Analysis Beispiele

$\sin^{7} (x)$

Schritt 1

Faktorisiere $\sin^{6} (x)$ aus.

$\int \sin^{6} (x) \sin (x) d x$

Schritt 2

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\int {\sin (x)}^{2 (3)} \sin (x) d x$

Schritt 2.2

Schreibe ${\sin (x)}^{2 (3)}$ als Potenz um.

$\int {(\sin^{2} (x))}^{3} \sin (x) d x$

$\int {(\sin^{2} (x))}^{3} \sin (x) d x$

Schritt 3

Schreibe $\sin^{2} (x)$ in $1 - \cos^{2} (x)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$\int {(1 - \cos^{2} (x))}^{3} \sin (x) d x$

Schritt 4

Sei $u = \cos (x)$ . Dann ist $d u = - \sin (x) d x$ , folglich $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Es sei $u = \cos (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Differenziere $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 4.1.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

$- \sin (x)$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int - {(1 - u^{2})}^{3} d u$

$\int - {(1 - u^{2})}^{3} d u$

Schritt 5

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int {(1 - u^{2})}^{3} d u$

Schritt 6

Multipliziere ${(1 - u^{2})}^{3}$ aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$- \int 1^{3} + 3 \cdot 1^{2} (- u^{2}) + 3 \cdot 1 {(- u^{2})}^{2} + {(- u^{2})}^{3} d u$

Schritt 6.2

Schreibe die Potenz um als ein Produkt.

$- \int 1 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1^{2} (- u^{2}) + 3 \cdot 1 {(- u^{2})}^{2} + {(- u^{2})}^{3} d u$

Schritt 6.3

Schreibe die Potenz um als ein Produkt.

$- \int 1 \cdot (1 \cdot 1) + 3 \cdot 1^{2} (- u^{2}) + 3 \cdot 1 {(- u^{2})}^{2} + {(- u^{2})}^{3} d u$

Schritt 6.4

Schreibe die Potenz um als ein Produkt.

$- \int 1 \cdot (1 \cdot 1) + 3 \cdot (1 \cdot 1) (- u^{2}) + 3 \cdot 1 {(- u^{2})}^{2} + {(- u^{2})}^{3} d u$

Schritt 6.5

Schreibe die Potenz um als ein Produkt.

$- \int 1 \cdot (1 \cdot 1) + 3 \cdot (1 \cdot 1) (- u^{2}) + 3 \cdot 1 (- u^{2} (- u^{2})) + {(- u^{2})}^{3} d u$

Schritt 6.6

Schreibe die Potenz um als ein Produkt.

$- \int 1 \cdot (1 \cdot 1) + 3 \cdot (1 \cdot 1) (- u^{2}) + 3 \cdot 1 (- u^{2} (- u^{2})) - u^{2} {(- u^{2})}^{2} d u$

Schritt 6.7

Schreibe die Potenz um als ein Produkt.

$- \int 1 \cdot (1 \cdot 1) + 3 \cdot (1 \cdot 1) (- u^{2}) + 3 \cdot 1 (- u^{2} (- u^{2})) - u^{2} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Schritt 6.8

Bewege $u^{2}$ .

$- \int 1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 (- 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2}) - u^{2} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Schritt 6.9

Versetze die Klammern.

$- \int 1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 (- 1 \cdot - 1 u^{2}) u^{2} - u^{2} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Schritt 6.10

Versetze die Klammern.

$- \int 1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 (- 1 \cdot - 1) u^{2} u^{2} - u^{2} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Schritt 6.11

Bewege $u^{2}$ .

$- \int 1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - u^{2} (- 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2}) d u$

Schritt 6.12

Versetze die Klammern.

$- \int 1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - u^{2} (- 1 \cdot - 1 u^{2}) u^{2} d u$

Schritt 6.13

Versetze die Klammern.

$- \int 1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - u^{2} (- 1 \cdot - 1) u^{2} u^{2} d u$

Schritt 6.14

Bewege $u^{2}$ .

$- \int 1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Schritt 6.15

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$- \int 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Schritt 6.16

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$- \int 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Schritt 6.17

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$- \int 1 + 3 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Schritt 6.18

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$- \int 1 + 3 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Schritt 6.19

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- \int 1 - 3 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Schritt 6.20

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$- \int 1 - 3 u^{2} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Schritt 6.21

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- \int 1 - 3 u^{2} - 3 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Schritt 6.22

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$- \int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Schritt 6.23

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{2 + 2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Schritt 6.24

Addiere $2$ und $2$ .

