Analysis Beispiele

$\sum_{n = 0}^{3} {(- \frac{1}{2})}^{n} \cdot (4)$

Schritt 1

Entwickele die Reihe für jeden Wert von $n$ .

${(- \frac{1}{2})}^{0} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{1} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{2} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{3} \cdot 4$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{2}$ an.

${(- 1)}^{0} {(\frac{1}{2})}^{0} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{1} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{2} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{3} \cdot 4$

Schritt 2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

${(- 1)}^{0} \frac{1^{0}}{2^{0}} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{1} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{2} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{3} \cdot 4$

Schritt 2.1.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$1 \frac{1^{0}}{2^{0}} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{1} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{2} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{3} \cdot 4$

Schritt 2.1.3

Mutltipliziere $\frac{1^{0}}{2^{0}}$ mit $1$ .

$\frac{1^{0}}{2^{0}} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{1} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{2} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{3} \cdot 4$

Schritt 2.1.4

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{1}{2^{0}} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{1} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{2} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{3} \cdot 4$

Schritt 2.1.5

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{1}{1} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{1} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{2} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{3} \cdot 4$

Schritt 2.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 2.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{1} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{1} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{2} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{3} \cdot 4$

Schritt 2.1.6.2

Forme den Ausdruck um.

$1 \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{1} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{2} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{3} \cdot 4$

Schritt 2.1.7

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4 + {(- \frac{1}{2})}^{1} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{2} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{3} \cdot 4$

Schritt 2.1.8

Vereinfache.

$4 - \frac{1}{2} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{2} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{3} \cdot 4$

Schritt 2.1.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.9.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2}$ in den Zähler.

$4 + \frac{- 1}{2} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{2} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{3} \cdot 4$

Schritt 2.1.9.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$4 + \frac{- 1}{2} \cdot (2 (2)) + {(- \frac{1}{2})}^{2} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{3} \cdot 4$

Schritt 2.1.9.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 + \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot 2) + {(- \frac{1}{2})}^{2} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{3} \cdot 4$

Schritt 2.1.9.4

Forme den Ausdruck um.

$4 - 1 \cdot 2 + {(- \frac{1}{2})}^{2} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{3} \cdot 4$

Schritt 2.1.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$4 - 2 + {(- \frac{1}{2})}^{2} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{3} \cdot 4$

Schritt 2.1.11

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 2.1.11.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{2}$ an.

$4 - 2 + {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{3} \cdot 4$

Schritt 2.1.11.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$4 - 2 + {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{3} \cdot 4$

Schritt 2.1.12

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$4 - 2 + 1 \frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{3} \cdot 4$

Schritt 2.1.13

Mutltipliziere $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$4 - 2 + \frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{3} \cdot 4$

Schritt 2.1.14

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$4 - 2 + \frac{1}{2^{2}} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{3} \cdot 4$

Schritt 2.1.15

Potenziere $2$ mit $2$ .

$4 - 2 + \frac{1}{4} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{3} \cdot 4$

Schritt 2.1.16

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.1.16.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 - 2 + \frac{1}{4} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{3} \cdot 4$

Schritt 2.1.16.2

Forme den Ausdruck um.

$4 - 2 + 1 + {(- \frac{1}{2})}^{3} \cdot 4$

Schritt 2.1.17

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 2.1.17.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{2}$ an.

$4 - 2 + 1 + {(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3} \cdot 4$

Schritt 2.1.17.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$4 - 2 + 1 + {(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{2^{3}} \cdot 4$

Schritt 2.1.18

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$4 - 2 + 1 - \frac{1^{3}}{2^{3}} \cdot 4$

Schritt 2.1.19

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$4 - 2 + 1 - \frac{1}{2^{3}} \cdot 4$

Schritt 2.1.20

Potenziere $2$ mit $3$ .

$4 - 2 + 1 - \frac{1}{8} \cdot 4$

Schritt 2.1.21

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.1.21.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{8}$ in den Zähler.

$4 - 2 + 1 + \frac{- 1}{8} \cdot 4$

Schritt 2.1.21.2

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$4 - 2 + 1 + \frac{- 1}{4 (2)} \cdot 4$

Schritt 2.1.21.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 - 2 + 1 + \frac{- 1}{4 \cdot 2} \cdot 4$

Schritt 2.1.21.4

Forme den Ausdruck um.

$4 - 2 + 1 + \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.1.22

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$4 - 2 + 1 - \frac{1}{2}$

Schritt 2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 2.2.1

Schreibe $4$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{4}{1} - 2 + 1 - \frac{1}{2}$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $\frac{4}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4}{1} \cdot \frac{2}{2} - 2 + 1 - \frac{1}{2}$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $\frac{4}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 \cdot 2}{2} - 2 + 1 - \frac{1}{2}$

Schritt 2.2.4

Schreibe $- 2$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{4 \cdot 2}{2} + \frac{- 2}{1} + 1 - \frac{1}{2}$

Schritt 2.2.5

Mutltipliziere $\frac{- 2}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 \cdot 2}{2} + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{2}{2} + 1 - \frac{1}{2}$

Schritt 2.2.6

Mutltipliziere $\frac{- 2}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 \cdot 2}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} + 1 - \frac{1}{2}$

Schritt 2.2.7

Schreibe $1$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{4 \cdot 2}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{1} - \frac{1}{2}$

Schritt 2.2.8

Mutltipliziere $\frac{1}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 \cdot 2}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 2.2.9

Mutltipliziere $\frac{1}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 \cdot 2}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} + \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4 \cdot 2 - 2 \cdot 2 + 2 - 1}{2}$

Schritt 2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{8 - 2 \cdot 2 + 2 - 1}{2}$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{8 - 4 + 2 - 1}{2}$

Schritt 2.5

Subtrahiere $4$ von $8$ .

$\frac{4 + 2 - 1}{2}$

Schritt 2.6

Addiere $4$ und $2$ .

$\frac{6 - 1}{2}$

Schritt 2.7

Subtrahiere $1$ von $6$ .

$\frac{5}{2}$

Schritt 3

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{5}{2}$

Dezimalform:

$2.5$

Darstellung als gemischte Zahl:

$2 \frac{1}{2}$