Analysis Beispiele

$\sec (\sin^{-1} (u))$

Schritt 1

Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten $(\sqrt{1^{2} - u^{2}}, u)$ , $(\sqrt{1^{2} - u^{2}}, 0)$ und dem Ursprung. Dann ist $\sin^{-1} (u)$ der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch $(\sqrt{1^{2} - u^{2}}, u)$ verläuft. Folglich ist $\sec (\sin^{-1} (u))$ $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$

Schritt 2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}}$

Schritt 2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = u$ .

$\frac{1}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

Schritt 3

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ mit $\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

Schritt 4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ mit $\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

Schritt 4.2

Potenziere $\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{1} \sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

Schritt 4.3

Potenziere $\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{1} {\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{1}}$

Schritt 4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{2}}$

Schritt 4.6

Schreibe ${\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{2}$ als $(1 + u) (1 - u)$ um.

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Schritt 4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ als ${((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{({((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{((1 + u) (1 - u))}^{1}}$

Schritt 4.6.5

Vereinfache.

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}$

Schritt 5

Das ist die trigonometrische Form einer komplexen Zahl, wobei $| z |$ der Betrag und $θ$ der Winkel, der in der komplexen Ebene entsteht, ist.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Schritt 6

Der Betrag einer komplexen Zahl ist der Abstand vom Ursprung in der komplexen Zahlenebene.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , wobei $z = a + b i$

Schritt 7

Ersetze die tatsächlichen Werte von $a = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}$ und $b = 0$ .

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)})}^{2}}$

Schritt 8

Ermittle $| z |$ .

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Schritt 8.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$| z | = \sqrt{0 + {(\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)})}^{2}}$

Schritt 8.2

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 8.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}$ an.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{2}}{{((1 + u) (1 - u))}^{2}}}$

Schritt 8.2.2

Wende die Produktregel auf $(1 + u) (1 - u)$ an.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{2}}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

Schritt 8.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.1

Schreibe ${\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{2}$ als $(1 + u) (1 - u)$ um.

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Schritt 8.3.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ als ${((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{({((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

Schritt 8.3.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

Schritt 8.3.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{2}{2}}}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

Schritt 8.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.3.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{2}{2}}}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

Schritt 8.3.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{(1 + u) (1 - u)}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

Schritt 8.3.1.5

Vereinfache.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{(1 + u) (1 - u)}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

Schritt 8.3.2

Multipliziere $(1 + u) (1 - u)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 8.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 (1 - u) + u (1 - u)}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

Schritt 8.3.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 \cdot 1 + 1 (- u) + u (1 - u)}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

Schritt 8.3.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 \cdot 1 + 1 (- u) + u \cdot 1 + u (- u)}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

Schritt 8.3.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 8.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.3.3.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 + 1 (- u) + u \cdot 1 + u (- u)}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

Schritt 8.3.3.1.2

Mutltipliziere $- u$ mit $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 - u + u \cdot 1 + u (- u)}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

Schritt 8.3.3.1.3

Mutltipliziere $u$ mit $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 - u + u + u (- u)}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

Schritt 8.3.3.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 - u + u - u \cdot u}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

Schritt 8.3.3.1.5

Multipliziere $u$ mit $u$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 8.3.3.1.5.1

Bewege $u$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 - u + u - (u \cdot u)}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

Schritt 8.3.3.1.5.2

Mutltipliziere $u$ mit $u$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 - u + u - u^{2}}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

Schritt 8.3.3.2

Addiere $- u$ und $u$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 + 0 - u^{2}}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

Schritt 8.3.3.3

Addiere $1$ und $0$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 - u^{2}}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

Schritt 8.3.4

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1^{2} - u^{2}}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

Schritt 8.3.5

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = u$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{(1 + u) (1 - u)}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

Schritt 8.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.4.1

Faktorisiere $1 + u$ aus ${(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}$ heraus.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{(1 + u) (1 - u)}{(1 + u) ((1 + u) {(1 - u)}^{2})}}$

Schritt 8.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{(1 + u) (1 - u)}{(1 + u) ((1 + u) {(1 - u)}^{2})}}$

Schritt 8.4.3

Forme den Ausdruck um.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 - u}{(1 + u) {(1 - u)}^{2}}}$

Schritt 8.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1 - u$ und ${(1 - u)}^{2}$ .

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Schritt 8.5.1

Multipliziere mit $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{(1 - u) \cdot 1}{(1 + u) {(1 - u)}^{2}}}$

Schritt 8.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.5.2.1

Faktorisiere $1 - u$ aus $(1 + u) {(1 - u)}^{2}$ heraus.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{(1 - u) \cdot 1}{(1 - u) ((1 + u) (1 - u))}}$

Schritt 8.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{(1 - u) \cdot 1}{(1 - u) ((1 + u) (1 - u))}}$

Schritt 8.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1}{(1 + u) (1 - u)}}$

Schritt 8.6

Addiere $0$ und $\frac{1}{(1 + u) (1 - u)}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{(1 + u) (1 - u)}}$

Schritt 8.7

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{(1 + u) (1 - u)}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ um.

$| z | = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

Schritt 8.8

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$| z | = \frac{1}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

Schritt 8.9

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ mit $\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ .

$| z | = \frac{1}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

Schritt 8.10

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.10.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ mit $\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

Schritt 8.10.2

Potenziere $\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ mit $1$ .

$| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

Schritt 8.10.3

Potenziere $\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ mit $1$ .

$| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

Schritt 8.10.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{1 + 1}}$

Schritt 8.10.5

Addiere $1$ und $1$ .

$| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{2}}$

Schritt 8.10.6

Schreibe ${\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{2}$ als $(1 + u) (1 - u)$ um.

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Schritt 8.10.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ als ${((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{({((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 8.10.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 8.10.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.10.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.10.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.10.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}$

Schritt 8.10.6.5

Vereinfache.

$| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}$

Schritt 9

Der Winkel des Punkts in der komplexen Zahlenebene ist der inverse Tangens des Imaginärteils geteilt durch den Realteil.

$θ = \tan^{-1} (\frac{0}{\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}})$

Schritt 10

Substituiere die Werte von $θ = \tan^{-1} (\frac{0}{\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}})$ und $| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u) (\cos (\tan^{-1} (\frac{0}{\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}})) + i \sin (\tan^{-1} (\frac{0}{\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}})))}$