Analysis Beispiele

$f (x, y) = x y + y - 16 x$

Schritt 1

Schreibe $f (x, y) - x y - y + 16 x = 0$ als Funktion.

$f (x) = f (x, y) - x y - y + 16 x$

Schritt 2

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $x y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$f (x, y) - x y = y - 16 x$

Schritt 2.2

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$f (x, y) - x y - y = - 16 x$

Schritt 2.3

Addiere $16 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$f (x, y) - x y - y + 16 x = 0$

Schritt 3

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $f (x, y) - x y - y + 16 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$ .

$\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Schritt 3.2

Multipliziere $f$ mit jedem Element der Matrix.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $- y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x y$ nach $x$ gleich $- y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Schritt 3.4

Da $- y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 0 + \frac{d}{d x} [16 x]$

Schritt 3.5

Berechne $\frac{d}{d x} [16 x]$ .

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Schritt 3.5.1

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $16 x$ nach $x$ gleich $16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 0 + 16 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 0 + 16 \cdot 1$

Schritt 3.5.3

Mutltipliziere $16$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 0 + 16$

Schritt 3.6

Vereinfache.

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Schritt 3.6.1

Addiere $\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y$ und $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 16$

Schritt 3.6.2

Stelle die Terme um.

$- y + \frac{d}{d x} [(f x, f y)] + 16$

Schritt 4

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 4.1

Differenziere.

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Schritt 4.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- y + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) + 16$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} ((f x, f y))] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- y) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (16)$

Schritt 4.1.2

Da $- y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (16)$

Schritt 4.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} ((f x, f y))]$ .

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $d$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot (f x, f y)) + \frac{d}{d x} (16)$

Schritt 4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x} \cdot (f x, f y)) + \frac{d}{d x} (16)$

Schritt 4.2.2

Multipliziere $\frac{1}{x}$ mit jedem Element der Matrix.

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (f x), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (16)$

Schritt 4.2.3

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 4.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 4.2.3.1.1

Faktorisiere $x$ aus $f x$ heraus.

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (x f), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (16)$

Schritt 4.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (x f), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (16)$

Schritt 4.2.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (16)$

Schritt 4.2.3.2

Multipliziere $\frac{1}{x} (f y)$ .

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Schritt 4.2.3.2.1

Kombiniere $f$ und $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f}{x} \cdot y)) + \frac{d}{d x} (16)$

Schritt 4.2.3.2.2

Kombiniere $\frac{f}{x}$ und $y$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + \frac{d}{d x} (16)$

Schritt 4.3

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $16$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + 0$

Schritt 4.4

Vereine die Terme

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Schritt 4.4.1

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [(f, \frac{f y}{x})]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + 0$

Schritt 4.4.2

Addiere $\frac{d}{d x} [(f, \frac{f y}{x})]$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x}))$

Schritt 5

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- y + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) + 16 = 0$

Schritt 6

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 6.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 6.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $f (x, y) - x y - y + 16 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$ .

$\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Schritt 6.1.2

Multipliziere $f$ mit jedem Element der Matrix.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Schritt 6.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

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Schritt 6.1.3.1

Da $- y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x y$ nach $x$ gleich $- y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Schritt 6.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Schritt 6.1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Schritt 6.1.4

Da $- y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 0 + \frac{d}{d x} [16 x]$

Schritt 6.1.5

Berechne $\frac{d}{d x} [16 x]$ .

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Schritt 6.1.5.1

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $16 x$ nach $x$ gleich $16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 0 + 16 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 6.1.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 0 + 16 \cdot 1$

Schritt 6.1.5.3

Mutltipliziere $16$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 0 + 16$

Schritt 6.1.6

Vereinfache.

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Schritt 6.1.6.1

Addiere $\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y$ und $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 16$

Schritt 6.1.6.2

Stelle die Terme um.

$f' (x) = - y + \frac{d}{d x} [(f x, f y)] + 16$

Schritt 6.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- y + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) + 16$ .

$- y + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) + 16$

Schritt 7

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- y + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) + 16 = 0$ .

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Schritt 7.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- y + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) + 16 = 0$

Schritt 7.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $d$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- y + \frac{d}{d x} \cdot (f x, f y) + 16 = 0$

Schritt 7.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$- y + \frac{1}{x} \cdot (f x, f y) + 16 = 0$

Schritt 7.2.2

Multipliziere $\frac{1}{x}$ mit jedem Element der Matrix.

$- y + (\frac{1}{x} (f x), \frac{1}{x} (f y)) + 16 = 0$

Schritt 7.2.3

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 7.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 7.2.3.1.1

Faktorisiere $x$ aus $f x$ heraus.

$- y + (\frac{1}{x} (x f), \frac{1}{x} (f y)) + 16 = 0$

Schritt 7.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- y + (\frac{1}{x} (x f), \frac{1}{x} (f y)) + 16 = 0$

Schritt 7.2.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- y + (f, \frac{1}{x} (f y)) + 16 = 0$

Schritt 7.2.3.2

Multipliziere $\frac{1}{x} (f y)$ .

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Schritt 7.2.3.2.1

Kombiniere $f$ und $\frac{1}{x}$ .

$- y + (f, \frac{f}{x} y) + 16 = 0$

Schritt 7.2.3.2.2

Kombiniere $\frac{f}{x}$ und $y$ .

$- y + (f, \frac{f y}{x}) + 16 = 0$

Schritt 7.3

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 7.3.1

Addiere $y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$(f, \frac{f y}{x}) + 16 = y$

Schritt 7.3.2

Subtrahiere $16$ von beiden Seiten der Gleichung.

$(f, \frac{f y}{x}) = y - 16$

Schritt 8

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 8.1

Setze den Nenner in $\frac{d}{d x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$d x = 0$

Schritt 8.2

Teile jeden Ausdruck in $d x = 0$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Teile jeden Ausdruck in $d x = 0$ durch $x$ .

$\frac{d x}{x} = \frac{0}{x}$

Schritt 8.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 8.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d x}{x} = \frac{0}{x}$

Schritt 8.2.2.1.2

Dividiere $d$ durch $1$ .

$d = \frac{0}{x}$

Schritt 8.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.3.1

Dividiere $0$ durch $x$ .

$d = 0$

Schritt 8.3

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$y = 0$

Schritt 9

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 0$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{d}{d (0)} ((f, \frac{f y}{0}))$

Schritt 11

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 11.1

Mutltipliziere $d$ mit $0$ .

$\frac{d}{0} (f, \frac{f y}{0})$

Schritt 11.2

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 12

Da der erste Ableitungstest nicht erfolgreich war, gibt es kein lokales Extremum.

Keine lokalen Extrema

Schritt 13