Analysis Beispiele

$y = 6 \sin (2 x + 10)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 \sin (2 x + 10)$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [\sin (2 x + 10)]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\sin (2 x + 10)]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 2 x + 10$ .

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Schritt 1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x + 10$ .

$6 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x + 10])$

Schritt 1.2.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$6 (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x + 10])$

Schritt 1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x + 10$ .

$6 (\cos (2 x + 10) \frac{d}{d x} [2 x + 10])$

Schritt 1.3

Differenziere.

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Schritt 1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + 10$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$6 \cos (2 x + 10) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [10])$

Schritt 1.3.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \cos (2 x + 10) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10])$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 \cos (2 x + 10) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [10])$

Schritt 1.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$6 \cos (2 x + 10) (2 + \frac{d}{d x} [10])$

Schritt 1.3.5

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $10$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$6 \cos (2 x + 10) (2 + 0)$

Schritt 1.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.3.6.1

Addiere $2$ und $0$ .

$6 \cos (2 x + 10) \cdot 2$

Schritt 1.3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$f' (x) = 12 \cos (2 x + 10)$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12 \cos (2 x + 10)$ nach $x$ gleich $12 \frac{d}{d x} [\cos (2 x + 10)]$ .

$12 \frac{d}{d x} [\cos (2 x + 10)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 2 x + 10$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x + 10$ .

$12 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x + 10])$

Schritt 2.2.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$12 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x + 10])$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x + 10$ .

$12 (- \sin (2 x + 10) \frac{d}{d x} [2 x + 10])$

Schritt 2.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $12$ .

$- 12 (\sin (2 x + 10) \frac{d}{d x} [2 x + 10])$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + 10$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$- 12 \sin (2 x + 10) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [10])$

Schritt 2.3.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 12 \sin (2 x + 10) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10])$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 12 \sin (2 x + 10) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [10])$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- 12 \sin (2 x + 10) (2 + \frac{d}{d x} [10])$

Schritt 2.3.6

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $10$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 12 \sin (2 x + 10) (2 + 0)$

Schritt 2.3.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.7.1

Addiere $2$ und $0$ .

$- 12 \sin (2 x + 10) \cdot 2$

Schritt 2.3.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 12$ .

$f'' (x) = - 24 \sin (2 x + 10)$