Analysis Beispiele

$5 x - 4 \ln (x)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x - 4 \ln (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (x)]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (x)]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (x)]$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (x)]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 \ln (x)]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 \ln (x)$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$5 - 4 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 1.1.3.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$5 - 4 \frac{1}{x}$

Schritt 1.1.3.3

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{x}$ .

$5 + \frac{- 4}{x}$

Schritt 1.1.3.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$5 - \frac{4}{x}$

Schritt 1.1.4

Stelle die Terme um.

$f' (x) = - \frac{4}{x} + 5$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{4}{x} + 5$ .

$- \frac{4}{x} + 5$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{4}{x} + 5 = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{4}{x} + 5 = 0$

Schritt 2.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{4}{x} = - 5$

Schritt 2.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x, 1$

Schritt 2.3.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x$

Schritt 2.4

Multipliziere jeden Term in $- \frac{4}{x} = - 5$ mit $x$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.4.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{4}{x} = - 5$ mit $x$ .

$- \frac{4}{x} x = - 5 x$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.4.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{4}{x}$ in den Zähler.

$\frac{- 4}{x} x = - 5 x$

Schritt 2.4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4}{x} x = - 5 x$

Schritt 2.4.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- 4 = - 5 x$

Schritt 2.5

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.5.1

Schreibe die Gleichung als $- 5 x = - 4$ um.

$- 5 x = - 4$

Schritt 2.5.2

Teile jeden Ausdruck in $- 5 x = - 4$ durch $- 5$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 5 x = - 4$ durch $- 5$ .

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{- 4}{- 5}$

Schritt 2.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 5$ .

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Schritt 2.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{- 4}{- 5}$

Schritt 2.5.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 5}$

Schritt 2.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{4}{5}$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Setze den Nenner in $\frac{4}{x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = 0$

Schritt 4

Werte $5 x - 4 \ln (x)$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = \frac{4}{5}$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $\frac{4}{5}$ .

$5 (\frac{4}{5}) - 4 \ln (\frac{4}{5})$

Schritt 4.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 4.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 (\frac{4}{5}) - 4 \ln (\frac{4}{5})$

Schritt 4.1.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$4 - 4 \ln (\frac{4}{5})$

Schritt 4.1.2.2

Vereinfache $- 4 \ln (\frac{4}{5})$ , indem du $4$ in den Logarithmus ziehst.

$4 - \ln ({(\frac{4}{5})}^{4})$

Schritt 4.1.2.3

Wende die Produktregel auf $\frac{4}{5}$ an.

$4 - \ln (\frac{4^{4}}{5^{4}})$

Schritt 4.1.2.4

Potenziere $4$ mit $4$ .

$4 - \ln (\frac{256}{5^{4}})$

Schritt 4.1.2.5

Potenziere $5$ mit $4$ .

$4 - \ln (\frac{256}{625})$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$5 (0) - 4 \ln (0)$

Schritt 4.2.2

Der natürliche Logarithmus von null ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 4.3

Liste all Punkte auf.

$(\frac{4}{5}, 4 - \ln (\frac{256}{625}))$

Schritt 5