Analysis Beispiele

$f (x) = x^{2} {(2 - 5 x)}^{3}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = {(2 - 5 x)}^{3}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(2 - 5 x)}^{3}] + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = 2 - 5 x$ .

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Schritt 1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 - 5 x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [2 - 5 x]) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$x^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [2 - 5 x]) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 - 5 x$ .

$x^{2} (3 {(2 - 5 x)}^{2} \frac{d}{d x} [2 - 5 x]) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.3

Differenziere.

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Schritt 1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 - 5 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$x^{2} (3 {(2 - 5 x)}^{2} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 5 x])) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.3.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x^{2} (3 {(2 - 5 x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- 5 x])) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$x^{2} (3 {(2 - 5 x)}^{2} \frac{d}{d x} [- 5 x]) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.3.4

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (3 {(2 - 5 x)}^{2} (- 5 \frac{d}{d x} [x])) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.3.5

Mutltipliziere $- 5$ mit $3$ .

$x^{2} (- 15 {(2 - 5 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x^{2} (- 15 {(2 - 5 x)}^{2} \cdot 1) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.3.7

Mutltipliziere $- 15$ mit $1$ .

$x^{2} (- 15 {(2 - 5 x)}^{2}) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{2} (- 15 {(2 - 5 x)}^{2}) + {(2 - 5 x)}^{3} (2 x)$

Schritt 1.3.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(2 - 5 x)}^{3}$ .

$x^{2} (- 15 {(2 - 5 x)}^{2}) + 2 \cdot {(2 - 5 x)}^{3} x$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Faktorisiere $x {(2 - 5 x)}^{2}$ aus $x^{2} (- 15 {(2 - 5 x)}^{2}) + 2 {(2 - 5 x)}^{3} x$ heraus.

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Schritt 1.4.1.1

Faktorisiere $x {(2 - 5 x)}^{2}$ aus $x^{2} (- 15 {(2 - 5 x)}^{2})$ heraus.

$x {(2 - 5 x)}^{2} (x \cdot (- 15)) + 2 {(2 - 5 x)}^{3} x$

Schritt 1.4.1.2

Faktorisiere $x {(2 - 5 x)}^{2}$ aus $2 {(2 - 5 x)}^{3} x$ heraus.

$x {(2 - 5 x)}^{2} (x \cdot (- 15)) + x {(2 - 5 x)}^{2} (2 (2 - 5 x))$

Schritt 1.4.1.3

Faktorisiere $x {(2 - 5 x)}^{2}$ aus $x {(2 - 5 x)}^{2} (x \cdot (- 15)) + x {(2 - 5 x)}^{2} (2 (2 - 5 x))$ heraus.

$x {(2 - 5 x)}^{2} (x \cdot (- 15) + 2 (2 - 5 x))$

Schritt 1.4.2

Bringe $- 15$ auf die linke Seite von $x$ .

$x {(2 - 5 x)}^{2} (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Schritt 1.4.3

Schreibe ${(2 - 5 x)}^{2}$ als $(2 - 5 x) (2 - 5 x)$ um.

$x ((2 - 5 x) (2 - 5 x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Schritt 1.4.4

Multipliziere $(2 - 5 x) (2 - 5 x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.4.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (2 (2 - 5 x) - 5 x (2 - 5 x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Schritt 1.4.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x (2 \cdot 2 + 2 (- 5 x) - 5 x (2 - 5 x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Schritt 1.4.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x (2 \cdot 2 + 2 (- 5 x) - 5 x \cdot 2 - 5 x (- 5 x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Schritt 1.4.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.4.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.5.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x (4 + 2 (- 5 x) - 5 x \cdot 2 - 5 x (- 5 x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Schritt 1.4.5.1.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $2$ .

$x (4 - 10 x - 5 x \cdot 2 - 5 x (- 5 x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Schritt 1.4.5.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 5$ .

$x (4 - 10 x - 10 x - 5 x (- 5 x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Schritt 1.4.5.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x (4 - 10 x - 10 x - 5 \cdot - 5 x \cdot x) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Schritt 1.4.5.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.4.5.1.5.1

Bewege $x$ .

$x (4 - 10 x - 10 x - 5 \cdot - 5 (x \cdot x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Schritt 1.4.5.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x (4 - 10 x - 10 x - 5 \cdot - 5 x^{2}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Schritt 1.4.5.1.6

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 5$ .

$x (4 - 10 x - 10 x + 25 x^{2}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Schritt 1.4.5.2

Subtrahiere $10 x$ von $- 10 x$ .

$x (4 - 20 x + 25 x^{2}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Schritt 1.4.6

Wende das Distributivgesetz an.

$(x \cdot 4 + x (- 20 x) + x (25 x^{2})) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Schritt 1.4.7

Vereinfache.

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Schritt 1.4.7.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$(4 \cdot x + x (- 20 x) + x (25 x^{2})) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Schritt 1.4.7.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(4 \cdot x - 20 x \cdot x + x (25 x^{2})) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Schritt 1.4.7.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(4 \cdot x - 20 x \cdot x + 25 x \cdot x^{2}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Schritt 1.4.8

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.8.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.4.8.1.1

Bewege $x$ .

$(4 x - 20 (x \cdot x) + 25 x \cdot x^{2}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Schritt 1.4.8.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$(4 x - 20 x^{2} + 25 x \cdot x^{2}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Schritt 1.4.8.2

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.4.8.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$(4 x - 20 x^{2} + 25 (x^{2} x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Schritt 1.4.8.2.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 1.4.8.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$(4 x - 20 x^{2} + 25 (x^{2} x^{1})) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Schritt 1.4.8.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(4 x - 20 x^{2} + 25 x^{2 + 1}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Schritt 1.4.8.2.3

Addiere $2$ und $1$ .

