Analysis Beispiele

$8 x^{2} + \frac{128}{x} - 6$

Schritt 1

Schreibe $8 x^{2} + \frac{128}{x} - 6$ als Funktion.

$f (x) = 8 x^{2} + \frac{128}{x} - 6$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 x^{2} + \frac{128}{x} - 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{128}{x}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{128}{x}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x^{2}$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{128}{x}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$8 (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{128}{x}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$16 x + \frac{d}{d x} [\frac{128}{x}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{128}{x}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $128$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{128}{x}$ nach $x$ gleich $128 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$16 x + 128 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 2.3.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$16 x + 128 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$16 x + 128 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 2.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $128$ .

$16 x - 128 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 2.4

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$16 x - 128 x^{- 2} + 0$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$16 x - 128 \frac{1}{x^{2}} + 0$

Schritt 2.5.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.5.2.1

Kombiniere $- 128$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$16 x + \frac{- 128}{x^{2}} + 0$

Schritt 2.5.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$16 x - \frac{128}{x^{2}} + 0$

Schritt 2.5.2.3

Addiere $16 x - \frac{128}{x^{2}}$ und $0$ .

$16 x - \frac{128}{x^{2}}$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $16 x - \frac{128}{x^{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{128}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- \frac{128}{x^{2}})$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [16 x]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $16 x$ nach $x$ gleich $16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 16 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{128}{x^{2}})$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{128}{x^{2}})$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $16$ mit $1$ .

$f'' (x) = 16 + \frac{d}{d x} (- \frac{128}{x^{2}})$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{128}{x^{2}}]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $- 128$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{128}{x^{2}}$ nach $x$ gleich $- 128 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = 16 - 128 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 3.3.2

Schreibe $\frac{1}{x^{2}}$ als ${(x^{2})}^{- 1}$ um.

$f'' (x) = 16 - 128 \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1}$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 3.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2}$ .

$f'' (x) = 16 - 128 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Schritt 3.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f'' (x) = 16 - 128 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

Schritt 3.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$f'' (x) = 16 - 128 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

Schritt 3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 16 - 128 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Schritt 3.3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Schritt 3.3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 16 - 128 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Schritt 3.3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = 16 - 128 (- x^{- 4} (2 x))$

Schritt 3.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 16 - 128 (- 2 x^{- 4} x)$

Schritt 3.3.7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = 16 - 128 (- 2 (x \cdot x^{- 4}))$

Schritt 3.3.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = 16 - 128 (- 2 x^{1 - 4})$

Schritt 3.3.9

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$f'' (x) = 16 - 128 (- 2 x^{- 3})$

Schritt 3.3.10

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 128$ .

$f'' (x) = 16 + 256 x^{- 3}$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 16 + 256 (\frac{1}{x^{3}})$

Schritt 3.4.2

Kombiniere $256$ und $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = 16 + \frac{256}{x^{3}}$

Schritt 3.4.3

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = \frac{256}{x^{3}} + 16$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$16 x - \frac{128}{x^{2}} = 0$

Schritt 5

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 x^{2} + \frac{128}{x} - 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{128}{x}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{128}{x}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 5.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ .

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Schritt 5.1.2.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x^{2}$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{128}{x}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 5.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$8 (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{128}{x}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 5.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$16 x + \frac{d}{d x} [\frac{128}{x}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 5.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{128}{x}]$ .

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Schritt 5.1.3.1

Da $128$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{128}{x}$ nach $x$ gleich $128 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$16 x + 128 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 5.1.3.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$16 x + 128 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 5.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$16 x + 128 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 5.1.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $128$ .

$16 x - 128 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 5.1.4

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$16 x - 128 x^{- 2} + 0$

Schritt 5.1.5

Vereinfache.

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Schritt 5.1.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$16 x - 128 \frac{1}{x^{2}} + 0$

Schritt 5.1.5.2

Vereine die Terme

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Schritt 5.1.5.2.1

Kombiniere $- 128$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$16 x + \frac{- 128}{x^{2}} + 0$

Schritt 5.1.5.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$16 x - \frac{128}{x^{2}} + 0$

Schritt 5.1.5.2.3

Addiere $16 x - \frac{128}{x^{2}}$ und $0$ .

$f' (x) = 16 x - \frac{128}{x^{2}}$

Schritt 5.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $16 x - \frac{128}{x^{2}}$ .

$16 x - \frac{128}{x^{2}}$

Schritt 6

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $16 x - \frac{128}{x^{2}} = 0$ .

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Schritt 6.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$16 x - \frac{128}{x^{2}} = 0$

Schritt 6.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 6.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, x^{2}, 1$

Schritt 6.2.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x^{2}$

Schritt 6.3

Multipliziere jeden Term in $16 x - \frac{128}{x^{2}} = 0$ mit $x^{2}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 6.3.1

Multipliziere jeden Term in $16 x - \frac{128}{x^{2}} = 0$ mit $x^{2}$ .

$16 x \cdot x^{2} - \frac{128}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.2.1.1

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.3.2.1.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$16 (x^{2} x) - \frac{128}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Schritt 6.3.2.1.1.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 6.3.2.1.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$16 (x^{2} x^{1}) - \frac{128}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Schritt 6.3.2.1.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$16 x^{2 + 1} - \frac{128}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Schritt 6.3.2.1.1.3

Addiere $2$ und $1$ .

