Analysis Beispiele

$\frac{4 e^{x} + 4 e^{- x}}{2}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{4 e^{x} + 4 e^{- x}}{2}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{4 e^{x} + 4 e^{- x}}{2}$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4 e^{x} + 4 e^{- x}$ und $2$ .

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Schritt 2.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4 e^{x}$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 e^{x}) + 4 e^{- x}}{2}]$

Schritt 2.1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $4 e^{- x}$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 e^{x}) + 2 (2 e^{- x})}{2}]$

Schritt 2.1.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 e^{x}) + 2 (2 e^{- x})$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 e^{x} + 2 e^{- x})}{2}]$

Schritt 2.1.1.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 e^{x} + 2 e^{- x})}{2 (1)}]$

Schritt 2.1.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 e^{x} + 2 e^{- x})}{2 \cdot 1}]$

Schritt 2.1.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d}{d x} [\frac{2 e^{x} + 2 e^{- x}}{1}]$

Schritt 2.1.1.4.4

Dividiere $2 e^{x} + 2 e^{- x}$ durch $1$ .

$\frac{d}{d x} [2 e^{x} + 2 e^{- x}]$

Schritt 2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 e^{x} + 2 e^{- x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Schritt 2.1.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 e^{x}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$2 e^{x} + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Schritt 2.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 e^{- x}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$2 e^{x} + 2 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x$ .

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Schritt 2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- x$ .

$2 e^{x} + 2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$2 e^{x} + 2 (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 2.4.3

Ersetze alle $u$ durch $- x$ .

$2 e^{x} + 2 (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 2.5

Differenziere.

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Schritt 2.5.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 e^{x} + 2 e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$2 e^{x} - 2 e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.5.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 e^{x} - 2 e^{- x} \cdot 1$

Schritt 2.5.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$2 e^{x} - 2 e^{- x}$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 e^{x} - 2 e^{- x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{- x})$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 e^{x}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 e^{x}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{- x})$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 2 e^{x} + \frac{d}{d x} (- 2 e^{- x})$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 e^{- x}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$f'' (x) = 2 e^{x} - 2 \frac{d}{d x} e^{- x}$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x$ .

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Schritt 3.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- x$ .

$f'' (x) = 2 e^{x} - 2 (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x))$

Schritt 3.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 2 e^{x} - 2 (e^{u} \frac{d}{d x} (- x))$

Schritt 3.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $- x$ .

$f'' (x) = 2 e^{x} - 2 (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x))$

Schritt 3.3.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 e^{x} - 2 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x))$

Schritt 3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 e^{x} - 2 (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Schritt 3.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f'' (x) = 2 e^{x} - 2 (e^{- x} \cdot - 1)$

Schritt 3.3.6

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- x}$ .

$f'' (x) = 2 e^{x} - 2 (- 1 \cdot e^{- x})$

Schritt 3.3.7

Schreibe $- 1 e^{- x}$ als $- e^{- x}$ um.

$f'' (x) = 2 e^{x} - 2 (- e^{- x})$

Schritt 3.3.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = 2 e^{x} + 2 e^{- x}$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$2 e^{x} - 2 e^{- x} = 0$

Schritt 5

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1.1

Differenziere.

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Schritt 5.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4 e^{x} + 4 e^{- x}$ und $2$ .

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Schritt 5.1.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4 e^{x}$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 e^{x}) + 4 e^{- x}}{2}]$

Schritt 5.1.1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $4 e^{- x}$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 e^{x}) + 2 (2 e^{- x})}{2}]$

Schritt 5.1.1.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 e^{x}) + 2 (2 e^{- x})$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 e^{x} + 2 e^{- x})}{2}]$

Schritt 5.1.1.1.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.1.1.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 e^{x} + 2 e^{- x})}{2 (1)}]$

Schritt 5.1.1.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 e^{x} + 2 e^{- x})}{2 \cdot 1}]$

Schritt 5.1.1.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d}{d x} [\frac{2 e^{x} + 2 e^{- x}}{1}]$

Schritt 5.1.1.1.4.4

Dividiere $2 e^{x} + 2 e^{- x}$ durch $1$ .

$\frac{d}{d x} [2 e^{x} + 2 e^{- x}]$

Schritt 5.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 e^{x} + 2 e^{- x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Schritt 5.1.1.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 e^{x}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Schritt 5.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$2 e^{x} + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Schritt 5.1.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 e^{- x}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$2 e^{x} + 2 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Schritt 5.1.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x$ .

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Schritt 5.1.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- x$ .

$2 e^{x} + 2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 5.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$2 e^{x} + 2 (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 5.1.4.3

Ersetze alle $u$ durch $- x$ .

$2 e^{x} + 2 (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 5.1.5

Differenziere.

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Schritt 5.1.5.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 e^{x} + 2 e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 5.1.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$2 e^{x} - 2 e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.5.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 e^{x} - 2 e^{- x} \cdot 1$

Schritt 5.1.5.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$f' (x) = 2 e^{x} - 2 e^{- x}$

Schritt 5.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $2 e^{x} - 2 e^{- x}$ .

