Analysis Beispiele

$y = \ln (x^{2} + 3 x + 15)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x^{2} + 3 x + 15$ .

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Schritt 1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 3 x + 15$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 15]$

Schritt 1.1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 15]$

Schritt 1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 3 x + 15$ .

$\frac{1}{x^{2} + 3 x + 15} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 15]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 3 x + 15$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [15]$ .

$\frac{1}{x^{2} + 3 x + 15} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [15])$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} + 3 x + 15} (2 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [15])$

Schritt 1.2.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x^{2} + 3 x + 15} (2 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [15])$

Schritt 1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{2} + 3 x + 15} (2 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [15])$

Schritt 1.2.5

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{1}{x^{2} + 3 x + 15} (2 x + 3 + \frac{d}{d x} [15])$

Schritt 1.2.6

Da $15$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $15$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{x^{2} + 3 x + 15} (2 x + 3 + 0)$

Schritt 1.2.7

Addiere $2 x + 3$ und $0$ .

$\frac{1}{x^{2} + 3 x + 15} (2 x + 3)$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Stelle die Faktoren von $\frac{1}{x^{2} + 3 x + 15} (2 x + 3)$ um.

$(2 x + 3) \frac{1}{x^{2} + 3 x + 15}$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $2 x + 3$ mit $\frac{1}{x^{2} + 3 x + 15}$ .

$f' (x) = \frac{2 x + 3}{x^{2} + 3 x + 15}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 2 x + 3$ und $g (x) = x^{2} + 3 x + 15$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x + 15) \frac{d}{d x} [2 x + 3] - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 15]}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x + 15) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 15]}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Schritt 2.2.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x + 15) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 15]}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x + 15) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 15]}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x + 15) (2 + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 15]}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Schritt 2.2.5

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x + 15) (2 + 0) - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 15]}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Schritt 2.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.6.1

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x + 15) \cdot 2 - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 15]}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Schritt 2.2.6.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2} + 3 x + 15$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} + 3 x + 15) - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 15]}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Schritt 2.2.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 3 x + 15$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [15]$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3 x + 15) - (2 x + 3) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [15])}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Schritt 2.2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3 x + 15) - (2 x + 3) (2 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [15])}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Schritt 2.2.9

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3 x + 15) - (2 x + 3) (2 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [15])}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Schritt 2.2.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3 x + 15) - (2 x + 3) (2 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [15])}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Schritt 2.2.11

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3 x + 15) - (2 x + 3) (2 x + 3 + \frac{d}{d x} [15])}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Schritt 2.2.12

Da $15$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $15$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3 x + 15) - (2 x + 3) (2 x + 3 + 0)}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Schritt 2.2.13

Addiere $2 x + 3$ und $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3 x + 15) - (2 x + 3) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Schritt 2.3

Potenziere $2 x + 3$ mit $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3 x + 15) - ({(2 x + 3)}^{1} (2 x + 3))}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Schritt 2.4

Potenziere $2 x + 3$ mit $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3 x + 15) - ({(2 x + 3)}^{1} {(2 x + 3)}^{1})}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Schritt 2.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 (x^{2} + 3 x + 15) - {(2 x + 3)}^{1 + 1}}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Schritt 2.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3 x + 15) - {(2 x + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Schritt 2.7

Vereinfache.

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Schritt 2.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} + 2 (3 x) + 2 \cdot 15 - {(2 x + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Schritt 2.7.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.7.2.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 2 \cdot 15 - {(2 x + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Schritt 2.7.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $15$ .

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 30 - {(2 x + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Schritt 2.7.2.1.3

Schreibe ${(2 x + 3)}^{2}$ als $(2 x + 3) (2 x + 3)$ um.

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 30 - ((2 x + 3) (2 x + 3))}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Schritt 2.7.2.1.4

Multipliziere $(2 x + 3) (2 x + 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.7.2.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 30 - (2 x (2 x + 3) + 3 (2 x + 3))}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Schritt 2.7.2.1.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 30 - (2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x + 3))}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Schritt 2.7.2.1.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 30 - (2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3)}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Schritt 2.7.2.1.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.7.2.1.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.7.2.1.5.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 30 - (2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3)}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Schritt 2.7.2.1.5.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.7.2.1.5.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 30 - (2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3)}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Schritt 2.7.2.1.5.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 30 - (2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3)}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Schritt 2.7.2.1.5.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 30 - (4 x^{2} + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3)}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Schritt 2.7.2.1.5.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 30 - (4 x^{2} + 6 x + 3 (2 x) + 3 \cdot 3)}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Schritt 2.7.2.1.5.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 30 - (4 x^{2} + 6 x + 6 x + 3 \cdot 3)}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Schritt 2.7.2.1.5.1.6

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 30 - (4 x^{2} + 6 x + 6 x + 9)}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Schritt 2.7.2.1.5.2

Addiere $6 x$ und $6 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 30 - (4 x^{2} + 12 x + 9)}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Schritt 2.7.2.1.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 30 - (4 x^{2}) - (12 x) - 1 \cdot 9}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Schritt 2.7.2.1.7

Vereinfache.

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Schritt 2.7.2.1.7.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 30 - 4 x^{2} - (12 x) - 1 \cdot 9}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Schritt 2.7.2.1.7.2

Mutltipliziere $12$ mit $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 30 - 4 x^{2} - 12 x - 1 \cdot 9}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Schritt 2.7.2.1.7.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 30 - 4 x^{2} - 12 x - 9}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Schritt 2.7.2.2

Subtrahiere $4 x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 6 x + 30 - 12 x - 9}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Schritt 2.7.2.3

Subtrahiere $12 x$ von $6 x$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 6 x + 30 - 9}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Schritt 2.7.2.4

Subtrahiere $9$ von $30$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 6 x + 21}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Schritt 2.7.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x^{2}$ heraus.

$\frac{- (2 x^{2}) - 6 x + 21}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Schritt 2.7.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 6 x$ heraus.

$\frac{- (2 x^{2}) - (6 x) + 21}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Schritt 2.7.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x^{2}) - (6 x)$ heraus.

$\frac{- (2 x^{2} + 6 x) + 21}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Schritt 2.7.6

Schreibe $21$ als $- 1 (- 21)$ um.

$\frac{- (2 x^{2} + 6 x) - 1 (- 21)}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Schritt 2.7.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x^{2} + 6 x) - 1 (- 21)$ heraus.

$\frac{- (2 x^{2} + 6 x - 21)}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Schritt 2.7.8

Schreibe $- (2 x^{2} + 6 x - 21)$ als $- 1 (2 x^{2} + 6 x - 21)$ um.

$\frac{- 1 (2 x^{2} + 6 x - 21)}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Schritt 2.7.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} + 6 x - 21}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$