Analysis Beispiele

$1.4 \sum_{k = 1}^{10} 49 - {(- 7 + 1.4 k)}^{2}$

Schritt 1

Vereinfache die Summe.

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Schritt 1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1

Schreibe ${(- 7 + 1.4 k)}^{2}$ als $(- 7 + 1.4 k) (- 7 + 1.4 k)$ um.

$49 - ((- 7 + 1.4 k) (- 7 + 1.4 k))$

Schritt 1.1.2

Multipliziere $(- 7 + 1.4 k) (- 7 + 1.4 k)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$49 - (- 7 (- 7 + 1.4 k) + 1.4 k (- 7 + 1.4 k))$

Schritt 1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$49 - (- 7 \cdot - 7 - 7 (1.4 k) + 1.4 k (- 7 + 1.4 k))$

Schritt 1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$49 - (- 7 \cdot - 7 - 7 (1.4 k) + 1.4 k \cdot - 7 + 1.4 k (1.4 k))$

Schritt 1.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.1.1

Mutltipliziere $- 7$ mit $- 7$ .

$49 - (49 - 7 (1.4 k) + 1.4 k \cdot - 7 + 1.4 k (1.4 k))$

Schritt 1.1.3.1.2

Mutltipliziere $1.4$ mit $- 7$ .

$49 - (49 - 9.8 k + 1.4 k \cdot - 7 + 1.4 k (1.4 k))$

Schritt 1.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 7$ mit $1.4$ .

$49 - (49 - 9.8 k - 9.8 k + 1.4 k (1.4 k))$

Schritt 1.1.3.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$49 - (49 - 9.8 k - 9.8 k + 1.4 \cdot 1.4 k \cdot k)$

Schritt 1.1.3.1.5

Multipliziere $k$ mit $k$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.3.1.5.1

Bewege $k$ .

$49 - (49 - 9.8 k - 9.8 k + 1.4 \cdot 1.4 (k \cdot k))$

Schritt 1.1.3.1.5.2

Mutltipliziere $k$ mit $k$ .

$49 - (49 - 9.8 k - 9.8 k + 1.4 \cdot 1.4 k^{2})$

Schritt 1.1.3.1.6

Mutltipliziere $1.4$ mit $1.4$ .

$49 - (49 - 9.8 k - 9.8 k + 1.96 k^{2})$

Schritt 1.1.3.2

Subtrahiere $9.8 k$ von $- 9.8 k$ .

$49 - (49 - 19.6 k + 1.96 k^{2})$

Schritt 1.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$49 - 1 \cdot 49 - (- 19.6 k) - (1.96 k^{2})$

Schritt 1.1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $49$ .

$49 - 49 - (- 19.6 k) - (1.96 k^{2})$

Schritt 1.1.5.2

Mutltipliziere $- 19.6$ mit $- 1$ .

$49 - 49 + 19.6 k - (1.96 k^{2})$

Schritt 1.1.5.3

Mutltipliziere $1.96$ mit $- 1$ .

$49 - 49 + 19.6 k - 1.96 k^{2}$

Schritt 1.2

Subtrahiere $49$ von $49$ .

$0 + 19.6 k - 1.96 k^{2}$

Schritt 1.3

Addiere $0$ und $19.6 k$ .

$19.6 k - 1.96 k^{2}$

Schritt 1.4

Schreibe die Summe um.

$1.4 \sum_{k = 1}^{10} 19.6 k - 1.96 k^{2}$

Schritt 2

Teile die Addition in kleinere Additionen, die mit den Additionsregelen übereinstimmen.

$1.4 \sum_{k = 1}^{10} 19.6 k - 1.96 k^{2} = (1.4 \cdot 19.6) \sum_{k = 1}^{10} k + (1.4 \cdot - 1.96) \sum_{k = 1}^{10} k^{2}$

Schritt 3

Berechne $(1.4 \cdot 19.6) \sum_{k = 1}^{10} k$ .

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Schritt 3.1

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $1$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Schritt 3.2

Setze die Werte in die Formel ein und stelle sicher, dass du mit dem führenden Term multiplizierst.

$(1.4 \cdot 19.6) (\frac{10 (10 + 1)}{2})$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Addiere $10$ und $1$ .

$1.4 \cdot 19.6 \frac{10 \cdot 11}{2}$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere $10$ mit $11$ .

$1.4 \cdot 19.6 \frac{110}{2}$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $1.4$ mit $19.6$ .

$27.44 (\frac{110}{2})$

Schritt 3.3.4

Dividiere $110$ durch $2$ .

$27.44 \cdot 55$

Schritt 3.3.5

Mutltipliziere $27.44$ mit $55$ .

$1509.2$

Schritt 4

Berechne $(1.4 \cdot - 1.96) \sum_{k = 1}^{10} k^{2}$ .

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Schritt 4.1

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $2$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Schritt 4.2

Setze die Werte in die Formel ein und stelle sicher, dass du mit dem führenden Term multiplizierst.

$(1.4 \cdot - 1.96) (\frac{10 (10 + 1) (2 \cdot 10 + 1)}{6})$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.1.1

Addiere $10$ und $1$ .

$1.4 \cdot - 1.96 \frac{10 \cdot 11 (2 \cdot 10 + 1)}{6}$

Schritt 4.3.1.2

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 4.3.1.2.1

Mutltipliziere $10$ mit $11$ .

$1.4 \cdot - 1.96 \frac{110 (2 \cdot 10 + 1)}{6}$

Schritt 4.3.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $10$ .

$1.4 \cdot - 1.96 \frac{110 (20 + 1)}{6}$

Schritt 4.3.1.3

Addiere $20$ und $1$ .

$1.4 \cdot - 1.96 \frac{110 \cdot 21}{6}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.2.1

Mutltipliziere $110$ mit $21$ .

$1.4 \cdot - 1.96 \frac{2310}{6}$

Schritt 4.3.2.2

Mutltipliziere $1.4$ mit $- 1.96$ .

$- 2.744 (\frac{2310}{6})$

Schritt 4.3.2.3

Dividiere $2310$ durch $6$ .

$- 2.744 \cdot 385$

Schritt 4.3.2.4

Mutltipliziere $- 2.744$ mit $385$ .

$- 1056.44$

Schritt 5

Addiere die Ergebnisse der Aufsummierungen.

$1509.2 - 1056.44$

Schritt 6

Subtrahiere $1056.44$ von $1509.2$ .

$452.76$