Analysis Beispiele

$\sqrt{x} \ln (6 x)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}} \ln (6 x))$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = \ln (6 x)$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (\ln (6 x)) + \ln (6 x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 6 x$ .

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Schritt 1.1.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $6 x$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (6 x)) + \ln (6 x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.1.3.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (6 x)) + \ln (6 x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.1.3.3

Ersetze alle $u$ durch $6 x$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{6 x} \cdot \frac{d}{d x} (6 x)) + \ln (6 x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.1.4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.1.4.1

Kombiniere $\frac{1}{6 x}$ und $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{6 x} \cdot \frac{d}{d x} (6 x) + \ln (6 x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.1.4.2

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{6 x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (6 x) + \ln (6 x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.1.5

Multipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.5.1

Bewege $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{6 (x^{- \frac{1}{2}} x)} \cdot \frac{d}{d x} (6 x) + \ln (6 x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.1.5.2

Mutltipliziere $x^{- \frac{1}{2}}$ mit $x$ .

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Schritt 1.1.5.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{6 (x^{- \frac{1}{2}} x)} \cdot \frac{d}{d x} (6 x) + \ln (6 x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.1.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = \frac{1}{6 x^{- \frac{1}{2} + 1}} \cdot \frac{d}{d x} (6 x) + \ln (6 x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.1.5.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = \frac{1}{6 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (6 x) + \ln (6 x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.1.5.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = \frac{1}{6 x^{\frac{- 1 + 2}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (6 x) + \ln (6 x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.1.5.5

Addiere $- 1$ und $2$ .

$f' (x) = \frac{1}{6 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (6 x) + \ln (6 x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.1.6

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{1}{6 x^{\frac{1}{2}}} \cdot (6 \frac{d}{d x} (x)) + \ln (6 x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.1.7

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.1.7.1

Kombiniere $6$ und $\frac{1}{6 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{6}{6 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \ln (6 x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.1.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = \frac{6}{6 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \ln (6 x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.1.7.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \ln (6 x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.1.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + \ln (6 x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.1.9

Mutltipliziere $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (6 x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.1.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (6 x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Schritt 1.1.11

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (6 x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 1.1.12

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (6 x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 1.1.13

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (6 x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 1.1.14

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.14.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (6 x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Schritt 1.1.14.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (6 x) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Schritt 1.1.15

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (6 x) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Schritt 1.1.16

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (6 x) (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Schritt 1.1.17

Kombiniere $\ln (6 x)$ und $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (6 x) x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 1.1.18

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (6 x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (6 x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (6 x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (6 x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (6 x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 2.2

Subtrahiere $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{\ln (6 x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.3

Multipliziere beide Seiten mit $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\ln (6 x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.1.1

Vereinfache $\frac{\ln (6 x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}})$ .

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Schritt 2.4.1.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 \frac{\ln (6 x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 2.4.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{\ln (6 x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 2.4.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\ln (6 x)}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 2.4.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 2.4.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\ln (6 x)}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 2.4.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (6 x) = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Vereinfache $- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}})$ .

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Schritt 2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 2.4.2.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ in den Zähler.

$\ln (6 x) = \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 2.4.2.1.1.2

Faktorisiere $x^{\frac{1}{2}}$ aus $2 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\ln (6 x) = \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} \cdot 2)$

Schritt 2.4.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (6 x) = \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} \cdot 2)$

Schritt 2.4.2.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$\ln (6 x) = - 1 \cdot 2$

Schritt 2.4.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\ln (6 x) = - 2$

Schritt 2.5

Um nach $x$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (6 x)} = e^{- 2}$

Schritt 2.6

Schreibe $\ln (6 x) = - 2$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- 2} = 6 x$

Schritt 2.7

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.7.1

Schreibe die Gleichung als $6 x = e^{- 2}$ um.

$6 x = e^{- 2}$

Schritt 2.7.2

Teile jeden Ausdruck in $6 x = e^{- 2}$ durch $6$ und vereinfache.

