Analysis Beispiele

$z = {(3 x + 1)}^{4} {(5 x - 2)}^{3}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ gleich $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ ist mit $f (z) = {(3 x + 1)}^{4}$ und $g (z) = {(5 x - 2)}^{3}$ .

${(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d z} [{(5 x - 2)}^{3}] + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [{(3 x + 1)}^{4}]$

Schritt 2

Wende den binomischen Lehrsatz an.

${(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d z} [{(5 x)}^{3} + 3 {(5 x)}^{2} \cdot - 2 + 3 (5 x) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}] + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [{(3 x + 1)}^{4}]$

Schritt 3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1

Wende die Produktregel auf $5 x$ an.

${(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d z} [5^{3} x^{3} + 3 {(5 x)}^{2} \cdot - 2 + 3 (5 x) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}] + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [{(3 x + 1)}^{4}]$

Schritt 3.2

Potenziere $5$ mit $3$ .

${(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d z} [125 x^{3} + 3 {(5 x)}^{2} \cdot - 2 + 3 (5 x) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}] + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [{(3 x + 1)}^{4}]$

Schritt 3.3

Wende die Produktregel auf $5 x$ an.

${(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d z} [125 x^{3} + 3 (5^{2} x^{2}) \cdot - 2 + 3 (5 x) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}] + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [{(3 x + 1)}^{4}]$

Schritt 3.4

Potenziere $5$ mit $2$ .

${(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d z} [125 x^{3} + 3 (25 x^{2}) \cdot - 2 + 3 (5 x) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}] + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [{(3 x + 1)}^{4}]$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $25$ mit $3$ .

${(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d z} [125 x^{3} + 75 x^{2} \cdot - 2 + 3 (5 x) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}] + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [{(3 x + 1)}^{4}]$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $75$ .

${(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d z} [125 x^{3} - 150 x^{2} + 3 (5 x) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}] + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [{(3 x + 1)}^{4}]$

Schritt 3.7

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

${(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d z} [125 x^{3} - 150 x^{2} + 15 x {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}] + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [{(3 x + 1)}^{4}]$

Schritt 3.8

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

${(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d z} [125 x^{3} - 150 x^{2} + 15 x \cdot 4 + {(- 2)}^{3}] + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [{(3 x + 1)}^{4}]$

Schritt 3.9

Mutltipliziere $4$ mit $15$ .

${(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d z} [125 x^{3} - 150 x^{2} + 60 x + {(- 2)}^{3}] + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [{(3 x + 1)}^{4}]$

Schritt 3.10

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

${(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d z} [125 x^{3} - 150 x^{2} + 60 x - 8] + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [{(3 x + 1)}^{4}]$

Schritt 4

Da $125 x^{3} - 150 x^{2} + 60 x - 8$ konstant bezüglich $z$ ist, ist die Ableitung von $125 x^{3} - 150 x^{2} + 60 x - 8$ bezüglich $z$ gleich $0$ .

${(3 x + 1)}^{4} \cdot 0 + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [{(3 x + 1)}^{4}]$

Schritt 5

Wende den binomischen Lehrsatz an.

${(3 x + 1)}^{4} \cdot 0 + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [{(3 x)}^{4} + 4 {(3 x)}^{3} \cdot 1 + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 1^{2} + 4 (3 x) \cdot 1^{3} + 1^{4}]$

Schritt 6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1

Wende die Produktregel auf $3 x$ an.

${(3 x + 1)}^{4} \cdot 0 + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [3^{4} x^{4} + 4 {(3 x)}^{3} \cdot 1 + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 1^{2} + 4 (3 x) \cdot 1^{3} + 1^{4}]$

Schritt 6.2

Potenziere $3$ mit $4$ .

${(3 x + 1)}^{4} \cdot 0 + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [81 x^{4} + 4 {(3 x)}^{3} \cdot 1 + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 1^{2} + 4 (3 x) \cdot 1^{3} + 1^{4}]$

Schritt 6.3

Wende die Produktregel auf $3 x$ an.