$- \int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Schritt 6.25

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} + 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Schritt 6.26

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Schritt 6.27

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$- \int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - (u^{2} u^{2}) u^{2} d u$

Schritt 6.28

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - u^{2 + 2} u^{2} d u$

Schritt 6.29

Addiere $2$ und $2$ .

$- \int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - u^{4} u^{2} d u$

Schritt 6.30

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$- \int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - (u^{4} u^{2}) d u$

Schritt 6.31

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - u^{4 + 2} d u$

Schritt 6.32

Addiere $4$ und $2$ .

$- \int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - u^{6} d u$

Schritt 6.33

Stelle $1$ und $- 3 u^{2}$ um.

$- \int - 3 u^{2} + 1 + 3 u^{4} - u^{6} d u$

Schritt 6.34

Bewege $1$ .

$- \int - 3 u^{2} + 3 u^{4} + 1 - u^{6} d u$

Schritt 6.35

Stelle $- 3 u^{2}$ und $3 u^{4}$ um.

$- \int 3 u^{4} - 3 u^{2} + 1 - u^{6} d u$

Schritt 6.36

Bewege $1$ .

$- \int 3 u^{4} - 3 u^{2} - u^{6} + 1 d u$

Schritt 6.37

Bewege $- 3 u^{2}$ .

$- \int 3 u^{4} - u^{6} - 3 u^{2} + 1 d u$

Schritt 6.38

Stelle $3 u^{4}$ und $- u^{6}$ um.

$- \int - u^{6} + 3 u^{4} - 3 u^{2} + 1 d u$

$- \int - u^{6} + 3 u^{4} - 3 u^{2} + 1 d u$

Schritt 7

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$- (\int - u^{6} d u + \int 3 u^{4} d u + \int - 3 u^{2} d u + \int d u)$

Schritt 8

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- (- \int u^{6} d u + \int 3 u^{4} d u + \int - 3 u^{2} d u + \int d u)$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{6}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{7} u^{7}$ .

$- (- (\frac{1}{7} u^{7} + C) + \int 3 u^{4} d u + \int - 3 u^{2} d u + \int d u)$

Schritt 10

Da $3$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$- (- (\frac{1}{7} u^{7} + C) + 3 \int u^{4} d u + \int - 3 u^{2} d u + \int d u)$

Schritt 11

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{4}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$- (- (\frac{1}{7} u^{7} + C) + 3 (\frac{1}{5} u^{5} + C) + \int - 3 u^{2} d u + \int d u)$

Schritt 12

Da $- 3$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 3$ aus dem Integral.

$- (- (\frac{1}{7} u^{7} + C) + 3 (\frac{1}{5} u^{5} + C) - 3 \int u^{2} d u + \int d u)$

Schritt 13

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- (- (\frac{1}{7} u^{7} + C) + 3 (\frac{1}{5} u^{5} + C) - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int d u)$

Schritt 14

Wende die Konstantenregel an.

$- (- (\frac{1}{7} u^{7} + C) + 3 (\frac{1}{5} u^{5} + C) - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + u + C)$

Schritt 15

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.1

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.1.1

Kombiniere $\frac{1}{7}$ und $u^{7}$ .

$- (- (\frac{u^{7}}{7} + C) + 3 (\frac{1}{5} u^{5} + C) - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + u + C)$

Schritt 15.1.2

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $u^{5}$ .

$- (- (\frac{u^{7}}{7} + C) + 3 (\frac{u^{5}}{5} + C) - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + u + C)$

Schritt 15.1.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $u^{3}$ .

$- (- (\frac{u^{7}}{7} + C) + 3 (\frac{u^{5}}{5} + C) - 3 (\frac{u^{3}}{3} + C) + u + C)$

$- (- (\frac{u^{7}}{7} + C) + 3 (\frac{u^{5}}{5} + C) - 3 (\frac{u^{3}}{3} + C) + u + C)$

Schritt 15.2

Vereinfache.

$- (- \frac{u^{7}}{7} + \frac{3 u^{5}}{5} - u^{3} + u) + C$

$- (- \frac{u^{7}}{7} + \frac{3 u^{5}}{5} - u^{3} + u) + C$

Schritt 16

Ersetze alle $u$ durch $\cos (x)$ .

$- (- \frac{\cos^{7} (x)}{7} + \frac{3 \cos^{5} (x)}{5} - \cos^{3} (x) + \cos (x)) + C$

Schritt 17

Stelle die Terme um.

$- (- \frac{1}{7} \cos^{7} (x) + \frac{3}{5} \cos^{5} (x) - \cos^{3} (x) + \cos (x)) + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$