Analysis Beispiele

$y = 4 x^{3} \sqrt{x}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [4 x^{3} x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.2

Multipliziere $x^{3}$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.1

Bewege $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [4 (x^{\frac{1}{2}} x^{3})]$

Schritt 1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{2} + 3}]$

Schritt 1.2.3

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}}]$

Schritt 1.2.4

Kombiniere $3$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}}]$

Schritt 1.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1 + 3 \cdot 2}{2}}]$

Schritt 1.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.6.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1 + 6}{2}}]$

Schritt 1.2.6.2

Addiere $1$ und $6$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{7}{2}}]$

Schritt 1.3

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{\frac{7}{2}}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}]$

Schritt 1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{7}{2}$ .

$4 (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1})$

Schritt 1.5

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 1.6

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 1.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 (\frac{7}{2} x^{\frac{7 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 1.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$4 (\frac{7}{2} x^{\frac{7 - 2}{2}})$

Schritt 1.8.2

Subtrahiere $2$ von $7$ .

$4 (\frac{7}{2} x^{\frac{5}{2}})$

Schritt 1.9

Kombiniere $\frac{7}{2}$ und $x^{\frac{5}{2}}$ .

$4 \frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}$

Schritt 1.10

Kombiniere $4$ und $\frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}$ .

$\frac{4 (7 x^{\frac{5}{2}})}{2}$

Schritt 1.11

Mutltipliziere $7$ mit $4$ .

$\frac{28 x^{\frac{5}{2}}}{2}$

Schritt 1.12

Faktorisiere $2$ aus $28 x^{\frac{5}{2}}$ heraus.

$\frac{2 (14 x^{\frac{5}{2}})}{2}$

Schritt 1.13

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.13.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (14 x^{\frac{5}{2}})}{2 (1)}$

Schritt 1.13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (14 x^{\frac{5}{2}})}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.13.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{14 x^{\frac{5}{2}}}{1}$

Schritt 1.13.4

Dividiere $14 x^{\frac{5}{2}}$ durch $1$ .

$f' (x) = 14 x^{\frac{5}{2}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Da $14$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $14 x^{\frac{5}{2}}$ nach $x$ gleich $14 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ .

$14 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{5}{2}$ .

$14 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1})$

Schritt 2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$14 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$14 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$14 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$14 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}})$

Schritt 2.6.2

Subtrahiere $2$ von $5$ .

$14 (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}})$

Schritt 2.7

Kombiniere $\frac{5}{2}$ und $x^{\frac{3}{2}}$ .

$14 \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Schritt 2.8

Kombiniere $14$ und $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{14 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2}$

Schritt 2.9

Mutltipliziere $5$ mit $14$ .

$\frac{70 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Schritt 2.10

Faktorisiere $2$ aus $70 x^{\frac{3}{2}}$ heraus.

$\frac{2 (35 x^{\frac{3}{2}})}{2}$

Schritt 2.11

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.11.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (35 x^{\frac{3}{2}})}{2 (1)}$

Schritt 2.11.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (35 x^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.11.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{35 x^{\frac{3}{2}}}{1}$

Schritt 2.11.4

Dividiere $35 x^{\frac{3}{2}}$ durch $1$ .

$f'' (x) = 35 x^{\frac{3}{2}}$