Analysis Beispiele

$f (x) = 2 + \ln (x^{5})$ ; $x = e$

Schritt 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = e$ .

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Schritt 1.1

Setze $e$ für $x$ ein.

$y = 2 + \ln ({(e)}^{5})$

Schritt 1.2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 2 + \ln (e^{5})$

Schritt 1.2.2

Entferne die Klammern.

$y = 2 + \ln ({(e)}^{5})$

Schritt 1.2.3

Vereinfache $2 + \ln ({(e)}^{5})$ .

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Schritt 1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.3.1.1

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $5$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$y = 2 + 5 \ln (e)$

Schritt 1.2.3.1.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$y = 2 + 5 \cdot 1$

Schritt 1.2.3.1.3

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$y = 2 + 5$

Schritt 1.2.3.2

Addiere $2$ und $5$ .

$y = 7$

Schritt 2

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = e$ und $y = 7$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 + \ln (x^{5})$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{5})]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{5})]$

Schritt 2.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\ln (x^{5})]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\ln (x^{5})]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x^{5}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{5}$ .

$0 + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Schritt 2.2.1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$0 + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Schritt 2.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{5}$ .

$0 + \frac{1}{x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$0 + \frac{1}{x^{5}} (5 x^{4})$

Schritt 2.2.3

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{x^{5}}$ .

$0 + \frac{5}{x^{5}} x^{4}$

Schritt 2.2.4

Kombiniere $\frac{5}{x^{5}}$ und $x^{4}$ .

$0 + \frac{5 x^{4}}{x^{5}}$

Schritt 2.2.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{4}$ und $x^{5}$ .

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Schritt 2.2.5.1

Faktorisiere $x^{4}$ aus $5 x^{4}$ heraus.

$0 + \frac{x^{4} \cdot 5}{x^{5}}$

Schritt 2.2.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.5.2.1

Faktorisiere $x^{4}$ aus $x^{5}$ heraus.

$0 + \frac{x^{4} \cdot 5}{x^{4} x}$

Schritt 2.2.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0 + \frac{x^{4} \cdot 5}{x^{4} x}$

Schritt 2.2.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$0 + \frac{5}{x}$

Schritt 2.3

Addiere $0$ und $\frac{5}{x}$ .

$\frac{5}{x}$

Schritt 2.4

Bestimme die Ableitung bei $x = e$ .

$\frac{5}{e}$

Schritt 3

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 3.1

Benutze die Steigung $\frac{5}{e}$ und einen gegebenen Punkt $(e, 7)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (7) = \frac{5}{e} \cdot (x - (e))$

Schritt 3.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 7 = \frac{5}{e} \cdot (x - e)$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache $\frac{5}{e} \cdot (x - e)$ .

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Schritt 3.3.1.1

Forme um.

$y - 7 = 0 + 0 + \frac{5}{e} \cdot (x - e)$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 7 = \frac{5}{e} \cdot (x - e)$

Schritt 3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 7 = \frac{5}{e} x + \frac{5}{e} (- e)$

Schritt 3.3.1.4

Kombiniere $\frac{5}{e}$ und $x$ .

$y - 7 = \frac{5 x}{e} + \frac{5}{e} (- e)$

Schritt 3.3.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e$ .

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Schritt 3.3.1.5.1

Faktorisiere $e$ aus $- e$ heraus.

$y - 7 = \frac{5 x}{e} + \frac{5}{e} (e \cdot - 1)$

Schritt 3.3.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y - 7 = \frac{5 x}{e} + \frac{5}{e} (e \cdot - 1)$

Schritt 3.3.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$y - 7 = \frac{5 x}{e} + 5 \cdot - 1$

Schritt 3.3.1.6

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$y - 7 = \frac{5 x}{e} - 5$

Schritt 3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \frac{5 x}{e} - 5 + 7$

Schritt 3.3.2.2

Addiere $- 5$ und $7$ .

$y = \frac{5 x}{e} + 2$

Schritt 3.3.3

Stelle die Terme um.

$y = \frac{5}{e} x + 2$

Schritt 4