Analysis Beispiele

$\int_{- \infty}^{\infty} x e^{- x^{2}} d x$

Schritt 1

Teile das Integral bei $0$ und schreibe es als Summe von Grenzwerten.

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{0} x e^{- x^{2}} d x + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{- x^{2}} d x$

Schritt 2

Sei $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . Dann ist $d u_{2} = - 2 x e^{- x^{2}} d x$ , folglich $- \frac{1}{2} d u_{2} = x e^{- x^{2}} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $e^{- x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x^{2}$ .

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Schritt 2.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $- x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 2.1.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $- x^{2}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 2.1.3

Differenziere.

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Schritt 2.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$e^{- x^{2}} (- (2 x))$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$e^{- x^{2}} (- 2 x)$

Schritt 2.1.4

Vereinfache.

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Schritt 2.1.4.1

Stelle die Faktoren von $e^{- x^{2}} (- 2 x)$ um.

$- 2 e^{- x^{2}} x$

Schritt 2.1.4.2

Stelle die Faktoren in $- 2 e^{- x^{2}} x$ um.

$- 2 x e^{- x^{2}}$

Schritt 2.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u_{2} = e^{- x^{2}}$ ein.

$u_{lower} = e^{- t^{2}}$

Schritt 2.3

Setze die obere Grenze für $x$ in $u_{2} = e^{- x^{2}}$ ein.

$u_{upper} = e^{- 0^{2}}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$u_{upper} = e^{- 0}$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$u_{upper} = e^{0}$

Schritt 2.4.3

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$u_{upper} = 1$

Schritt 2.5

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = e^{- t^{2}}$

$u_{upper} = 1$

Schritt 2.6

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u_{2}$ , $d u_{2}$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$lim_{t \to - \infty} \int_{e^{- t^{2}}}^{1} \frac{1}{- 2} d u_{2} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{- x^{2}} d x$

Schritt 3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{t \to - \infty} \int_{e^{- t^{2}}}^{1} - \frac{1}{2} d u_{2} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{- x^{2}} d x$

Schritt 4

Wende die Konstantenregel an.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} u_{2}]_{e^{- t^{2}}}^{1} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{- x^{2}} d x$

Schritt 5

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 5.1

Berechne $- \frac{1}{2} u_{2}$ bei $1$ und $e^{- t^{2}}$ .

$lim_{t \to - \infty} (- \frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} e^{- t^{2}} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{- x^{2}} d x$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} e^{- t^{2}} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{- x^{2}} d x$

Schritt 5.2.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{- t^{2}}$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} + \frac{e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{- x^{2}} d x$

Schritt 6

Sei $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . Dann ist $d u_{2} = - 2 x e^{- x^{2}} d x$ , folglich $- \frac{1}{2} d u_{2} = x e^{- x^{2}} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 6.1

Es sei $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 6.1.1

Differenziere $e^{- x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

Schritt 6.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x^{2}$ .

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Schritt 6.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $- x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 6.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 6.1.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $- x^{2}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 6.1.3

Differenziere.

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Schritt 6.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 6.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$e^{- x^{2}} (- (2 x))$

Schritt 6.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$e^{- x^{2}} (- 2 x)$

Schritt 6.1.4

Vereinfache.

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Schritt 6.1.4.1

Stelle die Faktoren von $e^{- x^{2}} (- 2 x)$ um.

$- 2 e^{- x^{2}} x$

Schritt 6.1.4.2

Stelle die Faktoren in $- 2 e^{- x^{2}} x$ um.

$- 2 x e^{- x^{2}}$

Schritt 6.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u_{2} = e^{- x^{2}}$ ein.

$u_{lower} = e^{- 0^{2}}$

Schritt 6.3

Vereinfache.

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Schritt 6.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$u_{lower} = e^{- 0}$

Schritt 6.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$u_{lower} = e^{0}$

Schritt 6.3.3

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 6.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u_{2} = e^{- x^{2}}$ ein.

$u_{upper} = e^{- t^{2}}$

Schritt 6.5

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = e^{- t^{2}}$

Schritt 6.6

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u_{2}$ , $d u_{2}$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} + \frac{e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{1}^{e^{- t^{2}}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Schritt 7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} + \frac{e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{1}^{e^{- t^{2}}} - \frac{1}{2} d u_{2}$

Schritt 8

Wende die Konstantenregel an.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} + \frac{e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{1}{2} u_{2}]_{1}^{e^{- t^{2}}}$

Schritt 9

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 9.1

Berechne $- \frac{1}{2} u_{2}$ bei $e^{- t^{2}}$ und $1$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} + \frac{e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} (- \frac{1}{2} e^{- t^{2}}) + \frac{1}{2} \cdot 1$

Schritt 9.2

Vereinfache.