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Schritt 2.7.2.1

Teile jeden Ausdruck in $6 x = e^{- 2}$ durch $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{e^{- 2}}{6}$

Schritt 2.7.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.7.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 2.7.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 x}{6} = \frac{e^{- 2}}{6}$

Schritt 2.7.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{e^{- 2}}{6}$

Schritt 2.7.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.7.2.3.1

Bringe $e^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{6 e^{2}}$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

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Schritt 3.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\frac{1}{\sqrt{x^{1}}} + \frac{\ln (6 x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.1.2

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\frac{1}{\sqrt{x^{1}}} + \frac{\ln (6 x)}{2 \sqrt{x^{1}}}$

Schritt 3.1.3

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$\frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{\ln (6 x)}{2 \sqrt{x^{1}}}$

Schritt 3.1.4

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$\frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{\ln (6 x)}{2 \sqrt{x}}$

Schritt 3.2

Setze den Nenner in $\frac{1}{\sqrt{x}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\sqrt{x} = 0$

Schritt 3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{x}}^{2} = 0^{2}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.2.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 3.3.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 3.3.2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = 0^{2}$

Schritt 3.3.2.2.1.2

Vereinfache.

$x = 0^{2}$

Schritt 3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x = 0$

Schritt 3.4

Setze den Nenner in $\frac{\ln (6 x)}{2 \sqrt{x}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 \sqrt{x} = 0$

Schritt 3.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(2 \sqrt{x})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 3.5.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.5.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 3.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.2.1

Vereinfache ${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.5.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $2 x^{\frac{1}{2}}$ an.

$2^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 3.5.2.2.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 3.5.2.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.5.2.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 3.5.2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.5.2.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 3.5.2.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$4 x^{1} = 0^{2}$

Schritt 3.5.2.2.1.4

Vereinfache.

$4 x = 0^{2}$

Schritt 3.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$4 x = 0$

Schritt 3.5.3

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 0$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 0$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 3.5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 3.5.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Schritt 3.5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.3.3.1

Dividiere $0$ durch $4$ .

$x = 0$

Schritt 3.6

Setze das Argument in $\ln (6 x)$ kleiner oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$6 x \leq 0$

Schritt 3.7

Teile jeden Ausdruck in $6 x \leq 0$ durch $6$ und vereinfache.

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Schritt 3.7.1

Teile jeden Ausdruck in $6 x \leq 0$ durch $6$ .

$\frac{6 x}{6} \leq \frac{0}{6}$

Schritt 3.7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 3.7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 x}{6} \leq \frac{0}{6}$

Schritt 3.7.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \leq \frac{0}{6}$

Schritt 3.7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.7.3.1

Dividiere $0$ durch $6$ .

$x \leq 0$

Schritt 3.8

Setze den Radikanden in $\sqrt{x}$ kleiner als $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x < 0$

Schritt 3.9

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Schritt 4

Werte $\sqrt{x} \ln (6 x)$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = \frac{1}{6 e^{2}}$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $\frac{1}{6 e^{2}}$ .

$\sqrt{\frac{1}{6 e^{2}}} \ln (6 (\frac{1}{6 e^{2}}))$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Entferne die Klammern.

$\sqrt{\frac{1}{6 e^{2}}} \ln (6 (\frac{1}{6 e^{2}}))$

Schritt 4.1.2.2

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{6 e^{2}}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{6 e^{2}}}$ um.

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{6 e^{2}}} \ln (6 (\frac{1}{6 e^{2}}))$

Schritt 4.1.2.3

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{6 e^{2}}} \ln (6 (\frac{1}{6 e^{2}}))$

Schritt 4.1.2.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1.2.4.1

Stelle $6$ und $e^{2}$ um.

$\frac{1}{\sqrt{e^{2} \cdot 6}} \ln (6 (\frac{1}{6 e^{2}}))$

Schritt 4.1.2.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{1}{e \sqrt{6}} \ln (6 (\frac{1}{6 e^{2}}))$

Schritt 4.1.2.5

Mutltipliziere $\frac{1}{e \sqrt{6}}$ mit $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\frac{1}{e \sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} \ln (6 (\frac{1}{6 e^{2}}))$

Schritt 4.1.2.6

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1.2.6.1

Mutltipliziere $\frac{1}{e \sqrt{6}}$ mit $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\frac{\sqrt{6}}{e \sqrt{6} \sqrt{6}} \ln (6 (\frac{1}{6 e^{2}}))$

Schritt 4.1.2.6.2

Bewege $\sqrt{6}$ .

