Analysis Beispiele

$f (x) = e^{2 x - 4}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = e^{2 x - 4}$ als Gleichung.

$y = e^{2 x - 4}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = e^{2 y - 4}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $e^{2 y - 4} = x$ um.

$e^{2 y - 4} = x$

Schritt 3.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{2 y - 4}) = \ln (x)$

Schritt 3.3

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 3.3.1

Zerlege $\ln (e^{2 y - 4})$ durch Herausziehen von $2 y - 4$ aus dem Logarithmus.

$(2 y - 4) \ln (e) = \ln (x)$

Schritt 3.3.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$(2 y - 4) \cdot 1 = \ln (x)$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $2 y - 4$ mit $1$ .

$2 y - 4 = \ln (x)$

Schritt 3.4

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 y = \ln (x) + 4$

Schritt 3.5

Teile jeden Ausdruck in $2 y = \ln (x) + 4$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y = \ln (x) + 4$ durch $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{4}{2}$

Schritt 3.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{4}{2}$

Schritt 3.5.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{4}{2}$

Schritt 3.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.3.1

Dividiere $4$ durch $2$ .

$y = \frac{\ln (x)}{2} + 2$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + 2$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + 2$ die Umkehrfunktion von $f (x) = e^{2 x - 4}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (e^{2 x - 4})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (e^{2 x - 4}) = \frac{\ln (e^{2 x - 4})}{2} + 2$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1

Zerlege $\ln (e^{2 x - 4})$ durch Herausziehen von $2 x - 4$ aus dem Logarithmus.

$f^{- 1} (e^{2 x - 4}) = \frac{(2 x - 4) \ln (e)}{2} + 2$

Schritt 5.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2 x - 4$ und $2$ .

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Schritt 5.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $(2 x - 4) \ln (e)$ heraus.

$f^{- 1} (e^{2 x - 4}) = \frac{2 ((x - 2) \ln (e))}{2} + 2$

Schritt 5.2.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f^{- 1} (e^{2 x - 4}) = \frac{2 ((x - 2) \ln (e))}{2 (1)} + 2$

Schritt 5.2.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (e^{2 x - 4}) = \frac{2 ((x - 2) \ln (e))}{2 \cdot 1} + 2$

Schritt 5.2.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (e^{2 x - 4}) = \frac{(x - 2) \ln (e)}{1} + 2$

Schritt 5.2.3.2.2.4

Dividiere $(x - 2) \ln (e)$ durch $1$ .

$f^{- 1} (e^{2 x - 4}) = (x - 2) \ln (e) + 2$

Schritt 5.2.3.3

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$f^{- 1} (e^{2 x - 4}) = (x - 2) \cdot 1 + 2$

Schritt 5.2.3.4

Mutltipliziere $x - 2$ mit $1$ .

$f^{- 1} (e^{2 x - 4}) = x - 2 + 2$

Schritt 5.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 2 + 2$ .

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Schritt 5.2.4.1

Addiere $- 2$ und $2$ .

$f^{- 1} (e^{2 x - 4}) = x + 0$

Schritt 5.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (e^{2 x - 4}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{\ln (x)}{2} + 2)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2} + 2) = e^{2 (\frac{\ln (x)}{2} + 2) - 4}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1.1

Schreibe $\frac{\ln (x)}{2}$ als $\frac{1}{2} \ln (x)$ um.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + 2) = e^{2 (\frac{1}{2} \cdot \ln (x) + 2) - 4}$

Schritt 5.3.3.1.2

Vereinfache $\frac{1}{2} \ln (x)$ , indem du $\frac{1}{2}$ in den Logarithmus ziehst.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + 2) = e^{2 (\ln (x^{\frac{1}{2}}) + 2) - 4}$

Schritt 5.3.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + 2) = e^{2 \ln (x^{\frac{1}{2}}) + 2 \cdot 2 - 4}$

Schritt 5.3.3.3

Vereinfache $2 \ln (x^{\frac{1}{2}})$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + 2) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 2 \cdot 2 - 4}$

Schritt 5.3.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2} + 2) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 4 - 4}$

Schritt 5.3.3.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.5.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.3.3.5.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2} + 2) = e^{\ln (x^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + 4 - 4}$

Schritt 5.3.3.5.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.3.5.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + 2) = e^{\ln (x^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + 4 - 4}$

Schritt 5.3.3.5.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + 2) = e^{\ln (x^{1}) + 4 - 4}$

Schritt 5.3.3.5.2

Vereinfache.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + 2) = e^{\ln (x) + 4 - 4}$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\ln (x) + 4 - 4$ .

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Schritt 5.3.4.1

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2} + 2) = e^{\ln (x) + 0}$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $\ln (x)$ und $0$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2} + 2) = e^{\ln (x)}$

Schritt 5.3.5

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + 2) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + 2$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = e^{2 x - 4}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + 2$