Analysis Beispiele

$h (z) = (7 - z^{2}) (z^{3} - 2 z + 3)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ gleich $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ ist mit $f (z) = 7 - z^{2}$ und $g (z) = z^{3} - 2 z + 3$ .

$(7 - z^{2}) \frac{d}{d z} [z^{3} - 2 z + 3] + (z^{3} - 2 z + 3) \frac{d}{d z} [7 - z^{2}]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $z^{3} - 2 z + 3$ nach $z$ $\frac{d}{d z} [z^{3}] + \frac{d}{d z} [- 2 z] + \frac{d}{d z} [3]$ .

$(7 - z^{2}) (\frac{d}{d z} [z^{3}] + \frac{d}{d z} [- 2 z] + \frac{d}{d z} [3]) + (z^{3} - 2 z + 3) \frac{d}{d z} [7 - z^{2}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ gleich $n z^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$(7 - z^{2}) (3 z^{2} + \frac{d}{d z} [- 2 z] + \frac{d}{d z} [3]) + (z^{3} - 2 z + 3) \frac{d}{d z} [7 - z^{2}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d z} [- 2 z]$ .

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Schritt 3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $z$ ist, ist die Ableitung von $- 2 z$ nach $z$ gleich $- 2 \frac{d}{d z} [z]$ .

$(7 - z^{2}) (3 z^{2} - 2 \frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [3]) + (z^{3} - 2 z + 3) \frac{d}{d z} [7 - z^{2}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ gleich $n z^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(7 - z^{2}) (3 z^{2} - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d z} [3]) + (z^{3} - 2 z + 3) \frac{d}{d z} [7 - z^{2}]$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$(7 - z^{2}) (3 z^{2} - 2 + \frac{d}{d z} [3]) + (z^{3} - 2 z + 3) \frac{d}{d z} [7 - z^{2}]$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Da $3$ konstant bezüglich $z$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $z$ gleich $0$ .

$(7 - z^{2}) (3 z^{2} - 2 + 0) + (z^{3} - 2 z + 3) \frac{d}{d z} [7 - z^{2}]$

Schritt 4.2

Addiere $3 z^{2} - 2$ und $0$ .

$(7 - z^{2}) (3 z^{2} - 2) + (z^{3} - 2 z + 3) \frac{d}{d z} [7 - z^{2}]$

Schritt 4.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $7 - z^{2}$ nach $z$ $\frac{d}{d z} [7] + \frac{d}{d z} [- z^{2}]$ .

$(7 - z^{2}) (3 z^{2} - 2) + (z^{3} - 2 z + 3) (\frac{d}{d z} [7] + \frac{d}{d z} [- z^{2}])$

Schritt 4.4

Da $7$ konstant bezüglich $z$ ist, ist die Ableitung von $7$ bezüglich $z$ gleich $0$ .

$(7 - z^{2}) (3 z^{2} - 2) + (z^{3} - 2 z + 3) (0 + \frac{d}{d z} [- z^{2}])$

Schritt 5

Berechne $\frac{d}{d z} [- z^{2}]$ .

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Schritt 5.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $z$ ist, ist die Ableitung von $- z^{2}$ nach $z$ gleich $- \frac{d}{d z} [z^{2}]$ .

$(7 - z^{2}) (3 z^{2} - 2) + (z^{3} - 2 z + 3) (0 - \frac{d}{d z} [z^{2}])$

Schritt 5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ gleich $n z^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$(7 - z^{2}) (3 z^{2} - 2) + (z^{3} - 2 z + 3) (0 - (2 z))$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$(7 - z^{2}) (3 z^{2} - 2) + (z^{3} - 2 z + 3) (0 - 2 z)$

Schritt 6

Subtrahiere $2 z$ von $0$ .

$(7 - z^{2}) (3 z^{2} - 2) + (z^{3} - 2 z + 3) (- 2 z)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(7 - z^{2}) (3 z^{2} - 2) + z^{3} (- 2 z) - 2 z (- 2 z) + 3 (- 2 z)$

Schritt 7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(7 - z^{2}) (3 z^{2}) + (7 - z^{2}) \cdot - 2 + z^{3} (- 2 z) - 2 z (- 2 z) + 3 (- 2 z)$

Schritt 7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$7 (3 z^{2}) - z^{2} (3 z^{2}) + (7 - z^{2}) \cdot - 2 + z^{3} (- 2 z) - 2 z (- 2 z) + 3 (- 2 z)$

Schritt 7.4

Wende das Distributivgesetz an.

$7 (3 z^{2}) - z^{2} (3 z^{2}) + 7 \cdot - 2 - z^{2} \cdot - 2 + z^{3} (- 2 z) - 2 z (- 2 z) + 3 (- 2 z)$

Schritt 7.5

Vereine die Terme

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Schritt 7.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $7$ .

