Analysis Beispiele

$f (x) = \sqrt{20 - x - x^{2}}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{20 - x - x^{2}}$ als ${(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [{(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 20 - x - x^{2}$ .

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Schritt 1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $20 - x - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [20 - x - x^{2}]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [20 - x - x^{2}]$

Schritt 1.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $20 - x - x^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [20 - x - x^{2}]$

Schritt 1.1.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [20 - x - x^{2}]$

Schritt 1.1.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [20 - x - x^{2}]$

Schritt 1.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [20 - x - x^{2}]$

Schritt 1.1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [20 - x - x^{2}]$

Schritt 1.1.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} {(20 - x - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [20 - x - x^{2}]$

Schritt 1.1.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.1.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} {(20 - x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [20 - x - x^{2}]$

Schritt 1.1.7.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(20 - x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(20 - x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [20 - x - x^{2}]$

Schritt 1.1.7.3

Bringe ${(20 - x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [20 - x - x^{2}]$

Schritt 1.1.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $20 - x - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [20] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [20] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Schritt 1.1.9

Da $20$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $20$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Schritt 1.1.10

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Schritt 1.1.11

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Schritt 1.1.12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Schritt 1.1.13

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Schritt 1.1.14

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 1 - \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 1.1.15

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 1 - (2 x))$

Schritt 1.1.16

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 1 - 2 x)$

Schritt 1.1.17

Vereinfache.

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Schritt 1.1.17.1

Stelle die Faktoren von $\frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 1 - 2 x)$ um.

$(- 1 - 2 x) \frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.17.2

Mutltipliziere $- 1 - 2 x$ mit $\frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 1 - 2 x}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.17.3

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{- 1 (1) - 2 x}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.17.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{- 1 (1) - (2 x)}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.17.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - (2 x)$ heraus.

$\frac{- 1 (1 + 2 x)}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.17.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{1 + 2 x}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{1 + 2 x}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{1 + 2 x}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{1 + 2 x}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{1 + 2 x}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$1 + 2 x = 0$

Schritt 2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - 1$

Schritt 2.3.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.3.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{2}$

Schritt 3

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $- \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2}$

Schritt 4

Ermittele, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

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Schritt 4.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$- \frac{1 + 2 x}{2 \sqrt{{(20 - x - x^{2})}^{1}}}$

Schritt 4.1.2

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$- \frac{1 + 2 x}{2 \sqrt{20 - x - x^{2}}}$

Schritt 4.2

Setze den Nenner in $\frac{1 + 2 x}{2 \sqrt{20 - x - x^{2}}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 \sqrt{20 - x - x^{2}} = 0$

Schritt 4.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(2 \sqrt{20 - x - x^{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{20 - x - x^{2}}$ als ${(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 4.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.2.2.1

Vereinfache ${(2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.3.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ an.

$2^{2} {({(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 4.3.2.2.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$4 {({(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 4.3.2.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.3.2.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 4.3.2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.2.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 4.3.2.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$4 {(20 - x - x^{2})}^{1} = 0^{2}$

Schritt 4.3.2.2.1.4

Vereinfache.

$4 (20 - x - x^{2}) = 0^{2}$

Schritt 4.3.2.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$4 \cdot 20 + 4 (- x) + 4 (- x^{2}) = 0^{2}$

Schritt 4.3.2.2.1.6

Vereinfache.

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Schritt 4.3.2.2.1.6.1

Mutltipliziere $4$ mit $20$ .

$80 + 4 (- x) + 4 (- x^{2}) = 0^{2}$

Schritt 4.3.2.2.1.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$80 - 4 x + 4 (- x^{2}) = 0^{2}$

Schritt 4.3.2.2.1.6.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$80 - 4 x - 4 x^{2} = 0^{2}$

Schritt 4.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$80 - 4 x - 4 x^{2} = 0$

Schritt 4.3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.3.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.3.1.1

Faktorisiere $- 4$ aus $80 - 4 x - 4 x^{2}$ heraus.

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Schritt 4.3.3.1.1.1

Stelle den Ausdruck um.

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Schritt 4.3.3.1.1.1.1

Bewege $80$ .

$- 4 x - 4 x^{2} + 80 = 0$

Schritt 4.3.3.1.1.1.2

Stelle $- 4 x$ und $- 4 x^{2}$ um.

$- 4 x^{2} - 4 x + 80 = 0$

Schritt 4.3.3.1.1.2

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 x^{2}$ heraus.

