Analysis Beispiele

$20 - \frac{20000000}{x^{2}}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $20 - \frac{20000000}{x^{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [20] + \frac{d}{d x} [- \frac{20000000}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [20] + \frac{d}{d x} [- \frac{20000000}{x^{2}}]$

Schritt 1.1.1.2

Da $20$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $20$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{20000000}{x^{2}}]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{20000000}{x^{2}}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $- 20000000$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{20000000}{x^{2}}$ nach $x$ gleich $- 20000000 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$0 - 20000000 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Schritt 1.1.2.2

Schreibe $\frac{1}{x^{2}}$ als ${(x^{2})}^{- 1}$ um.

$0 - 20000000 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Schritt 1.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 1.1.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2}$ .

$0 - 20000000 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 1.1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$0 - 20000000 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 1.1.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$0 - 20000000 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 1.1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 - 20000000 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Schritt 1.1.2.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Schritt 1.1.2.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - 20000000 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Schritt 1.1.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$0 - 20000000 (- x^{- 4} (2 x))$

Schritt 1.1.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$0 - 20000000 (- 2 x^{- 4} x)$

Schritt 1.1.2.7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$0 - 20000000 (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

Schritt 1.1.2.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$0 - 20000000 (- 2 x^{1 - 4})$

Schritt 1.1.2.9

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$0 - 20000000 (- 2 x^{- 3})$

Schritt 1.1.2.10

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 20000000$ .

$0 + 40000000 x^{- 3}$

Schritt 1.1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.1.3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + 40000000 \frac{1}{x^{3}}$

Schritt 1.1.3.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.1.3.2.1

Kombiniere $40000000$ und $\frac{1}{x^{3}}$ .

$0 + \frac{40000000}{x^{3}}$

Schritt 1.1.3.2.2

Addiere $0$ und $\frac{40000000}{x^{3}}$ .

$f' (x) = \frac{40000000}{x^{3}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{40000000}{x^{3}}$ .

$\frac{40000000}{x^{3}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{40000000}{x^{3}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{40000000}{x^{3}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$40000000 = 0$

Schritt 2.3

Da $40000000 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Setze den Nenner in $\frac{40000000}{x^{3}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{3} = 0$

Schritt 3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \sqrt[3]{0}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

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Schritt 3.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 3.2.2.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$x = 0$

Schritt 4

Werte $20 - \frac{20000000}{x^{2}}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$20 - \frac{20000000}{{(0)}^{2}}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$20 - \frac{20000000}{0}$

Schritt 4.1.2.2

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 5

Es gibt keine Werte von $x$ im Definitionsbereich, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

Keine kritischen Punkte gefunden