Analysis Beispiele

$f (x) = 2 x^{2} + \frac{4000}{x} + 10$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{2} + \frac{4000}{x} + 10$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{4000}{x}] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{4000}{x}] + \frac{d}{d x} [10]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{2}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{4000}{x}] + \frac{d}{d x} [10]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{4000}{x}] + \frac{d}{d x} [10]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [\frac{4000}{x}] + \frac{d}{d x} [10]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{4000}{x}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $4000$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4000}{x}$ nach $x$ gleich $4000 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$4 x + 4000 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [10]$

Schritt 1.3.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$4 x + 4000 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [10]$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$4 x + 4000 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [10]$

Schritt 1.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $4000$ .

$4 x - 4000 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [10]$

Schritt 1.4

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $10$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 x - 4000 x^{- 2} + 0$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 x - 4000 \frac{1}{x^{2}} + 0$

Schritt 1.5.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.5.2.1

Kombiniere $- 4000$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$4 x + \frac{- 4000}{x^{2}} + 0$

Schritt 1.5.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$4 x - \frac{4000}{x^{2}} + 0$

Schritt 1.5.2.3

Addiere $4 x - \frac{4000}{x^{2}}$ und $0$ .

$4 x - \frac{4000}{x^{2}}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x - \frac{4000}{x^{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4000}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (- \frac{4000}{x^{2}})$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{4000}{x^{2}})$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{4000}{x^{2}})$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$f'' (x) = 4 + \frac{d}{d x} (- \frac{4000}{x^{2}})$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{4000}{x^{2}}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 4000$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{4000}{x^{2}}$ nach $x$ gleich $- 4000 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = 4 - 4000 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 2.3.2

Schreibe $\frac{1}{x^{2}}$ als ${(x^{2})}^{- 1}$ um.

$f'' (x) = 4 - 4000 \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1}$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 2.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2}$ .

$f'' (x) = 4 - 4000 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Schritt 2.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f'' (x) = 4 - 4000 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

Schritt 2.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$f'' (x) = 4 - 4000 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 4 - 4000 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Schritt 2.3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Schritt 2.3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 4 - 4000 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Schritt 2.3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = 4 - 4000 (- x^{- 4} (2 x))$

Schritt 2.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 4 - 4000 (- 2 x^{- 4} x)$

Schritt 2.3.7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = 4 - 4000 (- 2 (x \cdot x^{- 4}))$

Schritt 2.3.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = 4 - 4000 (- 2 x^{1 - 4})$

Schritt 2.3.9

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$f'' (x) = 4 - 4000 (- 2 x^{- 3})$

Schritt 2.3.10

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 4000$ .

$f'' (x) = 4 + 8000 x^{- 3}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 4 + 8000 (\frac{1}{x^{3}})$

Schritt 2.4.2

Kombiniere $8000$ und $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = 4 + \frac{8000}{x^{3}}$

Schritt 2.4.3

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = \frac{8000}{x^{3}} + 4$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$4 x - \frac{4000}{x^{2}} = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{2} + \frac{4000}{x} + 10$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{4000}{x}] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{4000}{x}] + \frac{d}{d x} [10]$

Schritt 4.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Schritt 4.1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{2}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{4000}{x}] + \frac{d}{d x} [10]$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{4000}{x}] + \frac{d}{d x} [10]$

Schritt 4.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [\frac{4000}{x}] + \frac{d}{d x} [10]$

Schritt 4.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{4000}{x}]$ .

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Schritt 4.1.3.1

Da $4000$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4000}{x}$ nach $x$ gleich $4000 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$4 x + 4000 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [10]$

Schritt 4.1.3.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$4 x + 4000 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [10]$

Schritt 4.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$4 x + 4000 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [10]$

Schritt 4.1.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $4000$ .

$4 x - 4000 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [10]$

Schritt 4.1.4

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $10$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 x - 4000 x^{- 2} + 0$

Schritt 4.1.5

Vereinfache.

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Schritt 4.1.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 x - 4000 \frac{1}{x^{2}} + 0$

Schritt 4.1.5.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.1.5.2.1

Kombiniere $- 4000$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$4 x + \frac{- 4000}{x^{2}} + 0$

Schritt 4.1.5.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$4 x - \frac{4000}{x^{2}} + 0$

Schritt 4.1.5.2.3

Addiere $4 x - \frac{4000}{x^{2}}$ und $0$ .

$f' (x) = 4 x - \frac{4000}{x^{2}}$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $4 x - \frac{4000}{x^{2}}$ .

