Analysis Beispiele

$f (x, y) = x + \frac{4}{x} - y - \frac{9}{y} + 10$

Schritt 1

Schreibe $f (x, y) - x - \frac{4}{x} + y + \frac{9}{y} - 10 = 0$ als Funktion.

$f (x) = f (x, y) - x - \frac{4}{x} + y + \frac{9}{y} - 10$

Schritt 2

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$f (x, y) - x = \frac{4}{x} - y - \frac{9}{y} + 10$

Schritt 2.2

Subtrahiere $\frac{4}{x}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$f (x, y) - x - \frac{4}{x} = - y - \frac{9}{y} + 10$

Schritt 2.3

Addiere $y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$f (x, y) - x - \frac{4}{x} + y = - \frac{9}{y} + 10$

Schritt 2.4

Addiere $\frac{9}{y}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$f (x, y) - x - \frac{4}{x} + y + \frac{9}{y} = 10$

Schritt 2.5

Subtrahiere $10$ von beiden Seiten der Gleichung.

$f (x, y) - x - \frac{4}{x} + y + \frac{9}{y} - 10 = 0$

Schritt 3

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $f (x, y) - x - \frac{4}{x} + y + \frac{9}{y} - 10$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$ .

$\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Schritt 3.2

Multipliziere $f$ mit jedem Element der Matrix.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Schritt 3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{4}{x}]$ .

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Schritt 3.4.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{4}{x}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 - 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Schritt 3.4.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 - 4 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Schritt 3.4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 - 4 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Schritt 3.4.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + 4 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 3.5.1

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + 4 x^{- 2} + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Schritt 3.5.2

Da $\frac{9}{y}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{9}{y}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + 4 x^{- 2} + 0 + 0 + \frac{d}{d x} [- 10]$

Schritt 3.5.3

Da $- 10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 10$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + 4 x^{- 2} + 0 + 0 + 0$

Schritt 3.6

Vereinfache.

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Schritt 3.6.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + 4 \frac{1}{x^{2}} + 0 + 0 + 0$

Schritt 3.6.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.6.2.1

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + \frac{4}{x^{2}} + 0 + 0 + 0$

Schritt 3.6.2.2

Addiere $\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + \frac{4}{x^{2}}$ und $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + \frac{4}{x^{2}} + 0 + 0$

Schritt 3.6.2.3

Addiere $\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + \frac{4}{x^{2}}$ und $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + \frac{4}{x^{2}} + 0$

Schritt 3.6.2.4

Addiere $\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + \frac{4}{x^{2}}$ und $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + \frac{4}{x^{2}}$

Schritt 3.6.3

Stelle die Terme um.

$\frac{4}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1$

Schritt 4

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{4}{x^{2}} + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} ((f x, f y))] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{4}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 4.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{2}}]$ .

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Schritt 4.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4}{x^{2}}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 4.2.2

Schreibe $\frac{1}{x^{2}}$ als ${(x^{2})}^{- 1}$ um.

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} ({(x^{2})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 4.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 4.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 4.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f'' (x) = 4 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 4.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$f'' (x) = 4 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 4.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 4 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 4.2.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Schritt 4.2.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 4 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 4.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = 4 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 4.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 4 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 4.2.7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = 4 (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 4.2.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = 4 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 4.2.9

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$f'' (x) = 4 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 4.2.10

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$f'' (x) = - 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 4.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} ((f x, f y))]$ .

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Schritt 4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $d$ .

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Schritt 4.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = - 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot (f x, f y)) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 4.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = - 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x} \cdot (f x, f y)) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 4.3.2

Multipliziere $\frac{1}{x}$ mit jedem Element der Matrix.

$f'' (x) = - 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (f x), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 4.3.3

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 4.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 4.3.3.1.1

Faktorisiere $x$ aus $f x$ heraus.

$f'' (x) = - 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (x f), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 4.3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = - 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (x f), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 4.3.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = - 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} ((f, \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 4.3.3.2

Multipliziere $\frac{1}{x} (f y)$ .

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Schritt 4.3.3.2.1

Kombiniere $f$ und $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = - 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f}{x} \cdot y)) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 4.3.3.2.2

Kombiniere $\frac{f}{x}$ und $y$ .

$f'' (x) = - 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 4.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + 0$

Schritt 4.5

Vereinfache.

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Schritt 4.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{1}{x^{3}} + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + 0$

Schritt 4.5.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.5.2.1

Kombiniere $- 8$ und $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 8}{x^{3}} + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + 0$

Schritt 4.5.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{8}{x^{3}} + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + 0$

Schritt 4.5.2.3

Addiere $- \frac{8}{x^{3}} + \frac{d}{d x} [(f, \frac{f y}{x})]$ und $0$ .

$f'' (x) = - \frac{8}{x^{3}} + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x}))$

Schritt 5

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{4}{x^{2}} + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) - 1 = 0$

Schritt 6

Da es keinen Wert von $x$ gibt, der die erste Ableitung gleich $0$ macht, gibt es keine lokalen Extrema.

Keine lokalen Extrema

Schritt 7

Keine lokalen Extrema

Schritt 8