Analysis Beispiele

$f (θ) = 3 \tan^{2} (θ)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Da $3$ konstant bezüglich $θ$ ist, ist die Ableitung von $3 \tan^{2} (θ)$ nach $θ$ gleich $3 \frac{d}{d θ} [\tan^{2} (θ)]$ .

$3 \frac{d}{d θ} [\tan^{2} (θ)]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ ist $f' (g (θ)) g' (θ)$ , mit $f (θ) = θ^{2}$ und $g (θ) = \tan (θ)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\tan (θ)$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d θ} [\tan (θ)])$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 (2 u \frac{d}{d θ} [\tan (θ)])$

Schritt 1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\tan (θ)$ .

$3 (2 \tan (θ) \frac{d}{d θ} [\tan (θ)])$

Schritt 1.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6 (\tan (θ) \frac{d}{d θ} [\tan (θ)])$

Schritt 1.4

Die Ableitung von $\tan (θ)$ nach $θ$ ist $\sec^{2} (θ)$ .

$6 \tan (θ) \sec^{2} (θ)$

Schritt 1.5

Stelle die Faktoren von $6 \tan (θ) \sec^{2} (θ)$ um.

$f' (θ) = 6 \sec^{2} (θ) \tan (θ)$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Da $6$ konstant bezüglich $θ$ ist, ist die Ableitung von $6 \sec^{2} (θ) \tan (θ)$ nach $θ$ gleich $6 \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (θ) \tan (θ)]$ .

$6 \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (θ) \tan (θ)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ gleich $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ ist mit $f (θ) = \sec^{2} (θ)$ und $g (θ) = \tan (θ)$ .

$6 (\sec^{2} (θ) \frac{d}{d θ} [\tan (θ)] + \tan (θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (θ)])$

Schritt 2.3

Die Ableitung von $\tan (θ)$ nach $θ$ ist $\sec^{2} (θ)$ .

$6 (\sec^{2} (θ) \sec^{2} (θ) + \tan (θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (θ)])$

Schritt 2.4

Multipliziere $\sec^{2} (θ)$ mit $\sec^{2} (θ)$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$6 ({\sec (θ)}^{2 + 2} + \tan (θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (θ)])$

Schritt 2.4.2

Addiere $2$ und $2$ .

$6 (\sec^{4} (θ) + \tan (θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (θ)])$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ ist $f' (g (θ)) g' (θ)$ , mit $f (θ) = θ^{2}$ und $g (θ) = \sec (θ)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\sec (θ)$ .

$6 (\sec^{4} (θ) + \tan (θ) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d θ} [\sec (θ)]))$

Schritt 2.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$6 (\sec^{4} (θ) + \tan (θ) (2 u \frac{d}{d θ} [\sec (θ)]))$

Schritt 2.5.3

Ersetze alle $u$ durch $\sec (θ)$ .

$6 (\sec^{4} (θ) + \tan (θ) (2 \sec (θ) \frac{d}{d θ} [\sec (θ)]))$

Schritt 2.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\tan (θ)$ .

$6 (\sec^{4} (θ) + 2 \cdot \tan (θ) \sec (θ) \frac{d}{d θ} [\sec (θ)])$

Schritt 2.7

Die Ableitung von $\sec (θ)$ nach $θ$ ist $\sec (θ) \tan (θ)$ .

$6 (\sec^{4} (θ) + 2 \tan (θ) \sec (θ) (\sec (θ) \tan (θ)))$

Schritt 2.8

Potenziere $\tan (θ)$ mit $1$ .

$6 (\sec^{4} (θ) + 2 (\tan^{1} (θ) \tan (θ)) \sec (θ) \sec (θ))$

Schritt 2.9

Potenziere $\tan (θ)$ mit $1$ .

$6 (\sec^{4} (θ) + 2 (\tan^{1} (θ) \tan^{1} (θ)) \sec (θ) \sec (θ))$

Schritt 2.10

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$6 (\sec^{4} (θ) + 2 {\tan (θ)}^{1 + 1} \sec (θ) \sec (θ))$

Schritt 2.11

Addiere $1$ und $1$ .

$6 (\sec^{4} (θ) + 2 \tan^{2} (θ) \sec (θ) \sec (θ))$

Schritt 2.12

Potenziere $\sec (θ)$ mit $1$ .

$6 (\sec^{4} (θ) + 2 \tan^{2} (θ) (\sec^{1} (θ) \sec (θ)))$

Schritt 2.13

Potenziere $\sec (θ)$ mit $1$ .

$6 (\sec^{4} (θ) + 2 \tan^{2} (θ) (\sec^{1} (θ) \sec^{1} (θ)))$

Schritt 2.14

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$6 (\sec^{4} (θ) + 2 \tan^{2} (θ) {\sec (θ)}^{1 + 1})$

Schritt 2.15

Addiere $1$ und $1$ .

$6 (\sec^{4} (θ) + 2 \tan^{2} (θ) \sec^{2} (θ))$

Schritt 2.16

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.16.1

Wende das Distributivgesetz an.

$6 \sec^{4} (θ) + 6 (2 \tan^{2} (θ) \sec^{2} (θ))$

Schritt 2.16.2

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$6 \sec^{4} (θ) + 12 \tan^{2} (θ) \sec^{2} (θ)$

Schritt 2.16.3

Stelle die Terme um.

$f'' (θ) = 12 \sec^{2} (θ) \tan^{2} (θ) + 6 \sec^{4} (θ)$

Schritt 3

Die zweite Ableitung von $f (θ)$ nach $θ$ ist $12 \sec^{2} (θ) \tan^{2} (θ) + 6 \sec^{4} (θ)$ .

$12 \sec^{2} (θ) \tan^{2} (θ) + 6 \sec^{4} (θ)$