$4 x - \frac{4000}{x^{2}}$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $4 x - \frac{4000}{x^{2}} = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$4 x - \frac{4000}{x^{2}} = 0$

Schritt 5.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, x^{2}, 1$

Schritt 5.2.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x^{2}$

Schritt 5.3

Multipliziere jeden Term in $4 x - \frac{4000}{x^{2}} = 0$ mit $x^{2}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 5.3.1

Multipliziere jeden Term in $4 x - \frac{4000}{x^{2}} = 0$ mit $x^{2}$ .

$4 x \cdot x^{2} - \frac{4000}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.2.1.1

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.2.1.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$4 (x^{2} x) - \frac{4000}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Schritt 5.3.2.1.1.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 5.3.2.1.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$4 (x^{2} x^{1}) - \frac{4000}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Schritt 5.3.2.1.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 x^{2 + 1} - \frac{4000}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Schritt 5.3.2.1.1.3

Addiere $2$ und $1$ .

$4 x^{3} - \frac{4000}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Schritt 5.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 5.3.2.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{4000}{x^{2}}$ in den Zähler.

$4 x^{3} + \frac{- 4000}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Schritt 5.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 x^{3} + \frac{- 4000}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Schritt 5.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$4 x^{3} - 4000 = 0 x^{2}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $x^{2}$ .

$4 x^{3} - 4000 = 0$

Schritt 5.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 5.4.1

Addiere $4000$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{3} = 4000$

Schritt 5.4.2

Subtrahiere $4000$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{3} - 4000 = 0$

Schritt 5.4.3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.4.3.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{3} - 4000$ heraus.

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Schritt 5.4.3.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$4 (x^{3}) - 4000 = 0$

Schritt 5.4.3.1.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4000$ heraus.

$4 x^{3} + 4 \cdot - 1000 = 0$

Schritt 5.4.3.1.3

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{3} + 4 \cdot - 1000$ heraus.

$4 (x^{3} - 1000) = 0$

Schritt 5.4.3.2

Schreibe $1000$ als $10^{3}$ um.

$4 (x^{3} - 10^{3}) = 0$

Schritt 5.4.3.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x$ und $b = 10$ .

$4 ((x - 10) (x^{2} + x \cdot 10 + 10^{2})) = 0$

Schritt 5.4.3.4

Faktorisiere.

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Schritt 5.4.3.4.1

Vereinfache.

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Schritt 5.4.3.4.1.1

Bringe $10$ auf die linke Seite von $x$ .

$4 ((x - 10) (x^{2} + 10 x + 10^{2})) = 0$

Schritt 5.4.3.4.1.2

Potenziere $10$ mit $2$ .

$4 ((x - 10) (x^{2} + 10 x + 100)) = 0$

Schritt 5.4.3.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$4 (x - 10) (x^{2} + 10 x + 100) = 0$

Schritt 5.4.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 10 = 0$

$x^{2} + 10 x + 100 = 0$

Schritt 5.4.5

Setze $x - 10$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.4.5.1

Setze $x - 10$ gleich $0$ .

$x - 10 = 0$

Schritt 5.4.5.2

Addiere $10$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 10$

Schritt 5.4.6

Setze $x^{2} + 10 x + 100$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.4.6.1

Setze $x^{2} + 10 x + 100$ gleich $0$ .

$x^{2} + 10 x + 100 = 0$

Schritt 5.4.6.2

Löse $x^{2} + 10 x + 100 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.4.6.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 5.4.6.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 10$ und $c = 100$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 100)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.4.6.2.3

Vereinfache.

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Schritt 5.4.6.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.4.6.2.3.1.1

Potenziere $10$ mit $2$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 100}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.4.6.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 100$ .

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Schritt 5.4.6.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 100}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.4.6.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $100$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 400}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.4.6.2.3.1.3

Subtrahiere $400$ von $100$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{- 300}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.4.6.2.3.1.4

Schreibe $- 300$ als $- 1 (300)$ um.

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 300}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.4.6.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (300)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{300}$ um.

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{300}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.4.6.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 10 \pm i \cdot \sqrt{300}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.4.6.2.3.1.7

Schreibe $300$ als $10^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 5.4.6.2.3.1.7.1

Faktorisiere $100$ aus $300$ heraus.

$x = \frac{- 10 \pm i \cdot \sqrt{100 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.4.6.2.3.1.7.2

Schreibe $100$ als $10^{2}$ um.

$x = \frac{- 10 \pm i \cdot \sqrt{10^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.4.6.2.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 10 \pm i \cdot (10 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.4.6.2.3.1.9

Bringe $10$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 10 \pm 10 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.4.6.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 10 \pm 10 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 5.4.6.2.3.3

Vereinfache $\frac{- 10 \pm 10 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 5 \pm 5 i \sqrt{3}$

Schritt 5.4.6.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 5.4.6.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.4.6.2.4.1.1

Potenziere $10$ mit $2$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 100}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.4.6.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 100$ .