$16 x^{3} - \frac{128}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Schritt 6.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 6.3.2.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{128}{x^{2}}$ in den Zähler.

$16 x^{3} + \frac{- 128}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Schritt 6.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$16 x^{3} + \frac{- 128}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Schritt 6.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$16 x^{3} - 128 = 0 x^{2}$

Schritt 6.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $x^{2}$ .

$16 x^{3} - 128 = 0$

Schritt 6.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 6.4.1

Addiere $128$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$16 x^{3} = 128$

Schritt 6.4.2

Subtrahiere $128$ von beiden Seiten der Gleichung.

$16 x^{3} - 128 = 0$

Schritt 6.4.3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 6.4.3.1

Faktorisiere $16$ aus $16 x^{3} - 128$ heraus.

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Schritt 6.4.3.1.1

Faktorisiere $16$ aus $16 x^{3}$ heraus.

$16 (x^{3}) - 128 = 0$

Schritt 6.4.3.1.2

Faktorisiere $16$ aus $- 128$ heraus.

$16 x^{3} + 16 \cdot - 8 = 0$

Schritt 6.4.3.1.3

Faktorisiere $16$ aus $16 x^{3} + 16 \cdot - 8$ heraus.

$16 (x^{3} - 8) = 0$

Schritt 6.4.3.2

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$16 (x^{3} - 2^{3}) = 0$

Schritt 6.4.3.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$16 ((x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

Schritt 6.4.3.4

Faktorisiere.

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Schritt 6.4.3.4.1

Vereinfache.

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Schritt 6.4.3.4.1.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$16 ((x - 2) (x^{2} + 2 x + 2^{2})) = 0$

Schritt 6.4.3.4.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$16 ((x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)) = 0$

Schritt 6.4.3.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$16 (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$

Schritt 6.4.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Schritt 6.4.5

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.4.5.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 6.4.5.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 6.4.6

Setze $x^{2} + 2 x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.4.6.1

Setze $x^{2} + 2 x + 4$ gleich $0$ .

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Schritt 6.4.6.2

Löse $x^{2} + 2 x + 4 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.4.6.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 6.4.6.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 2$ und $c = 4$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.4.6.2.3

Vereinfache.

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Schritt 6.4.6.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.4.6.2.3.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.4.6.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Schritt 6.4.6.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.4.6.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.4.6.2.3.1.3

Subtrahiere $16$ von $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.4.6.2.3.1.4

Schreibe $- 12$ als $- 1 (12)$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.4.6.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (12)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.4.6.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.4.6.2.3.1.7

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 6.4.6.2.3.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.4.6.2.3.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.4.6.2.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.4.6.2.3.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.4.6.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 6.4.6.2.3.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Schritt 6.4.6.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 6.4.6.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.4.6.2.4.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.4.6.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Schritt 6.4.6.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.4.6.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.4.6.2.4.1.3

Subtrahiere $16$ von $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.4.6.2.4.1.4

Schreibe $- 12$ als $- 1 (12)$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.4.6.2.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (12)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.4.6.2.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.4.6.2.4.1.7

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 6.4.6.2.4.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.4.6.2.4.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.4.6.2.4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.4.6.2.4.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.4.6.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 6.4.6.2.4.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Schritt 6.4.6.2.4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = - 1 + i \sqrt{3}$

Schritt 6.4.6.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 6.4.6.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.4.6.2.5.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.4.6.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Schritt 6.4.6.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.4.6.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.4.6.2.5.1.3

Subtrahiere $16$ von $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.4.6.2.5.1.4

Schreibe $- 12$ als $- 1 (12)$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.4.6.2.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (12)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.4.6.2.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.4.6.2.5.1.7

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 6.4.6.2.5.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.4.6.2.5.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.4.6.2.5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.4.6.2.5.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.4.6.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 6.4.6.2.5.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Schritt 6.4.6.2.5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = - 1 - i \sqrt{3}$

Schritt 6.4.6.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Schritt 6.4.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $16 (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$ wahr machen.

$x = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Schritt 7

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 7.1

Setze den Nenner in $\frac{128}{x^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} = 0$

Schritt 7.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 7.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 7.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 7.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 8

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 2$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 2$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{256}{{(2)}^{3}} + 16$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 10.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.1.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{256}{8} + 16$

Schritt 10.1.2

Dividiere $256$ durch $8$ .

$32 + 16$

Schritt 10.2

Addiere $32$ und $16$ .

$48$

Schritt 11

$x = 2$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 2$ ist ein lokales Minimum

Schritt 12

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 2$ .

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Schritt 12.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = 8 {(2)}^{2} + \frac{128}{2} - 6$

Schritt 12.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 12.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.2.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (2) = 8 \cdot 4 + \frac{128}{2} - 6$

Schritt 12.2.1.2

Mutltipliziere $8$ mit $4$ .

$f (2) = 32 + \frac{128}{2} - 6$

Schritt 12.2.1.3

Dividiere $128$ durch $2$ .

$f (2) = 32 + 64 - 6$

Schritt 12.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 12.2.2.1

Addiere $32$ und $64$ .

$f (2) = 96 - 6$

Schritt 12.2.2.2

Subtrahiere $6$ von $96$ .

$f (2) = 90$

Schritt 12.2.3

Die endgültige Lösung ist $90$ .

$y = 90$

Schritt 13

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = 8 x^{2} + \frac{128}{x} - 6$ .

$(2, 90)$ ist ein lokales Minimum

Schritt 14