Analysis Beispiele

$f (x) = - 3 x^{2} + 54 \ln (x)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 3 x^{2} + 54 \ln (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [54 \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [54 \ln (x)]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [54 \ln (x)]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [54 \ln (x)]$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$- 6 x + \frac{d}{d x} [54 \ln (x)]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [54 \ln (x)]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $54$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $54 \ln (x)$ nach $x$ gleich $54 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$- 6 x + 54 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 1.1.3.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$- 6 x + 54 \frac{1}{x}$

Schritt 1.1.3.3

Kombiniere $54$ und $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = - 6 x + \frac{54}{x}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 6 x + \frac{54}{x}$ .

$- 6 x + \frac{54}{x}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 6 x + \frac{54}{x} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- 6 x + \frac{54}{x} = 0$

Schritt 2.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, x, 1$

Schritt 2.2.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x$

Schritt 2.3

Multipliziere jeden Term in $- 6 x + \frac{54}{x} = 0$ mit $x$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.3.1

Multipliziere jeden Term in $- 6 x + \frac{54}{x} = 0$ mit $x$ .

$- 6 x \cdot x + \frac{54}{x} x = 0 x$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.2.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.2.1.1.1

Bewege $x$ .

$- 6 (x \cdot x) + \frac{54}{x} x = 0 x$

Schritt 2.3.2.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$- 6 x^{2} + \frac{54}{x} x = 0 x$

Schritt 2.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.3.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 6 x^{2} + \frac{54}{x} x = 0 x$

Schritt 2.3.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$- 6 x^{2} + 54 = 0 x$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $x$ .

$- 6 x^{2} + 54 = 0$

Schritt 2.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.4.1

Subtrahiere $54$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 6 x^{2} = - 54$

Schritt 2.4.2

Teile jeden Ausdruck in $- 6 x^{2} = - 54$ durch $- 6$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 6 x^{2} = - 54$ durch $- 6$ .

$\frac{- 6 x^{2}}{- 6} = \frac{- 54}{- 6}$

Schritt 2.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 6$ .

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Schritt 2.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 6 x^{2}}{- 6} = \frac{- 54}{- 6}$

Schritt 2.4.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 54}{- 6}$

Schritt 2.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.3.1

Dividiere $- 54$ durch $- 6$ .

$x^{2} = 9$

Schritt 2.4.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{9}$

Schritt 2.4.4

Vereinfache $\pm \sqrt{9}$ .

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Schritt 2.4.4.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Schritt 2.4.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 3$

Schritt 2.4.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.4.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 3$

Schritt 2.4.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 3$

Schritt 2.4.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 3, - 3$

Schritt 3

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $3, - 3$ .

$3, - 3$

Schritt 4

Setze den Nenner in $\frac{54}{x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = 0$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

Schritt 6

Schließe die Intervalle aus, die nicht im Definitionsbereich sind.

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 3, 0)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - 6 (- \frac{3}{2}) + \frac{54}{- \frac{3}{2}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3}{2}$ in den Zähler.

$f' (- \frac{3}{2}) = - 6 (\frac{- 3}{2}) + \frac{54}{- \frac{3}{2}}$

Schritt 7.2.1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$f' (- \frac{3}{2}) = 2 (- 3) (\frac{- 3}{2}) + \frac{54}{- \frac{3}{2}}$

Schritt 7.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (- \frac{3}{2}) = 2 \cdot (- 3 (\frac{- 3}{2})) + \frac{54}{- \frac{3}{2}}$

Schritt 7.2.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$f' (- \frac{3}{2}) = - 3 \cdot - 3 + \frac{54}{- \frac{3}{2}}$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 3$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = 9 + \frac{54}{- \frac{3}{2}}$

Schritt 7.2.1.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f' (- \frac{3}{2}) = 9 + 54 (- \frac{2}{3})$

Schritt 7.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 7.2.1.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2}{3}$ in den Zähler.

$f' (- \frac{3}{2}) = 9 + 54 (\frac{- 2}{3})$

Schritt 7.2.1.4.2

Faktorisiere $3$ aus $54$ heraus.

$f' (- \frac{3}{2}) = 9 + 3 (18) (\frac{- 2}{3})$

Schritt 7.2.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (- \frac{3}{2}) = 9 + 3 \cdot (18 (\frac{- 2}{3}))$

Schritt 7.2.1.4.4

Forme den Ausdruck um.

