritischen Punkte gefunden

Schritt 4

Ermittele, wo die Ableitung nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Setze den Nenner in $\frac{8}{x^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} = 0$

Schritt 4.2

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 4.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 4.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 5

Nach dem Auffinden des Punktes, der die Ableitung $f' (x) = \frac{8}{x^{2}}$ gleich $0$ oder undefiniert macht, ist das Intervall, in dem geprüft werden muss, wo $f (x) = \frac{3 x - 8}{x}$ ansteigt und abfällt, gleich $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{8}{{(- 1)}^{2}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (- 1) = \frac{8}{1}$

Schritt 6.2.2

Dividiere $8$ durch $1$ .

$f' (- 1) = 8$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $8$ .

$8$

Schritt 6.3

Bei $x = - 1$ ist die Ableitung $8$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- \infty, 0)$ an.

Ansteigend im Intervall $(- \infty, 0)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f' (1) = \frac{8}{{(1)}^{2}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (1) = \frac{8}{1}$

Schritt 7.2.2

Dividiere $8$ durch $1$ .

$f' (1) = 8$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $8$ .

$8$

Schritt 7.3

Bei $x = 1$ ist die Ableitung $8$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(0, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(0, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 8

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- \infty, 0), (0, \infty)$

Schritt 9