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Schritt 9.2.1

Kombiniere $e^{- t^{2}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} + \frac{e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1$

Schritt 9.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} + \frac{e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 10

Berechne die Grenzwerte.

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Schritt 10.1

Vereinige Brüche unter Anwendung eines gemeinsamen Nenners.

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Schritt 10.1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{t \to - \infty} \frac{- 1 + e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 10.1.2

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$lim_{t \to - \infty} \frac{- 1 (1) + e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 10.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $e^{- t^{2}}$ heraus.

$lim_{t \to - \infty} \frac{- 1 (1) - 1 (- e^{- t^{2}})}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 10.1.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - 1 (- e^{- t^{2}})$ heraus.

$lim_{t \to - \infty} \frac{- 1 (1 - e^{- t^{2}})}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 10.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1 - e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 10.2

Vereinige Brüche unter Anwendung eines gemeinsamen Nenners.

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Schritt 10.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1 - e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \frac{- e^{- t^{2}} + 1}{2}$

Schritt 10.2.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- e^{- t^{2}}$ heraus.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1 - e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \frac{- (e^{- t^{2}}) + 1}{2}$

Schritt 10.2.3

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1 - e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \frac{- (e^{- t^{2}}) - 1 (- 1)}{2}$

Schritt 10.2.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (e^{- t^{2}}) - 1 (- 1)$ heraus.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1 - e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \frac{- (e^{- t^{2}} - 1)}{2}$

Schritt 10.2.5

Schreibe $- (e^{- t^{2}} - 1)$ als $- 1 (e^{- t^{2}} - 1)$ um.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1 - e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \frac{- 1 (e^{- t^{2}} - 1)}{2}$

Schritt 10.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1 - e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}} - 1}{2}$

Schritt 10.3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 10.3.1

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $t$ ist.

$- lim_{t \to - \infty} \frac{1 - e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}} - 1}{2}$

Schritt 10.3.2

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $t$ ist.

$- \frac{1}{2} lim_{t \to - \infty} 1 - e^{- t^{2}} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}} - 1}{2}$

Schritt 10.3.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $t$ sich an $- \infty$ annähert.

$- \frac{1}{2} (lim_{t \to - \infty} 1 - lim_{t \to - \infty} e^{- t^{2}}) + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}} - 1}{2}$

Schritt 10.3.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $t$ sich $- \infty$ annähert.

$- \frac{1}{2} (1 - lim_{t \to - \infty} e^{- t^{2}}) + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}} - 1}{2}$

Schritt 10.4

Da der Exponent $- t^{2}$ gegen $- \infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{- t^{2}}$ $0$ an.

$- \frac{1}{2} (1 - 0) + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}} - 1}{2}$

Schritt 10.5

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 10.5.1

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $t$ ist.

$- \frac{1}{2} (1 - 0) - lim_{t \to \infty} \frac{e^{- t^{2}} - 1}{2}$

Schritt 10.5.2

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $t$ ist.

$- \frac{1}{2} (1 - 0) - \frac{1}{2} lim_{t \to \infty} e^{- t^{2}} - 1$

Schritt 10.5.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $t$ sich an $\infty$ annähert.

$- \frac{1}{2} (1 - 0) - \frac{1}{2} (lim_{t \to \infty} e^{- t^{2}} - lim_{t \to \infty} 1)$

Schritt 10.6

Da der Exponent $- t^{2}$ gegen $- \infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{- t^{2}}$ $0$ an.

$- \frac{1}{2} (1 - 0) - \frac{1}{2} (0 - lim_{t \to \infty} 1)$

Schritt 10.7

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 10.7.1

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $t$ sich $\infty$ annähert.

$- \frac{1}{2} (1 - 0) - \frac{1}{2} (0 - 1 \cdot 1)$

Schritt 10.7.2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 10.7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.7.2.1.1

Subtrahiere $0$ von $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} (0 - 1 \cdot 1)$

Schritt 10.7.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{1}{2} (0 - 1 \cdot 1)$

Schritt 10.7.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{1}{2} (0 - 1)$

Schritt 10.7.2.1.4

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot - 1$

Schritt 10.7.2.1.5

Multipliziere $- \frac{1}{2} \cdot - 1$ .

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Schritt 10.7.2.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{1}{2} + 1 (\frac{1}{2})$

Schritt 10.7.2.1.5.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 10.7.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 1 + 1}{2}$

Schritt 10.7.2.3

Addiere $- 1$ und $1$ .

$\frac{0}{2}$

Schritt 10.7.2.4

Dividiere $0$ durch $2$ .

$0$