$- 4 x^{2} - 4 x + 80 = 0$

Schritt 4.3.3.1.1.3

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 x$ heraus.

$- 4 x^{2} - 4 x + 80 = 0$

Schritt 4.3.3.1.1.4

Faktorisiere $- 4$ aus $80$ heraus.

$- 4 x^{2} - 4 x - 4 \cdot - 20 = 0$

Schritt 4.3.3.1.1.5

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 (x^{2}) - 4 (x)$ heraus.

$- 4 (x^{2} + x) - 4 \cdot - 20 = 0$

Schritt 4.3.3.1.1.6

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 (x^{2} + x) - 4 (- 20)$ heraus.

$- 4 (x^{2} + x - 20) = 0$

Schritt 4.3.3.1.2

Faktorisiere.

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Schritt 4.3.3.1.2.1

Faktorisiere $x^{2} + x - 20$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.3.3.1.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 20$ und deren Summe $1$ ist.

$- 4, 5$

Schritt 4.3.3.1.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- 4 ((x - 4) (x + 5)) = 0$

Schritt 4.3.3.1.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- 4 (x - 4) (x + 5) = 0$

Schritt 4.3.3.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 5 = 0$

Schritt 4.3.3.3

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.3.3.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 4.3.3.3.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 4.3.3.4

Setze $x + 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.3.4.1

Setze $x + 5$ gleich $0$ .

$x + 5 = 0$

Schritt 4.3.3.4.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 5$

Schritt 4.3.3.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- 4 (x - 4) (x + 5) = 0$ wahr machen.

$x = 4, - 5$

Schritt 4.4

Setze den Radikanden in $\sqrt{20 - x - x^{2}}$ kleiner als $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$20 - x - x^{2} < 0$

Schritt 4.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.5.1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$20 - x - x^{2} = 0$

Schritt 4.5.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.5.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $20 - x - x^{2}$ heraus.

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Schritt 4.5.2.1.1

Stelle den Ausdruck um.

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Schritt 4.5.2.1.1.1

Bewege $20$ .

$- x - x^{2} + 20 = 0$

Schritt 4.5.2.1.1.2

Stelle $- x$ und $- x^{2}$ um.

$- x^{2} - x + 20 = 0$

Schritt 4.5.2.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2}$ heraus.

$- (x^{2}) - x + 20 = 0$

Schritt 4.5.2.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$- (x^{2}) - (x) + 20 = 0$

Schritt 4.5.2.1.4

Schreibe $20$ als $- 1 (- 20)$ um.

$- (x^{2}) - (x) - 1 \cdot - 20 = 0$

Schritt 4.5.2.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2}) - (x)$ heraus.

$- (x^{2} + x) - 1 \cdot - 20 = 0$

Schritt 4.5.2.1.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2} + x) - 1 (- 20)$ heraus.

$- (x^{2} + x - 20) = 0$

Schritt 4.5.2.2

Faktorisiere.

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Schritt 4.5.2.2.1

Faktorisiere $x^{2} + x - 20$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.5.2.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 20$ und deren Summe $1$ ist.

$- 4, 5$

Schritt 4.5.2.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- ((x - 4) (x + 5)) = 0$

Schritt 4.5.2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (x - 4) (x + 5) = 0$

Schritt 4.5.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 5 = 0$

Schritt 4.5.4

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.5.4.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 4.5.4.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 4.5.5

Setze $x + 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.5.5.1

Setze $x + 5$ gleich $0$ .

$x + 5 = 0$

Schritt 4.5.5.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 5$

Schritt 4.5.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- (x - 4) (x + 5) = 0$ wahr machen.

$x = 4, - 5$

Schritt 4.5.7

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 5$

$- 5 < x < 4$

$x > 4$

Schritt 4.5.8

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 4.5.8.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 5$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 4.5.8.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 5$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 8$

Schritt 4.5.8.1.2

Ersetze $x$ durch $- 8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$20 - (- 8) - {(- 8)}^{2} < 0$

Schritt 4.5.8.1.3

Die linke Seite $- 36$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 4.5.8.2

Teste einen Wert im Intervall $- 5 < x < 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 4.5.8.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 5 < x < 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 4.5.8.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$20 - (0) - {(0)}^{2} < 0$

Schritt 4.5.8.2.3

Die linke Seite $20$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 4.5.8.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 4.5.8.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6$

Schritt 4.5.8.3.2

Ersetze $x$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$20 - (6) - {(6)}^{2} < 0$

