Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x}}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1.1.1

Da $20$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x}}$ nach $x$ gleich $20 \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + 9 e^{- 3 x}}]$ .

$20 \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + 9 e^{- 3 x}}]$

Schritt 1.1.1.2

Schreibe $\frac{1}{1 + 9 e^{- 3 x}}$ als ${(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 1}$ um.

$20 \frac{d}{d x} [{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 1}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = 1 + 9 e^{- 3 x}$ .

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Schritt 1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $1 + 9 e^{- 3 x}$ .

$20 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 + 9 e^{- 3 x}])$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$20 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + 9 e^{- 3 x}])$

Schritt 1.1.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $1 + 9 e^{- 3 x}$ .

$20 (- {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + 9 e^{- 3 x}])$

Schritt 1.1.3

Differenziere.

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Schritt 1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $20$ .

$- 20 ({(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + 9 e^{- 3 x}])$

Schritt 1.1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + 9 e^{- 3 x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [9 e^{- 3 x}]$ .

$- 20 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [9 e^{- 3 x}])$

Schritt 1.1.3.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 20 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [9 e^{- 3 x}])$

Schritt 1.1.3.4

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [9 e^{- 3 x}]$ .

$- 20 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [9 e^{- 3 x}]$

Schritt 1.1.3.5

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 e^{- 3 x}$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$ .

$- 20 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} (9 \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}])$

Schritt 1.1.3.6

Mutltipliziere $9$ mit $- 20$ .

$- 180 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - 3 x$ .

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Schritt 1.1.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $- 3 x$ .

$- 180 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Schritt 1.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$- 180 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Schritt 1.1.4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $- 3 x$ .

$- 180 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} (e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Schritt 1.1.5

Differenziere.

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Schritt 1.1.5.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 180 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} (e^{- 3 x} (- 3 \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 1.1.5.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 180$ .

$540 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} (e^{- 3 x} (\frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 1.1.5.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$540 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} (e^{- 3 x} \cdot 1)$

Schritt 1.1.5.4

Mutltipliziere $e^{- 3 x}$ mit $1$ .

$540 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} e^{- 3 x}$

Schritt 1.1.6

Vereinfache.

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Schritt 1.1.6.1

Stelle die Faktoren von $540 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} e^{- 3 x}$ um.

$540 e^{- 3 x} {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2}$

Schritt 1.1.6.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$540 e^{- 3 x} \frac{1}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}$

Schritt 1.1.6.3

Multipliziere $540 e^{- 3 x} \frac{1}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}$ .

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Schritt 1.1.6.3.1

Kombiniere $\frac{1}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}$ und $540$ .

$\frac{540}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}} e^{- 3 x}$

Schritt 1.1.6.3.2

Kombiniere $\frac{540}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}$ und $e^{- 3 x}$ .

$f' (x) = \frac{540 e^{- 3 x}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{540 e^{- 3 x}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}$ .

$\frac{540 e^{- 3 x}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{540 e^{- 3 x}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{540 e^{- 3 x}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$540 e^{- 3 x} = 0$

Schritt 2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (540 e^{- 3 x}) = \ln (0)$

Schritt 2.3.2

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (0)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 2.3.3

Es gibt keine Lösung für $540 e^{- 3 x} = 0$

Keine Lösung

Schritt 3

Es gibt keine Werte von $x$ im Definitionsbereich, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

Keine kritischen Punkte gefunden

Schritt 4

An keinem Punkt ist die Ableitung $f' (x) = \frac{540 e^{- 3 x}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}$ gleich $0$ oder nicht definiert. Das Intervall, für das zu prüfen ist, ob $f (x) = \frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x}}$ ansteigt oder abfällt, ist $(- \infty, \infty)$ .