$21 z^{2} - z^{2} (3 z^{2}) + 7 \cdot - 2 - z^{2} \cdot - 2 + z^{3} (- 2 z) - 2 z (- 2 z) + 3 (- 2 z)$

Schritt 7.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$21 z^{2} - 3 z^{2} z^{2} + 7 \cdot - 2 - z^{2} \cdot - 2 + z^{3} (- 2 z) - 2 z (- 2 z) + 3 (- 2 z)$

Schritt 7.5.3

Multipliziere $z^{2}$ mit $z^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.5.3.1

Bewege $z^{2}$ .

$21 z^{2} - 3 (z^{2} z^{2}) + 7 \cdot - 2 - z^{2} \cdot - 2 + z^{3} (- 2 z) - 2 z (- 2 z) + 3 (- 2 z)$

Schritt 7.5.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$21 z^{2} - 3 z^{2 + 2} + 7 \cdot - 2 - z^{2} \cdot - 2 + z^{3} (- 2 z) - 2 z (- 2 z) + 3 (- 2 z)$

Schritt 7.5.3.3

Addiere $2$ und $2$ .

$21 z^{2} - 3 z^{4} + 7 \cdot - 2 - z^{2} \cdot - 2 + z^{3} (- 2 z) - 2 z (- 2 z) + 3 (- 2 z)$

Schritt 7.5.4

Mutltipliziere $7$ mit $- 2$ .

$21 z^{2} - 3 z^{4} - 14 - z^{2} \cdot - 2 + z^{3} (- 2 z) - 2 z (- 2 z) + 3 (- 2 z)$

Schritt 7.5.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$21 z^{2} - 3 z^{4} - 14 + 2 z^{2} + z^{3} (- 2 z) - 2 z (- 2 z) + 3 (- 2 z)$

Schritt 7.5.6

Addiere $21 z^{2}$ und $2 z^{2}$ .

$23 z^{2} - 3 z^{4} - 14 + z^{3} (- 2 z) - 2 z (- 2 z) + 3 (- 2 z)$

Schritt 7.5.7

Multipliziere $z^{3}$ mit $z$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.5.7.1

Bewege $z$ .

$23 z^{2} - 3 z^{4} - 14 + z \cdot z^{3} \cdot - 2 - 2 z (- 2 z) + 3 (- 2 z)$

Schritt 7.5.7.2

Mutltipliziere $z$ mit $z^{3}$ .

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Schritt 7.5.7.2.1

Potenziere $z$ mit $1$ .

$23 z^{2} - 3 z^{4} - 14 + z^{1} z^{3} \cdot - 2 - 2 z (- 2 z) + 3 (- 2 z)$

Schritt 7.5.7.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$23 z^{2} - 3 z^{4} - 14 + z^{1 + 3} \cdot - 2 - 2 z (- 2 z) + 3 (- 2 z)$

Schritt 7.5.7.3

Addiere $1$ und $3$ .

$23 z^{2} - 3 z^{4} - 14 + z^{4} \cdot - 2 - 2 z (- 2 z) + 3 (- 2 z)$

Schritt 7.5.8

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $z^{4}$ .

$23 z^{2} - 3 z^{4} - 14 - 2 \cdot z^{4} - 2 z (- 2 z) + 3 (- 2 z)$

Schritt 7.5.9

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$23 z^{2} - 3 z^{4} - 14 - 2 z^{4} + 4 z \cdot z + 3 (- 2 z)$

Schritt 7.5.10

Potenziere $z$ mit $1$ .

$23 z^{2} - 3 z^{4} - 14 - 2 z^{4} + 4 (z^{1} z) + 3 (- 2 z)$

Schritt 7.5.11

Potenziere $z$ mit $1$ .

$23 z^{2} - 3 z^{4} - 14 - 2 z^{4} + 4 (z^{1} z^{1}) + 3 (- 2 z)$

Schritt 7.5.12

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$23 z^{2} - 3 z^{4} - 14 - 2 z^{4} + 4 z^{1 + 1} + 3 (- 2 z)$

Schritt 7.5.13

Addiere $1$ und $1$ .

$23 z^{2} - 3 z^{4} - 14 - 2 z^{4} + 4 z^{2} + 3 (- 2 z)$

Schritt 7.5.14

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$23 z^{2} - 3 z^{4} - 14 - 2 z^{4} + 4 z^{2} - 6 z$

Schritt 7.5.15

Subtrahiere $2 z^{4}$ von $- 3 z^{4}$ .

$23 z^{2} - 5 z^{4} - 14 + 4 z^{2} - 6 z$

Schritt 7.5.16

Addiere $23 z^{2}$ und $4 z^{2}$ .

$27 z^{2} - 5 z^{4} - 14 - 6 z$

Schritt 7.6

Stelle die Terme um.

$- 5 z^{4} + 27 z^{2} - 6 z - 14$