Analysis Beispiele

$f (x) = 7 x^{3}$ , $[1, 2]$

Schritt 1

Wenn $f$ stetig im Intervall $[a, b]$ ist und differenzierbar im Intervall $(a, b)$ , dann gibt es mindestens eine reelle Zahl $c$ im Intervall $(a, b)$ derart, dass $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Der Mittelwertsatz drückt das Verhältnis aus zwischen der Steigung der Tangente an die Kurve im Punkt $x = c$ und der Steigung der Geraden durch die Punkte $(a, f (a))$ und $(b, f (b))$ .

Wenn $f (x)$ stetig im Intervall $[a, b]$ ist

und wenn $f (x)$ im Intervall $(a, b)$ differenzierbar ist,

dann gibt es mindestens einen Punkt $c$ in $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Schritt 2

Überprüfe, ob $f (x) = 7 x^{3}$ stetig ist.

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Schritt 2.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 2.2

$f (x)$ ist stetig im Intervall $[1, 2]$ .

Die Funktion ist stetig.

Schritt 3

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 3.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 3.1.1

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 x^{3}$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$7 (3 x^{2})$

Schritt 3.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $7$ .

$f' (x) = 21 x^{2}$

Schritt 3.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $21 x^{2}$ .

$21 x^{2}$

Schritt 4

Bestimme, ob die Ableitung im Intervall $(1, 2)$ stetig ist.

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Schritt 4.1

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 4.2

$f' (x)$ ist stetig im Intervall $(1, 2)$ .

Die Funktion ist stetig.

Schritt 5

Die Funktion ist im Intervall $(1, 2)$ differenzierbar, da die Ableitung im Intervall $(1, 2)$ stetig ist.

Die Funktion ist differenzierbar.

Schritt 6

Die Funktion $f (x)$ erfüllt die beiden Bedingungen des Mittelwertsatzes. Sie ist stetig im Intervall $[1, 2]$ und differenzierbar im Intervall $(1, 2)$ .

$f (x)$ ist stetig im Intervall $[1, 2]$ und differenzierbar im Intervall $(1, 2)$ .

Schritt 7

Berechne $f (a)$ aus dem Intervall $[1, 2]$ .

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = 7 {(1)}^{3}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = 7 \cdot 1$

Schritt 7.2.2

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$f (1) = 7$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $7$ .

$7$

Schritt 8

Berechne $f (b)$ aus dem Intervall $[1, 2]$ .

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = 7 {(2)}^{3}$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f (2) = 7 \cdot 8$

Schritt 8.2.2

Mutltipliziere $7$ mit $8$ .

$f (2) = 56$

Schritt 8.2.3

Die endgültige Lösung ist $56$ .

$56$

Schritt 9

Löse $21 x^{2} = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ nach $x$ auf. $21 x^{2} = \frac{- (f (2) + f (1))}{- (2 + 1)}$ .

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Schritt 9.1

Vereinfache.

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Schritt 9.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$21 x^{2} = \frac{56 - 7}{(2) - (1)}$

Schritt 9.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$21 x^{2} = \frac{56 - 7}{2 - 1}$

Schritt 9.1.3

Subtrahiere $7$ von $56$ .

$21 x^{2} = \frac{49}{2 - 1}$

Schritt 9.1.4

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$21 x^{2} = \frac{49}{1}$

Schritt 9.1.5

Dividiere $49$ durch $1$ .

$21 x^{2} = 49$

Schritt 9.2

Teile jeden Ausdruck in $21 x^{2} = 49$ durch $21$ und vereinfache.

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Schritt 9.2.1

Teile jeden Ausdruck in $21 x^{2} = 49$ durch $21$ .

$\frac{21 x^{2}}{21} = \frac{49}{21}$

Schritt 9.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $21$ .

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Schritt 9.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{21 x^{2}}{21} = \frac{49}{21}$

Schritt 9.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{49}{21}$

Schritt 9.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $49$ und $21$ .

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Schritt 9.2.3.1.1

Faktorisiere $7$ aus $49$ heraus.

$x^{2} = \frac{7 (7)}{21}$

Schritt 9.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.3.1.2.1

Faktorisiere $7$ aus $21$ heraus.

$x^{2} = \frac{7 \cdot 7}{7 \cdot 3}$

Schritt 9.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} = \frac{7 \cdot 7}{7 \cdot 3}$

Schritt 9.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} = \frac{7}{3}$

Schritt 9.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{\frac{7}{3}}$

Schritt 9.4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{7}{3}}$ .

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Schritt 9.4.1

Schreibe $\sqrt{\frac{7}{3}}$ als $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$

Schritt 9.4.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Schritt 9.4.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.4.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 9.4.3.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Schritt 9.4.3.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Schritt 9.4.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 9.4.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 9.4.3.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 9.4.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 9.4.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 9.4.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 9.4.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.4.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 9.4.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Schritt 9.4.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{3}$

Schritt 9.4.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.4.4.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$x = \pm \frac{\sqrt{7 \cdot 3}}{3}$

Schritt 9.4.4.2

Mutltipliziere $7$ mit $3$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{21}}{3}$

Schritt 9.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 9.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{\sqrt{21}}{3}$

Schritt 9.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{\sqrt{21}}{3}$

Schritt 9.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{\sqrt{21}}{3}, - \frac{\sqrt{21}}{3}$

Schritt 10

Es gibt eine Tangente bei $x = \frac{\sqrt{21}}{3}$ parallel zur Geraden, die durch die Endpunkte $a = 1$ und $b = 2$ verläuft.

Es gibt eine Tangente bei $x = \frac{\sqrt{21}}{3}$ parallel zur Geraden, die durch die Endpunkte $a = 1$ und $b = 2$ verläuft

Schritt 11

Es gibt eine Tangente bei $x = - \frac{\sqrt{21}}{3}$ parallel zur Geraden, die durch die Endpunkte $a = 1$ und $b = 2$ verläuft.

Es gibt eine Tangente bei $x = - \frac{\sqrt{21}}{3}$ parallel zur Geraden, die durch die Endpunkte $a = 1$ und $b = 2$ verläuft

Schritt 12