Analysis Beispiele

$y = (7 \sqrt{x} + 4) x^{2}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 7 \sqrt{x} + 4$ und $g (x) = x^{2}$ .

$(7 \sqrt{x} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}] + x^{2} \frac{d}{d x} [7 \sqrt{x} + 4]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$(7 \sqrt{x} + 4) (2 x) + x^{2} \frac{d}{d x} [7 \sqrt{x} + 4]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $7 \sqrt{x} + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [7 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$(7 \sqrt{x} + 4) (2 x) + x^{2} (\frac{d}{d x} [7 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [4])$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [7 \sqrt{x}]$ .

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$(7 \sqrt{x} + 4) (2 x) + x^{2} (\frac{d}{d x} [7 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [4])$

Schritt 3.2

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$(7 \sqrt{x} + 4) (2 x) + x^{2} (7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [4])$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$(7 \sqrt{x} + 4) (2 x) + x^{2} (7 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [4])$

Schritt 3.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$(7 \sqrt{x} + 4) (2 x) + x^{2} (7 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [4])$

Schritt 3.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$(7 \sqrt{x} + 4) (2 x) + x^{2} (7 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [4])$

Schritt 3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$(7 \sqrt{x} + 4) (2 x) + x^{2} (7 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [4])$

Schritt 3.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$(7 \sqrt{x} + 4) (2 x) + x^{2} (7 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [4])$

Schritt 3.7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$(7 \sqrt{x} + 4) (2 x) + x^{2} (7 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [4])$

Schritt 3.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$(7 \sqrt{x} + 4) (2 x) + x^{2} (7 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [4])$

Schritt 3.9

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$(7 \sqrt{x} + 4) (2 x) + x^{2} (7 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [4])$

Schritt 3.10

Kombiniere $7$ und $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$(7 \sqrt{x} + 4) (2 x) + x^{2} (\frac{7 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [4])$

Schritt 3.11

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(7 \sqrt{x} + 4) (2 x) + x^{2} (\frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [4])$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 4.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(7 \sqrt{x} + 4) (2 x) + x^{2} (\frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0)$

Schritt 4.2

Addiere $\frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ und $0$ .

$(7 \sqrt{x} + 4) (2 x) + x^{2} \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$7 \sqrt{x} (2 x) + 4 (2 x) + x^{2} \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.2

Vereine die Terme

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$14 \sqrt{x} x + 4 (2 x) + x^{2} \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.2.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$14 x^{\frac{1}{2}} x + 4 (2 x) + x^{2} \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.2.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$14 (x^{1} x^{\frac{1}{2}}) + 4 (2 x) + x^{2} \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$14 x^{1 + \frac{1}{2}} + 4 (2 x) + x^{2} \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.2.5

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$14 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + 4 (2 x) + x^{2} \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$14 x^{\frac{2 + 1}{2}} + 4 (2 x) + x^{2} \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.2.7

Addiere $2$ und $1$ .

$14 x^{\frac{3}{2}} + 4 (2 x) + x^{2} \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.2.8

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$14 x^{\frac{3}{2}} + 8 x + x^{2} \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.2.9

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$14 x^{\frac{3}{2}} + 8 x + \frac{x^{2} \cdot 7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.2.10

Bringe $7$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$14 x^{\frac{3}{2}} + 8 x + \frac{7 \cdot x^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.2.11

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$14 x^{\frac{3}{2}} + 8 x + \frac{7 x^{2} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 5.2.12

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.12.1

Bewege $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$14 x^{\frac{3}{2}} + 8 x + \frac{7 (x^{- \frac{1}{2}} x^{2})}{2}$

Schritt 5.2.12.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$14 x^{\frac{3}{2}} + 8 x + \frac{7 x^{- \frac{1}{2} + 2}}{2}$

Schritt 5.2.12.3

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$14 x^{\frac{3}{2}} + 8 x + \frac{7 x^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}}{2}$

Schritt 5.2.12.4

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$14 x^{\frac{3}{2}} + 8 x + \frac{7 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}}{2}$

Schritt 5.2.12.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$14 x^{\frac{3}{2}} + 8 x + \frac{7 x^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}}}{2}$

Schritt 5.2.12.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.12.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$14 x^{\frac{3}{2}} + 8 x + \frac{7 x^{\frac{- 1 + 4}{2}}}{2}$

Schritt 5.2.12.6.2

Addiere $- 1$ und $4$ .

$14 x^{\frac{3}{2}} + 8 x + \frac{7 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Schritt 5.2.13

Um $14 x^{\frac{3}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$8 x + 14 x^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{7 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Schritt 5.2.14

Kombiniere $14 x^{\frac{3}{2}}$ und $\frac{2}{2}$ .

$8 x + \frac{14 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{7 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Schritt 5.2.15

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$8 x + \frac{14 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2 + 7 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Schritt 5.2.16

Mutltipliziere $2$ mit $14$ .

$8 x + \frac{28 x^{\frac{3}{2}} + 7 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Schritt 5.2.17

Addiere $28 x^{\frac{3}{2}}$ und $7 x^{\frac{3}{2}}$ .

$8 x + \frac{35 x^{\frac{3}{2}}}{2}$