Schritt 4.5.8.3.3

Die linke Seite $- 22$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 4.5.8.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 5$ Wahr

$- 5 < x < 4$ Falsch

$x > 4$ Wahr

$x < - 5$ Wahr

$- 5 < x < 4$ Falsch

$x > 4$ Wahr

Schritt 4.5.9

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < - 5$ oder $x > 4$

Schritt 4.6

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x \leq - 5, x \geq 4$

$(- \infty, - 5] \cup [4, \infty)$

$x \leq - 5, x \geq 4$

$(- \infty, - 5] \cup [4, \infty)$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, 4) \cup (4, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 5)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 6$ .

$f' (- 6) = - \frac{1 + 2 (- 6)}{2 {(20 - (- 6) - {(- 6)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 6$ .

$f' (- 6) = - \frac{1 - 12}{2 {(20 - (- 6) - {(- 6)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6.2.1.2

Subtrahiere $12$ von $1$ .

$f' (- 6) = - \frac{- 11}{2 {(20 - (- 6) - {(- 6)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 6$ .

$f' (- 6) = - \frac{- 11}{2 {(20 + 6 - {(- 6)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6.2.2.1.2

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$f' (- 6) = - \frac{- 11}{2 {(20 + 6 - 1 \cdot 36)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6.2.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $36$ .

$f' (- 6) = - \frac{- 11}{2 {(20 + 6 - 36)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6.2.2.2

Addiere $20$ und $6$ .

$f' (- 6) = - \frac{- 11}{2 {(26 - 36)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6.2.2.3

Subtrahiere $36$ von $26$ .

$f' (- 6) = - \frac{- 11}{2 {(- 10)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (- 6) = \frac{11}{2 {(- 10)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6.2.4

Die endgültige Lösung ist $\frac{11}{2 {(- 10)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{11}{2 {(- 10)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6.3

Bei $x = - 6$ ist die Ableitung $\frac{11}{2 {(- 10)}^{\frac{1}{2}}}$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- \infty, - 5)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- \infty, - 5)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 5, - \frac{1}{2})$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2.75$ .

$f' (- 2.75) = - \frac{1 + 2 (- 2.75)}{2 {(20 - (- 2.75) - {(- 2.75)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 2.75$ .

$f' (- 2.75) = - \frac{1 - 5.5}{2 {(20 - (- 2.75) - {(- 2.75)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 7.2.1.2

Subtrahiere $5.5$ von $1$ .

$f' (- 2.75) = - \frac{- 4.5}{2 {(20 - (- 2.75) - {(- 2.75)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2.75$ .

$f' (- 2.75) = - \frac{- 4.5}{2 {(20 + 2.75 - {(- 2.75)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 7.2.2.1.2

Potenziere $- 2.75$ mit $2$ .

$f' (- 2.75) = - \frac{- 4.5}{2 {(20 + 2.75 - 1 \cdot 7.5625)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 7.2.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $7.5625$ .

$f' (- 2.75) = - \frac{- 4.5}{2 {(20 + 2.75 - 7.5625)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 7.2.2.2

Addiere $20$ und $2.75$ .

$f' (- 2.75) = - \frac{- 4.5}{2 {(22.75 - 7.5625)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 7.2.2.3

Subtrahiere $7.5625$ von $22.75$ .

$f' (- 2.75) = - \frac{- 4.5}{2 \cdot {15.1875}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 7.2.2.4

Schreibe $15.1875$ als ${3.89711431}^{2}$ um.

$f' (- 2.75) = - \frac{- 4.5}{2 \cdot {({3.89711431}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 7.2.2.5

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 2.75) = - \frac{- 4.5}{2 \cdot {3.89711431}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Schritt 7.2.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.2.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (- 2.75) = - \frac{- 4.5}{2 \cdot {3.89711431}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Schritt 7.2.2.6.2

Forme den Ausdruck um.

$f' (- 2.75) = - \frac{- 4.5}{2 \cdot 3.89711431}$

Schritt 7.2.2.7

Berechne den Exponenten.

$f' (- 2.75) = - \frac{- 4.5}{2 \cdot 3.89711431}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.2.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $3.89711431$ .

$f' (- 2.75) = - \frac{- 4.5}{7.79422863}$

Schritt 7.2.3.2

Dividiere $- 4.5$ durch $7.79422863$ .

$f' (- 2.75) = 0.57735026$

Schritt 7.2.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 0.57735026$ .

