Analysis Beispiele

$\int \frac{x + 5}{\sqrt{9 - {(x - 3)}^{2}}} d x$

Schritt 1

Sei $u = x - 3$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = x - 3$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.1.4

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 1.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{u + 3 + 5}{\sqrt{9 - u^{2}}} d u$

Schritt 2

Addiere $3$ und $5$ .

$\int \frac{u + 8}{\sqrt{9 - u^{2}}} d u$

Schritt 3

Sei $u = 3 \sin (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d u = 3 \cos (t) d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $3 \cos (t)$ positiv ist.

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}} (3 \cos (t)) d t$

Schritt 4

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.1

Vereinfache $\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}$ .

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Schritt 4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1.1

Wende die Produktregel auf $3 \sin (t)$ an.

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{\sqrt{9 - (3^{2} \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t$

Schritt 4.1.1.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{\sqrt{9 - (9 \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t$

Schritt 4.1.1.3

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{\sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t$

Schritt 4.1.2

Faktorisiere $9$ aus $9$ heraus.

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{\sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t$

Schritt 4.1.3

Faktorisiere $9$ aus $- 9 \sin^{2} (t)$ heraus.

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{\sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t$

Schritt 4.1.4

Faktorisiere $9$ aus $9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ heraus.

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{\sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t$

Schritt 4.1.5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{\sqrt{9 \cos^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t$

Schritt 4.1.6

Schreibe $9 \cos^{2} (t)$ als ${(3 \cos (t))}^{2}$ um.

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{\sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}}} (3 \cos (t)) d t$

Schritt 4.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{3 \cos (t)} (3 \cos (t)) d t$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 \cos (t)$ .

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{3 \cos (t)} (3 \cos (t)) d t$

Schritt 4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\int 3 \sin (t) + 8 d t$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 3 \sin (t) d t + \int 8 d t$

Schritt 6

Da $3$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int \sin (t) d t + \int 8 d t$

Schritt 7

Das Integral von $\sin (t)$ nach $t$ ist $- \cos (t)$ .

$3 (- \cos (t) + C) + \int 8 d t$

Schritt 8

Wende die Konstantenregel an.

$3 (- \cos (t) + C) + 8 t + C$

Schritt 9

Vereinfache.

$- 3 \cos (t) + 8 t + C$

Schritt 10

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 10.1

Ersetze alle $t$ durch $\arcsin (\frac{u}{3})$ .

$- 3 \cos (\arcsin (\frac{u}{3})) + 8 \arcsin (\frac{u}{3}) + C$

Schritt 10.2

Ersetze alle $u$ durch $x - 3$ .

$- 3 \cos (\arcsin (\frac{x - 3}{3})) + 8 \arcsin (\frac{x - 3}{3}) + C$

Schritt 11

Stelle die Terme um.

$- 3 \cos (\arcsin (\frac{1}{3} (x - 3))) + 8 \arcsin (\frac{1}{3} (x - 3)) + C$