$f' (- \frac{3}{2}) = 9 + 18 \cdot - 2$

Schritt 7.2.1.5

Mutltipliziere $18$ mit $- 2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = 9 - 36$

Schritt 7.2.2

Subtrahiere $36$ von $9$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - 27$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 27$ .

$- 27$

Schritt 8

Schließe die Intervalle aus, die nicht im Definitionsbereich sind.

$(0, 3)$

Schritt 9

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, 3)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 9.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = - 6 (\frac{3}{2}) + \frac{54}{\frac{3}{2}}$

Schritt 9.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 9.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.2.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$f' (\frac{3}{2}) = 2 (- 3) (\frac{3}{2}) + \frac{54}{\frac{3}{2}}$

Schritt 9.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (\frac{3}{2}) = 2 \cdot (- 3 (\frac{3}{2})) + \frac{54}{\frac{3}{2}}$

Schritt 9.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (\frac{3}{2}) = - 3 \cdot 3 + \frac{54}{\frac{3}{2}}$

Schritt 9.2.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $3$ .

$f' (\frac{3}{2}) = - 9 + \frac{54}{\frac{3}{2}}$

Schritt 9.2.1.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f' (\frac{3}{2}) = - 9 + 54 (\frac{2}{3})$

Schritt 9.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 9.2.1.4.1

Faktorisiere $3$ aus $54$ heraus.

$f' (\frac{3}{2}) = - 9 + 3 (18) (\frac{2}{3})$

Schritt 9.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (\frac{3}{2}) = - 9 + 3 \cdot (18 (\frac{2}{3}))$

Schritt 9.2.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (\frac{3}{2}) = - 9 + 18 \cdot 2$

Schritt 9.2.1.5

Mutltipliziere $18$ mit $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = - 9 + 36$

Schritt 9.2.2

Addiere $- 9$ und $36$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 27$

Schritt 9.2.3

Die endgültige Lösung ist $27$ .

$27$

Schritt 9.3

Bei $x = \frac{3}{2}$ ist die Ableitung $27$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(0, 3)$ an.

Ansteigend im Intervall $(0, 3)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 10

Schließe die Intervalle aus, die nicht im Definitionsbereich sind.

$(0, 3), (3, \infty)$

Schritt 11

Setze einen Wert aus dem Intervall $(3, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$f' (4) = - 6 \cdot 4 + \frac{54}{4}$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.1.1

Mutltipliziere $- 6$ mit $4$ .

$f' (4) = - 24 + \frac{54}{4}$

Schritt 11.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $54$ und $4$ .

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Schritt 11.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $54$ heraus.

$f' (4) = - 24 + \frac{2 (27)}{4}$

Schritt 11.2.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.2.1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f' (4) = - 24 + \frac{2 \cdot 27}{2 \cdot 2}$

Schritt 11.2.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (4) = - 24 + \frac{2 \cdot 27}{2 \cdot 2}$

Schritt 11.2.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (4) = - 24 + \frac{27}{2}$

Schritt 11.2.2

Um $- 24$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (4) = - 24 \cdot \frac{2}{2} + \frac{27}{2}$

Schritt 11.2.3

Kombiniere $- 24$ und $\frac{2}{2}$ .

$f' (4) = \frac{- 24 \cdot 2}{2} + \frac{27}{2}$

Schritt 11.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (4) = \frac{- 24 \cdot 2 + 27}{2}$

Schritt 11.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.2.5.1

Mutltipliziere $- 24$ mit $2$ .

$f' (4) = \frac{- 48 + 27}{2}$

Schritt 11.2.5.2

Addiere $- 48$ und $27$ .

$f' (4) = \frac{- 21}{2}$

Schritt 11.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (4) = - \frac{21}{2}$

Schritt 11.2.7

Die endgültige Lösung ist $- \frac{21}{2}$ .

$- \frac{21}{2}$

Schritt 11.3

Bei $x = 4$ ist die Ableitung $- \frac{21}{2}$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(3, \infty)$ ab.

Abfallend im Intervall $(3, \infty)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 12

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(0, 3)$

Abfallend im Intervall: $(3, \infty)$

Schritt 13