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Schritt 5.4.6.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 100}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.4.6.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $100$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 400}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.4.6.2.4.1.3

Subtrahiere $400$ von $100$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{- 300}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.4.6.2.4.1.4

Schreibe $- 300$ als $- 1 (300)$ um.

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 300}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.4.6.2.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (300)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{300}$ um.

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{300}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.4.6.2.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 10 \pm i \cdot \sqrt{300}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.4.6.2.4.1.7

Schreibe $300$ als $10^{2} \cdot 3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.6.2.4.1.7.1

Faktorisiere $100$ aus $300$ heraus.

$x = \frac{- 10 \pm i \cdot \sqrt{100 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.4.6.2.4.1.7.2

Schreibe $100$ als $10^{2}$ um.

$x = \frac{- 10 \pm i \cdot \sqrt{10^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.4.6.2.4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 10 \pm i \cdot (10 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.4.6.2.4.1.9

Bringe $10$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 10 \pm 10 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.4.6.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 10 \pm 10 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 5.4.6.2.4.3

Vereinfache $\frac{- 10 \pm 10 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 5 \pm 5 i \sqrt{3}$

Schritt 5.4.6.2.4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = - 5 + 5 i \sqrt{3}$

Schritt 5.4.6.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 5.4.6.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.4.6.2.5.1.1

Potenziere $10$ mit $2$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 100}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.4.6.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 100$ .

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Schritt 5.4.6.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 100}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.4.6.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $100$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 400}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.4.6.2.5.1.3

Subtrahiere $400$ von $100$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{- 300}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.4.6.2.5.1.4

Schreibe $- 300$ als $- 1 (300)$ um.

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 300}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.4.6.2.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (300)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{300}$ um.

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{300}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.4.6.2.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 10 \pm i \cdot \sqrt{300}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.4.6.2.5.1.7

Schreibe $300$ als $10^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 5.4.6.2.5.1.7.1

Faktorisiere $100$ aus $300$ heraus.

$x = \frac{- 10 \pm i \cdot \sqrt{100 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.4.6.2.5.1.7.2

Schreibe $100$ als $10^{2}$ um.

$x = \frac{- 10 \pm i \cdot \sqrt{10^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.4.6.2.5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 10 \pm i \cdot (10 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.4.6.2.5.1.9

Bringe $10$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 10 \pm 10 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.4.6.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 10 \pm 10 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 5.4.6.2.5.3

Vereinfache $\frac{- 10 \pm 10 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 5 \pm 5 i \sqrt{3}$

Schritt 5.4.6.2.5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = - 5 - 5 i \sqrt{3}$

Schritt 5.4.6.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - 5 + 5 i \sqrt{3}, - 5 - 5 i \sqrt{3}$

Schritt 5.4.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $4 (x - 10) (x^{2} + 10 x + 100) = 0$ wahr machen.

$x = 10, - 5 + 5 i \sqrt{3}, - 5 - 5 i \sqrt{3}$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Setze den Nenner in $\frac{4000}{x^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} = 0$

Schritt 6.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 6.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 6.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 6.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 10$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 10$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{8000}{{(10)}^{3}} + 4$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.1.1

Potenziere $10$ mit $3$ .

$\frac{8000}{1000} + 4$

Schritt 9.1.2

Dividiere $8000$ durch $1000$ .

$8 + 4$

Schritt 9.2

Addiere $8$ und $4$ .

$12$

Schritt 10

$x = 10$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 10$ ist ein lokales Minimum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 10$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $10$ .

$f (10) = 2 {(10)}^{2} + \frac{4000}{10} + 10$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.1.1

Potenziere $10$ mit $2$ .

$f (10) = 2 \cdot 100 + \frac{4000}{10} + 10$

Schritt 11.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $100$ .

$f (10) = 200 + \frac{4000}{10} + 10$

Schritt 11.2.1.3

Dividiere $4000$ durch $10$ .

$f (10) = 200 + 400 + 10$

Schritt 11.2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 11.2.2.1

Addiere $200$ und $400$ .

$f (10) = 600 + 10$

Schritt 11.2.2.2

Addiere $600$ und $10$ .

$f (10) = 610$

Schritt 11.2.3

Die endgültige Lösung ist $610$ .

$y = 610$

Schritt 12

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = 2 x^{2} + \frac{4000}{x} + 10$ .

$(10, 610)$ ist ein lokales Minimum

Schritt 13