$\frac{\sqrt{6}}{e (\sqrt{6} \sqrt{6})} \ln (6 (\frac{1}{6 e^{2}}))$

Schritt 4.1.2.6.3

Potenziere $\sqrt{6}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{6}}{e ({\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6})} \ln (6 (\frac{1}{6 e^{2}}))$

Schritt 4.1.2.6.4

Potenziere $\sqrt{6}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{6}}{e ({\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1})} \ln (6 (\frac{1}{6 e^{2}}))$

Schritt 4.1.2.6.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sqrt{6}}{e {\sqrt{6}}^{1 + 1}} \ln (6 (\frac{1}{6 e^{2}}))$

Schritt 4.1.2.6.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sqrt{6}}{e {\sqrt{6}}^{2}} \ln (6 (\frac{1}{6 e^{2}}))$

Schritt 4.1.2.6.7

Schreibe ${\sqrt{6}}^{2}$ als $6$ um.

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Schritt 4.1.2.6.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{6}$ als $6^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt{6}}{e {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}} \ln (6 (\frac{1}{6 e^{2}}))$

Schritt 4.1.2.6.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{6}}{e \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \ln (6 (\frac{1}{6 e^{2}}))$

Schritt 4.1.2.6.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\sqrt{6}}{e \cdot 6^{\frac{2}{2}}} \ln (6 (\frac{1}{6 e^{2}}))$

Schritt 4.1.2.6.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.2.6.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{6}}{e \cdot 6^{\frac{2}{2}}} \ln (6 (\frac{1}{6 e^{2}}))$

Schritt 4.1.2.6.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{6}}{e \cdot 6^{1}} \ln (6 (\frac{1}{6 e^{2}}))$

Schritt 4.1.2.6.7.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{\sqrt{6}}{e \cdot 6} \ln (6 (\frac{1}{6 e^{2}}))$

Schritt 4.1.2.7

Bringe $6$ auf die linke Seite von $e$ .

$\frac{\sqrt{6}}{6 \cdot e} \ln (6 (\frac{1}{6 e^{2}}))$

Schritt 4.1.2.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 4.1.2.8.1

Faktorisiere $6$ aus $6 e^{2}$ heraus.

$\frac{\sqrt{6}}{6 e} \ln (6 \frac{1}{6 (e^{2})})$

Schritt 4.1.2.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{6}}{6 e} \ln (6 \frac{1}{6 e^{2}})$

Schritt 4.1.2.8.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{6}}{6 e} \ln (\frac{1}{e^{2}})$

Schritt 4.1.2.9

Bringe $e^{2}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{\sqrt{6}}{6 e} \ln (e^{- 2})$

Schritt 4.1.2.10

Zerlege $\ln (e^{- 2})$ durch Herausziehen von $- 2$ aus dem Logarithmus.

$\frac{\sqrt{6}}{6 e} (- 2 \ln (e))$

Schritt 4.1.2.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.2.11.1

Faktorisiere $2$ aus $6 e$ heraus.

$\frac{\sqrt{6}}{2 (3 e)} (- 2 \ln (e))$

Schritt 4.1.2.11.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \ln (e)$ heraus.

$\frac{\sqrt{6}}{2 (3 e)} (2 (- \ln (e)))$

Schritt 4.1.2.11.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{6}}{2 (3 e)} (2 (- \ln (e)))$

Schritt 4.1.2.11.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{6}}{3 e} (- \ln (e))$

Schritt 4.1.2.12

Kombiniere $\frac{\sqrt{6}}{3 e}$ und $\ln (e)$ .

$- \frac{\sqrt{6} \ln (e)}{3 e}$

Schritt 4.1.2.13

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$- \frac{\sqrt{6} \cdot 1}{3 e}$

Schritt 4.1.2.14

Mutltipliziere $\sqrt{6}$ mit $1$ .

$- \frac{\sqrt{6}}{3 e}$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$\sqrt{0} \ln (6 (0))$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Entferne die Klammern.

$\sqrt{0} \ln (6 (0))$

Schritt 4.2.2.2

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$\sqrt{0^{2}} \ln (6 (0))$

Schritt 4.2.2.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$0 \ln (6 (0))$

Schritt 4.2.2.4

Schreibe $\ln (6 (0))$ als $\ln (6) + \ln (0)$ um.

$0 (\ln (6) + \ln (0))$

Schritt 4.2.2.5

Der natürliche Logarithmus von null ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 4.3

Liste all Punkte auf.

$(\frac{1}{6 e^{2}}, - \frac{\sqrt{6}}{3 e})$

Schritt 5