$f' (- 2.75) = 0.57735026$

Schritt 7.2.4

Die endgültige Lösung ist $0.57735026$ .

$0.57735026$

Schritt 7.3

Bei $x = - 2.75$ ist die Ableitung $0.57735026$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- 5, - \frac{1}{2})$ an.

Ansteigend im Intervall $(- 5, - \frac{1}{2})$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 0.5, 4)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1.75$ .

$f' (1.75) = - \frac{1 + 2 (1.75)}{2 {(20 - (1.75) - {(1.75)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $1.75$ .

$f' (1.75) = - \frac{1 + 3.5}{2 {(20 - (1.75) - {1.75}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 8.2.1.2

Addiere $1$ und $3.5$ .

$f' (1.75) = - \frac{4.5}{2 {(20 - (1.75) - {1.75}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 8.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1.75$ .

$f' (1.75) = - \frac{4.5}{2 {(20 - 1.75 - {1.75}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 8.2.2.1.2

Potenziere $1.75$ mit $2$ .

$f' (1.75) = - \frac{4.5}{2 {(20 - 1.75 - 1 \cdot 3.0625)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 8.2.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3.0625$ .

$f' (1.75) = - \frac{4.5}{2 {(20 - 1.75 - 3.0625)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 8.2.2.2

Subtrahiere $1.75$ von $20$ .

$f' (1.75) = - \frac{4.5}{2 {(18.25 - 3.0625)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 8.2.2.3

Subtrahiere $3.0625$ von $18.25$ .

$f' (1.75) = - \frac{4.5}{2 \cdot {15.1875}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 8.2.2.4

Schreibe $15.1875$ als ${3.89711431}^{2}$ um.

$f' (1.75) = - \frac{4.5}{2 \cdot {({3.89711431}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 8.2.2.5

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (1.75) = - \frac{4.5}{2 \cdot {3.89711431}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Schritt 8.2.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.2.2.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (1.75) = - \frac{4.5}{2 \cdot {3.89711431}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Schritt 8.2.2.6.2

Forme den Ausdruck um.

$f' (1.75) = - \frac{4.5}{2 \cdot 3.89711431}$

Schritt 8.2.2.7

Berechne den Exponenten.

$f' (1.75) = - \frac{4.5}{2 \cdot 3.89711431}$

Schritt 8.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.2.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $3.89711431$ .

$f' (1.75) = - \frac{4.5}{7.79422863}$

Schritt 8.2.3.2

Dividiere $4.5$ durch $7.79422863$ .

$f' (1.75) = - 1 \cdot 0.57735026$

Schritt 8.2.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.57735026$ .

$f' (1.75) = - 0.57735026$

Schritt 8.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 0.57735026$ .

$- 0.57735026$

Schritt 8.3

Bei $x = 1.75$ ist die Ableitung $- 0.57735026$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- 0.5, 4)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- \frac{1}{2}, 4)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 9

Setze einen Wert aus dem Intervall $(4, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 9.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $5$ .

$f' (5) = - \frac{1 + 2 (5)}{2 {(20 - (5) - {(5)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 9.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 9.2.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$f' (5) = - \frac{1 + 10}{2 {(20 - (5) - 5^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 9.2.1.2

Addiere $1$ und $10$ .

$f' (5) = - \frac{11}{2 {(20 - (5) - 5^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 9.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.2.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$f' (5) = - \frac{11}{2 {(20 - 5 - 5^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 9.2.2.1.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$f' (5) = - \frac{11}{2 {(20 - 5 - 1 \cdot 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 9.2.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $25$ .

$f' (5) = - \frac{11}{2 {(20 - 5 - 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 9.2.2.2

Subtrahiere $5$ von $20$ .

$f' (5) = - \frac{11}{2 {(15 - 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 9.2.2.3

Subtrahiere $25$ von $15$ .

$f' (5) = - \frac{11}{2 {(- 10)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 9.2.3

Die endgültige Lösung ist $- \frac{11}{2 {(- 10)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{11}{2 {(- 10)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 9.3

Bei $x = 5$ ist die Ableitung $- \frac{11}{2 {(- 10)}^{\frac{1}{2}}}$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(4, \infty)$ ab.

Abfallend im Intervall $(4, \infty)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 10

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- 5, - \frac{1}{2})$

Abfallend im Intervall: $(- \infty, - 5), (- \frac{1}{2}, 4), (4, \infty)$

Schritt 11