$2 e^{x} - 2 e^{- x}$

Schritt 6

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $2 e^{x} - 2 e^{- x} = 0$ .

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Schritt 6.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$2 e^{x} - 2 e^{- x} = 0$

Schritt 6.2

Bringe $- 2 e^{- x}$ auf die rechte Seite der Gleichung, indem du es auf beiden Seiten addierst.

$2 e^{x} = 2 e^{- x}$

Schritt 6.3

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (2 e^{x}) = \ln (2 e^{- x})$

Schritt 6.4

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 6.4.1

Schreibe $\ln (2 e^{x})$ als $\ln (2) + \ln (e^{x})$ um.

$\ln (2) + \ln (e^{x}) = \ln (2 e^{- x})$

Schritt 6.4.2

Zerlege $\ln (e^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$\ln (2) + x \ln (e) = \ln (2 e^{- x})$

Schritt 6.4.3

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$\ln (2) + x \cdot 1 = \ln (2 e^{- x})$

Schritt 6.4.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\ln (2) + x = \ln (2 e^{- x})$

Schritt 6.5

Multipliziere die rechte Seite aus.

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Schritt 6.5.1

Schreibe $\ln (2 e^{- x})$ als $\ln (2) + \ln (e^{- x})$ um.

$\ln (2) + x = \ln (2) + \ln (e^{- x})$

Schritt 6.5.2

Zerlege $\ln (e^{- x})$ durch Herausziehen von $- x$ aus dem Logarithmus.

$\ln (2) + x = \ln (2) - x \ln (e)$

Schritt 6.5.3

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$\ln (2) + x = \ln (2) - x \cdot 1$

Schritt 6.5.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\ln (2) + x = \ln (2) - x$

Schritt 6.6

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (2) - \ln (2) = - x - x$

Schritt 6.7

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{2}{2}) = - x - x$

Schritt 6.8

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\ln (1) = - x - x$

Schritt 6.9

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$0 = - x - x$

Schritt 6.10

Subtrahiere $x$ von $- x$ .

$0 = - 2 x$

Schritt 6.11

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$- 2 x = 0$

Schritt 6.12

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x = 0$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 6.12.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x = 0$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Schritt 6.12.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.12.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 6.12.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Schritt 6.12.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{- 2}$

Schritt 6.12.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.12.3.1

Dividiere $0$ durch $- 2$ .

$x = 0$

Schritt 7

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 7.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 8

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 0$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$2 e^{0} + 2 e^{- (0)}$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 10.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.1.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$2 \cdot 1 + 2 e^{- (0)}$

Schritt 10.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + 2 e^{- (0)}$

Schritt 10.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$2 + 2 e^{0}$

Schritt 10.1.4

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$2 + 2 \cdot 1$

Schritt 10.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + 2$

Schritt 10.2

Addiere $2$ und $2$ .

$4$

Schritt 11

$x = 0$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 0$ ist ein lokales Minimum

Schritt 12

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 0$ .

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Schritt 12.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = \frac{4 e^{0} + 4 e^{- (0)}}{2}$

Schritt 12.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 12.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4 e^{0} + 4 e^{- (0)}$ und $2$ .

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Schritt 12.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4 e^{0}$ heraus.

$f (0) = \frac{2 (2 e^{0}) + 4 e^{- (0)}}{2}$

Schritt 12.2.1.2

Faktorisiere $2$ aus $4 e^{- (0)}$ heraus.

$f (0) = \frac{2 (2 e^{0}) + 2 (2 e^{- (0)})}{2}$

Schritt 12.2.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 e^{0}) + 2 (2 e^{- (0)})$ heraus.

$f (0) = \frac{2 (2 e^{0} + 2 e^{- (0)})}{2}$

Schritt 12.2.1.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.2.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f (0) = \frac{2 (2 e^{0} + 2 e^{- (0)})}{2 (1)}$

Schritt 12.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (0) = \frac{2 (2 e^{0} + 2 e^{- (0)})}{2 \cdot 1}$

Schritt 12.2.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f (0) = \frac{2 e^{0} + 2 e^{- (0)}}{1}$

Schritt 12.2.1.4.4

Dividiere $2 e^{0} + 2 e^{- (0)}$ durch $1$ .

$f (0) = 2 e^{0} + 2 e^{- (0)}$

Schritt 12.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.2.2.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$f (0) = 2 \cdot 1 + 2 e^{- (0)}$

Schritt 12.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f (0) = 2 + 2 e^{- (0)}$

Schritt 12.2.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$f (0) = 2 + 2 e^{0}$

Schritt 12.2.2.4

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$f (0) = 2 + 2 \cdot 1$

Schritt 12.2.2.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f (0) = 2 + 2$

Schritt 12.2.3

Addiere $2$ und $2$ .

$f (0) = 4$

Schritt 12.2.4

Die endgültige Lösung ist $4$ .

$y = 4$

Schritt 13

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = \frac{4 e^{x} + 4 e^{- x}}{2}$ .

$(0, 4)$ ist ein lokales Minimum

Schritt 14