Analysis Beispiele

$y = x^{\frac{7}{2}} - 35 x^{2}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{\frac{7}{2}} - 35 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{2}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}]$ .

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Schritt 1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{7}{2}$ .

$\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 35 x^{2}]$

Schritt 1.2.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 35 x^{2}]$

Schritt 1.2.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 35 x^{2}]$

Schritt 1.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{7}{2} x^{\frac{7 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 35 x^{2}]$

Schritt 1.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{7}{2} x^{\frac{7 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 35 x^{2}]$

Schritt 1.2.5.2

Subtrahiere $2$ von $7$ .

$\frac{7}{2} x^{\frac{5}{2}} + \frac{d}{d x} [- 35 x^{2}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 35 x^{2}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 35$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 35 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 35 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{7}{2} x^{\frac{5}{2}} - 35 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{7}{2} x^{\frac{5}{2}} - 35 (2 x)$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 35$ .

$\frac{7}{2} x^{\frac{5}{2}} - 70 x$

Schritt 1.4

Kombiniere $\frac{7}{2}$ und $x^{\frac{5}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2} - 70 x$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2} - 70 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 70 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 70 x]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $\frac{7}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{7}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ .

$\frac{7}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 70 x]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{5}{2}$ .

$\frac{7}{2} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 70 x]$

Schritt 2.2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{7}{2} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 70 x]$

Schritt 2.2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{7}{2} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 70 x]$

Schritt 2.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{7}{2} (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 70 x]$

Schritt 2.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{7}{2} (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 70 x]$

Schritt 2.2.6.2

Subtrahiere $2$ von $5$ .

$\frac{7}{2} (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 70 x]$

Schritt 2.2.7

Kombiniere $\frac{5}{2}$ und $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{7}{2} \cdot \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 70 x]$

Schritt 2.2.8

Mutltipliziere $\frac{7}{2}$ mit $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{7 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- 70 x]$

Schritt 2.2.9

Mutltipliziere $5$ mit $7$ .

$\frac{35 x^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- 70 x]$

Schritt 2.2.10

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{35 x^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{d}{d x} [- 70 x]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 70 x]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 70$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 70 x$ nach $x$ gleich $- 70 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{35 x^{\frac{3}{2}}}{4} - 70 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{35 x^{\frac{3}{2}}}{4} - 70 \cdot 1$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $- 70$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{35 x^{\frac{3}{2}}}{4} - 70$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{35 x^{\frac{3}{2}}}{4} - 70$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{35 x^{\frac{3}{2}}}{4}] + \frac{d}{d x} [- 70]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{35 x^{\frac{3}{2}}}{4}] + \frac{d}{d x} [- 70]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{35 x^{\frac{3}{2}}}{4}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $\frac{35}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{35 x^{\frac{3}{2}}}{4}$ nach $x$ gleich $\frac{35}{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{35}{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 70]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{35}{4} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 70]$

Schritt 3.2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{35}{4} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 70]$

Schritt 3.2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{35}{4} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 70]$

Schritt 3.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{35}{4} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 70]$

Schritt 3.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{35}{4} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 70]$

Schritt 3.2.6.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$\frac{35}{4} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 70]$

Schritt 3.2.7

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{35}{4} \cdot \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 70]$

Schritt 3.2.8

Mutltipliziere $\frac{35}{4}$ mit $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{35 (3 x^{\frac{1}{2}})}{4 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- 70]$

Schritt 3.2.9

Mutltipliziere $3$ mit $35$ .

$\frac{105 x^{\frac{1}{2}}}{4 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- 70]$

Schritt 3.2.10

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{105 x^{\frac{1}{2}}}{8} + \frac{d}{d x} [- 70]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 3.3.1

Da $- 70$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 70$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{105 x^{\frac{1}{2}}}{8} + 0$

Schritt 3.3.2

Addiere $\frac{105 x^{\frac{1}{2}}}{8}$ und $0$ .

$f''' (x) = \frac{105 x^{\frac{1}{2}}}{8}$