${(3 x + 1)}^{4} \cdot 0 + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [81 x^{4} + 4 (3^{3} x^{3}) \cdot 1 + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 1^{2} + 4 (3 x) \cdot 1^{3} + 1^{4}]$

Schritt 6.4

Potenziere $3$ mit $3$ .

${(3 x + 1)}^{4} \cdot 0 + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [81 x^{4} + 4 (27 x^{3}) \cdot 1 + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 1^{2} + 4 (3 x) \cdot 1^{3} + 1^{4}]$

Schritt 6.5

Mutltipliziere $27$ mit $4$ .

${(3 x + 1)}^{4} \cdot 0 + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [81 x^{4} + 108 x^{3} \cdot 1 + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 1^{2} + 4 (3 x) \cdot 1^{3} + 1^{4}]$

Schritt 6.6

Mutltipliziere $108$ mit $1$ .

${(3 x + 1)}^{4} \cdot 0 + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [81 x^{4} + 108 x^{3} + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 1^{2} + 4 (3 x) \cdot 1^{3} + 1^{4}]$

Schritt 6.7

Wende die Produktregel auf $3 x$ an.

${(3 x + 1)}^{4} \cdot 0 + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [81 x^{4} + 108 x^{3} + 6 (3^{2} x^{2}) \cdot 1^{2} + 4 (3 x) \cdot 1^{3} + 1^{4}]$

Schritt 6.8

Potenziere $3$ mit $2$ .

${(3 x + 1)}^{4} \cdot 0 + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [81 x^{4} + 108 x^{3} + 6 (9 x^{2}) \cdot 1^{2} + 4 (3 x) \cdot 1^{3} + 1^{4}]$

Schritt 6.9

Mutltipliziere $9$ mit $6$ .

${(3 x + 1)}^{4} \cdot 0 + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [81 x^{4} + 108 x^{3} + 54 x^{2} \cdot 1^{2} + 4 (3 x) \cdot 1^{3} + 1^{4}]$

Schritt 6.10

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

${(3 x + 1)}^{4} \cdot 0 + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [81 x^{4} + 108 x^{3} + 54 x^{2} \cdot 1 + 4 (3 x) \cdot 1^{3} + 1^{4}]$

Schritt 6.11

Mutltipliziere $54$ mit $1$ .

${(3 x + 1)}^{4} \cdot 0 + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [81 x^{4} + 108 x^{3} + 54 x^{2} + 4 (3 x) \cdot 1^{3} + 1^{4}]$

Schritt 6.12

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

${(3 x + 1)}^{4} \cdot 0 + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [81 x^{4} + 108 x^{3} + 54 x^{2} + 12 x \cdot 1^{3} + 1^{4}]$

Schritt 6.13

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

${(3 x + 1)}^{4} \cdot 0 + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [81 x^{4} + 108 x^{3} + 54 x^{2} + 12 x \cdot 1 + 1^{4}]$

Schritt 6.14

Mutltipliziere $12$ mit $1$ .

${(3 x + 1)}^{4} \cdot 0 + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [81 x^{4} + 108 x^{3} + 54 x^{2} + 12 x + 1^{4}]$

Schritt 6.15

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

${(3 x + 1)}^{4} \cdot 0 + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [81 x^{4} + 108 x^{3} + 54 x^{2} + 12 x + 1]$

Schritt 7

Da $81 x^{4} + 108 x^{3} + 54 x^{2} + 12 x + 1$ konstant bezüglich $z$ ist, ist die Ableitung von $81 x^{4} + 108 x^{3} + 54 x^{2} + 12 x + 1$ bezüglich $z$ gleich $0$ .

${(3 x + 1)}^{4} \cdot 0 + {(5 x - 2)}^{3} \cdot 0$

Schritt 8

Vereine die Terme

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Schritt 8.1

Mutltipliziere ${(3 x + 1)}^{4}$ mit $0$ .

$0 + {(5 x - 2)}^{3} \cdot 0$

Schritt 8.2

Mutltipliziere ${(5 x - 2)}^{3}$ mit $0$ .

$0 + 0$

Schritt 8.3

Addiere $0$ und $0$ .

$0$