Analysis Beispiele

$f (x) = 2 x^{3} + 18 x^{2} + 54 x + 55$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{3} + 18 x^{2} + 54 x + 55$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [54 x] + \frac{d}{d x} [55]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [54 x] + \frac{d}{d x} [55]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{3}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [54 x] + \frac{d}{d x} [55]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [54 x] + \frac{d}{d x} [55]$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [54 x] + \frac{d}{d x} [55]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $18$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $18 x^{2}$ nach $x$ gleich $18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{2} + 18 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [54 x] + \frac{d}{d x} [55]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$6 x^{2} + 18 (2 x) + \frac{d}{d x} [54 x] + \frac{d}{d x} [55]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $18$ .

$6 x^{2} + 36 x + \frac{d}{d x} [54 x] + \frac{d}{d x} [55]$

Schritt 1.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [54 x]$ .

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Schritt 1.1.4.1

Da $54$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $54 x$ nach $x$ gleich $54 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} + 36 x + 54 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [55]$

Schritt 1.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 x^{2} + 36 x + 54 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [55]$

Schritt 1.1.4.3

Mutltipliziere $54$ mit $1$ .

$6 x^{2} + 36 x + 54 + \frac{d}{d x} [55]$

Schritt 1.1.5

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.5.1

Da $55$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $55$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$6 x^{2} + 36 x + 54 + 0$

Schritt 1.1.5.2

Addiere $6 x^{2} + 36 x + 54$ und $0$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 36 x + 54$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $6 x^{2} + 36 x + 54$ .

$6 x^{2} + 36 x + 54$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $6 x^{2} + 36 x + 54 = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$6 x^{2} + 36 x + 54 = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $6$ aus $6 x^{2} + 36 x + 54$ heraus.

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Schritt 2.2.1.1

Faktorisiere $6$ aus $6 x^{2}$ heraus.

$6 (x^{2}) + 36 x + 54 = 0$

Schritt 2.2.1.2

Faktorisiere $6$ aus $36 x$ heraus.

$6 (x^{2}) + 6 (6 x) + 54 = 0$

Schritt 2.2.1.3

Faktorisiere $6$ aus $54$ heraus.

$6 x^{2} + 6 (6 x) + 6 \cdot 9 = 0$

Schritt 2.2.1.4

Faktorisiere $6$ aus $6 x^{2} + 6 (6 x)$ heraus.

$6 (x^{2} + 6 x) + 6 \cdot 9 = 0$

Schritt 2.2.1.5

Faktorisiere $6$ aus $6 (x^{2} + 6 x) + 6 \cdot 9$ heraus.

$6 (x^{2} + 6 x + 9) = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.2.2.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$6 (x^{2} + 6 x + 3^{2}) = 0$

Schritt 2.2.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Schritt 2.2.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$6 (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

Schritt 2.2.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 3$ .

$6 {(x + 3)}^{2} = 0$

Schritt 2.3

Teile jeden Ausdruck in $6 {(x + 3)}^{2} = 0$ durch $6$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $6 {(x + 3)}^{2} = 0$ durch $6$ .

$\frac{6 {(x + 3)}^{2}}{6} = \frac{0}{6}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 {(x + 3)}^{2}}{6} = \frac{0}{6}$

Schritt 2.3.2.1.2

Dividiere ${(x + 3)}^{2}$ durch $1$ .

${(x + 3)}^{2} = \frac{0}{6}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Dividiere $0$ durch $6$ .

${(x + 3)}^{2} = 0$

Schritt 2.4

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 2.5

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 3

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $- 3$ .

$- 3$

Schritt 4

Nach dem Auffinden des Punktes, der die Ableitung $f' (x) = 6 x^{2} + 36 x + 54$ gleich $0$ oder undefiniert macht, ist das Intervall, in dem geprüft werden muss, wo $f (x) = 2 x^{3} + 18 x^{2} + 54 x + 55$ ansteigt und abfällt, gleich $(- \infty, - 3) \cup (- 3, \infty)$ .

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 3)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 4$ .

$f' (- 4) = 6 {(- 4)}^{2} + 36 (- 4) + 54$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$f' (- 4) = 6 \cdot 16 + 36 (- 4) + 54$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $6$ mit $16$ .

$f' (- 4) = 96 + 36 (- 4) + 54$

Schritt 5.2.1.3

Mutltipliziere $36$ mit $- 4$ .

$f' (- 4) = 96 - 144 + 54$

Schritt 5.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 5.2.2.1

Subtrahiere $144$ von $96$ .

$f' (- 4) = - 48 + 54$

Schritt 5.2.2.2

Addiere $- 48$ und $54$ .

$f' (- 4) = 6$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $6$ .

$6$

Schritt 5.3

Bei $x = - 4$ ist die Ableitung $6$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- \infty, - 3)$ an.

Ansteigend im Intervall $(- \infty, - 3)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 3, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f' (- 2) = 6 {(- 2)}^{2} + 36 (- 2) + 54$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$f' (- 2) = 6 \cdot 4 + 36 (- 2) + 54$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $6$ mit $4$ .

$f' (- 2) = 24 + 36 (- 2) + 54$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere $36$ mit $- 2$ .

$f' (- 2) = 24 - 72 + 54$

Schritt 6.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 6.2.2.1

Subtrahiere $72$ von $24$ .

$f' (- 2) = - 48 + 54$

Schritt 6.2.2.2

Addiere $- 48$ und $54$ .

$f' (- 2) = 6$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $6$ .

$6$

Schritt 6.3

Bei $x = - 2$ ist die Ableitung $6$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- 3, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(- 3, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 7

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- \infty, - 3), (- 3, \infty)$

Schritt 8