Analysis Beispiele

$y = \ln^{3} (x)$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \ln^{3} (y)$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\ln^{3} (y) = x$ um.

$\ln^{3} (y) = x$

Schritt 2.2

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$\ln^{3} (y) = x$

Schritt 2.2.2

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\ln (y) = \sqrt[3]{x}$

Schritt 2.2.2.2

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (y)} = e^{\sqrt[3]{x}}$

Schritt 2.2.2.3

Schreibe $\ln (y) = \sqrt[3]{x}$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{\sqrt[3]{x}} = y$

Schritt 2.2.2.4

Schreibe die Gleichung als $y = e^{\sqrt[3]{x}}$ um.

$y = e^{\sqrt[3]{x}}$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = e^{\sqrt[3]{x}}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = e^{\sqrt[3]{x}}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \ln^{3} (x)$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\ln^{3} (x))$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\ln^{3} (x)) = e^{\sqrt[3]{\ln^{3} (x)}}$

Schritt 4.2.3

Entferne die Klammern.

$f^{- 1} (\ln^{3} (x)) = e^{\sqrt[3]{\ln^{3} (x)}}$

Schritt 4.2.4

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f^{- 1} (\ln^{3} (x)) = e^{\ln (x)}$

Schritt 4.2.5

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f^{- 1} (\ln^{3} (x)) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (e^{\sqrt[3]{x}})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (e^{\sqrt[3]{x}}) = \ln^{3} (e^{\sqrt[3]{x}})$

Schritt 4.3.3

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $\sqrt[3]{x}$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$f (e^{\sqrt[3]{x}}) = {(\sqrt[3]{x} \ln (e))}^{3}$

Schritt 4.3.4

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$f (e^{\sqrt[3]{x}}) = {(\sqrt[3]{x} \cdot 1)}^{3}$

Schritt 4.3.5

Mutltipliziere $\sqrt[3]{x}$ mit $1$ .

$f (e^{\sqrt[3]{x}}) = {\sqrt[3]{x}}^{3}$

Schritt 4.3.6

Schreibe ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ als $x$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$f (e^{\sqrt[3]{x}}) = {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Schritt 4.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (e^{\sqrt[3]{x}}) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Schritt 4.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$f (e^{\sqrt[3]{x}}) = x^{\frac{3}{3}}$

Schritt 4.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (e^{\sqrt[3]{x}}) = x^{\frac{3}{3}}$

Schritt 4.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (e^{\sqrt[3]{x}}) = x$

Schritt 4.3.6.5

Vereinfache.

$f (e^{\sqrt[3]{x}}) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = e^{\sqrt[3]{x}}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \ln^{3} (x)$ .

$f^{- 1} (x) = e^{\sqrt[3]{x}}$