$(- \infty, \infty)$

Schritt 5

Setze eine beliebige Zahl, wie $1$ , aus dem Intervall $(- \infty, \infty)$ in die Ableitung $f' (x) = \frac{540 e^{- 3 x}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}$ ein, um zu prüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist. Wenn das Ergebnis negativ ist, fällt der Graph im Intervall $(- \infty, \infty)$ ab. Ist das Ergebnis positiv, steigt der Graph im Intervall $(- \infty, \infty)$ an.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f' (1) = \frac{540 e^{- 3 \cdot 1}}{{(1 + 9 e^{- 3 \cdot 1})}^{2}}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Bringe $e^{- 3 \cdot 1}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (1) = \frac{540}{{(1 + 9 e^{- 3})}^{2} e^{3}}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.2.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (1) = \frac{540}{{(1 + 9 (\frac{1}{e^{3}}))}^{2} e^{3}}$

Schritt 5.2.2.2

Kombiniere $9$ und $\frac{1}{e^{3}}$ .

$f' (1) = \frac{540}{{(1 + \frac{9}{e^{3}})}^{2} e^{3}}$

Schritt 5.2.2.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f' (1) = \frac{540}{{(\frac{e^{3}}{e^{3}} + \frac{9}{e^{3}})}^{2} e^{3}}$

Schritt 5.2.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (1) = \frac{540}{{(\frac{e^{3} + 9}{e^{3}})}^{2} e^{3}}$

Schritt 5.2.2.5

Wende die Produktregel auf $\frac{e^{3} + 9}{e^{3}}$ an.

$f' (1) = \frac{540}{\frac{{(e^{3} + 9)}^{2}}{{(e^{3})}^{2}} \cdot e^{3}}$

Schritt 5.2.2.6

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{3})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.2.6.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (1) = \frac{540}{\frac{{(e^{3} + 9)}^{2}}{e^{3 \cdot 2}} \cdot e^{3}}$

Schritt 5.2.2.6.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f' (1) = \frac{540}{\frac{{(e^{3} + 9)}^{2}}{e^{6}} \cdot e^{3}}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.2.3.1

Kombiniere $\frac{{(e^{3} + 9)}^{2}}{e^{6}}$ und $e^{3}$ .

$f' (1) = \frac{540}{\frac{{(e^{3} + 9)}^{2} e^{3}}{e^{6}}}$

Schritt 5.2.3.2

Vereinfache den Ausdruck $\frac{{(e^{3} + 9)}^{2} e^{3}}{e^{6}}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.2.1

Faktorisiere $e^{3}$ aus ${(e^{3} + 9)}^{2} e^{3}$ heraus.

$f' (1) = \frac{540}{\frac{e^{3} {(e^{3} + 9)}^{2}}{e^{6}}}$

Schritt 5.2.3.2.2

Faktorisiere $e^{3}$ aus $e^{6}$ heraus.

$f' (1) = \frac{540}{\frac{e^{3} {(e^{3} + 9)}^{2}}{e^{3} e^{3}}}$

Schritt 5.2.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (1) = \frac{540}{\frac{e^{3} {(e^{3} + 9)}^{2}}{e^{3} e^{3}}}$

Schritt 5.2.3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$f' (1) = \frac{540}{\frac{{(e^{3} + 9)}^{2}}{e^{3}}}$

Schritt 5.2.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f' (1) = 540 (\frac{e^{3}}{{(e^{3} + 9)}^{2}})$

Schritt 5.2.5

Kombiniere $540$ und $\frac{e^{3}}{{(e^{3} + 9)}^{2}}$ .

$f' (1) = \frac{540 e^{3}}{{(e^{3} + 9)}^{2}}$

Schritt 5.2.6

Die endgültige Lösung ist $\frac{540 e^{3}}{{(e^{3} + 9)}^{2}}$ .

$\frac{540 e^{3}}{{(e^{3} + 9)}^{2}}$

Schritt 6

Das Ergebnis des Einsetzens von $1$ in $f' (x) = \frac{540 e^{- 3 x}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}$ ist $\frac{540 e^{3}}{{(e^{3} + 9)}^{2}}$ , was positiv ist, folglich ist der Graph im Intervall $(- \infty, \infty)$ ansteigend.

Ansteigend im Intervall $(- \infty, \infty)$ , da $\frac{540 e^{- 3 x}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}} > 0$

Schritt 7

Ansteigend im Intervall $(- \infty, \infty)$ bedeutet, dass die Funktion immer ansteigt.

Immer ansteigend

Schritt 8