Analysis Beispiele

$\cos (π x)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = π x$ .

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Schritt 1.1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $π x$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [π x]$

Schritt 1.1.1.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [π x]$

Schritt 1.1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $π x$ .

$- \sin (π x) \frac{d}{d x} [π x]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Da $π$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $π x$ nach $x$ gleich $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (π x) (π \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \sin (π x) (π \cdot 1)$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.2.3.1

Mutltipliziere $π$ mit $1$ .

$- \sin (π x) π$

Schritt 1.1.2.3.2

Stelle die Faktoren von $- \sin (π x) π$ um.

$f' (x) = - π \sin (π x)$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- π \sin (π x)$ .

$- π \sin (π x)$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- π \sin (π x) = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- π \sin (π x) = 0$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $- π \sin (π x) = 0$ durch $- π$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- π \sin (π x) = 0$ durch $- π$ .

$\frac{- π \sin (π x)}{- π} = \frac{0}{- π}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{π \sin (π x)}{π} = \frac{0}{- π}$

Schritt 2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 2.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π \sin (π x)}{π} = \frac{0}{- π}$

Schritt 2.2.2.2.2

Dividiere $\sin (π x)$ durch $1$ .

$\sin (π x) = \frac{0}{- π}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.1

Dividiere $0$ durch $- π$ .

$\sin (π x) = 0$

Schritt 2.3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$π x = \arcsin (0)$

Schritt 2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.1

Der genau Wert von $\arcsin (0)$ ist $0$ .

$π x = 0$

Schritt 2.5

Teile jeden Ausdruck in $π x = 0$ durch $π$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Teile jeden Ausdruck in $π x = 0$ durch $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{0}{π}$

Schritt 2.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 2.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π x}{π} = \frac{0}{π}$

Schritt 2.5.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{π}$

Schritt 2.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.3.1

Dividiere $0$ durch $π$ .

$x = 0$

Schritt 2.6

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$π x = π - 0$

Schritt 2.7

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.7.1

Vereinfache.

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Schritt 2.7.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$π x = π + 0$

Schritt 2.7.1.2

Addiere $π$ und $0$ .

$π x = π$

Schritt 2.7.2

Teile jeden Ausdruck in $π x = π$ durch $π$ und vereinfache.

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Schritt 2.7.2.1

Teile jeden Ausdruck in $π x = π$ durch $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{π}{π}$

Schritt 2.7.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.7.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 2.7.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π x}{π} = \frac{π}{π}$

Schritt 2.7.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{π}{π}$

Schritt 2.7.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.7.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 2.7.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{π}{π}$

Schritt 2.7.2.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 1$

Schritt 2.8

Ermittele die Periode von $\sin (π x)$ .

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Schritt 2.8.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 2.8.2

Ersetze $b$ durch $π$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| π |}$

Schritt 2.8.3

$π$ ist ungefähr $3.14159265$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{π}$

Schritt 2.8.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 2.8.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{π}$

Schritt 2.8.4.2

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2$

Schritt 2.9

Die Periode der Funktion $\sin (π x)$ ist $2$ , d. h., Werte werden sich alle $2$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 2 n, 1 + 2 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2.10

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = 1 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 4

Werte $\cos (π x)$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$\cos (π (0))$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $π$ mit $0$ .

$\cos (0)$

Schritt 4.1.2.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$1$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = 1$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $1$ .

$\cos (π (1))$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Mutltipliziere $π$ mit $1$ .

$\cos (π)$

Schritt 4.2.2.2

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$- \cos (0)$

Schritt 4.2.2.3

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Schritt 4.2.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 4.3

Liste all Punkte auf.

$(0 + 2 n, 1), (1 + 2 n, - 1)$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 5