$(4 x - 20 x^{2} + 25 x^{3}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Schritt 1.4.9

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(4 x - 20 x^{2} + 25 x^{3}) (- 15 x + 2 \cdot 2 + 2 (- 5 x))$

Schritt 1.4.9.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$(4 x - 20 x^{2} + 25 x^{3}) (- 15 x + 4 + 2 (- 5 x))$

Schritt 1.4.9.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $2$ .

$(4 x - 20 x^{2} + 25 x^{3}) (- 15 x + 4 - 10 x)$

Schritt 1.4.10

Subtrahiere $10 x$ von $- 15 x$ .

$(4 x - 20 x^{2} + 25 x^{3}) (- 25 x + 4)$

Schritt 1.4.11

Multipliziere $(4 x - 20 x^{2} + 25 x^{3}) (- 25 x + 4)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$4 x (- 25 x) + 4 x \cdot 4 - 20 x^{2} (- 25 x) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Schritt 1.4.12

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.12.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$4 \cdot - 25 x \cdot x + 4 x \cdot 4 - 20 x^{2} (- 25 x) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Schritt 1.4.12.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.4.12.2.1

Bewege $x$ .

$4 \cdot - 25 (x \cdot x) + 4 x \cdot 4 - 20 x^{2} (- 25 x) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Schritt 1.4.12.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$4 \cdot - 25 x^{2} + 4 x \cdot 4 - 20 x^{2} (- 25 x) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Schritt 1.4.12.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 25$ .

$- 100 x^{2} + 4 x \cdot 4 - 20 x^{2} (- 25 x) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Schritt 1.4.12.4

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$- 100 x^{2} + 16 x - 20 x^{2} (- 25 x) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Schritt 1.4.12.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 100 x^{2} + 16 x - 20 \cdot - 25 x^{2} x - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Schritt 1.4.12.6

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.4.12.6.1

Bewege $x$ .

$- 100 x^{2} + 16 x - 20 \cdot - 25 (x \cdot x^{2}) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Schritt 1.4.12.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 1.4.12.6.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 100 x^{2} + 16 x - 20 \cdot - 25 (x^{1} x^{2}) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Schritt 1.4.12.6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 100 x^{2} + 16 x - 20 \cdot - 25 x^{1 + 2} - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Schritt 1.4.12.6.3

Addiere $1$ und $2$ .

$- 100 x^{2} + 16 x - 20 \cdot - 25 x^{3} - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Schritt 1.4.12.7

Mutltipliziere $- 20$ mit $- 25$ .

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Schritt 1.4.12.8

Mutltipliziere $4$ mit $- 20$ .

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Schritt 1.4.12.9

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} + 25 \cdot - 25 x^{3} x + 25 x^{3} \cdot 4$

Schritt 1.4.12.10

Multipliziere $x^{3}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.4.12.10.1

Bewege $x$ .

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} + 25 \cdot - 25 (x \cdot x^{3}) + 25 x^{3} \cdot 4$

Schritt 1.4.12.10.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{3}$ .

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Schritt 1.4.12.10.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} + 25 \cdot - 25 (x^{1} x^{3}) + 25 x^{3} \cdot 4$

Schritt 1.4.12.10.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} + 25 \cdot - 25 x^{1 + 3} + 25 x^{3} \cdot 4$

Schritt 1.4.12.10.3

Addiere $1$ und $3$ .

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} + 25 \cdot - 25 x^{4} + 25 x^{3} \cdot 4$

Schritt 1.4.12.11

Mutltipliziere $25$ mit $- 25$ .

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} - 625 x^{4} + 25 x^{3} \cdot 4$

Schritt 1.4.12.12

Mutltipliziere $4$ mit $25$ .

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} - 625 x^{4} + 100 x^{3}$

Schritt 1.4.13

Subtrahiere $80 x^{2}$ von $- 100 x^{2}$ .

$- 180 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 625 x^{4} + 100 x^{3}$

Schritt 1.4.14

Addiere $500 x^{3}$ und $100 x^{3}$ .

$- 180 x^{2} + 16 x - 625 x^{4} + 600 x^{3}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 180 x^{2} + 16 x - 625 x^{4} + 600 x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 180 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 625 x^{4}] + \frac{d}{d x} [600 x^{3}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 180 x^{2}) + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 625 x^{4}) + \frac{d}{d x} (600 x^{3})$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 180 x^{2}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 180$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 180 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 180 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 180 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 625 x^{4}) + \frac{d}{d x} (600 x^{3})$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = - 180 (2 x) + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 625 x^{4}) + \frac{d}{d x} (600 x^{3})$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 180$ .

$f'' (x) = - 360 x + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 625 x^{4}) + \frac{d}{d x} (600 x^{3})$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [16 x]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $16 x$ nach $x$ gleich $16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 360 x + 16 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 625 x^{4}) + \frac{d}{d x} (600 x^{3})$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - 360 x + 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 625 x^{4}) + \frac{d}{d x} (600 x^{3})$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $16$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 360 x + 16 + \frac{d}{d x} (- 625 x^{4}) + \frac{d}{d x} (600 x^{3})$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 625 x^{4}]$ .

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Schritt 2.4.1

Da $- 625$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 625 x^{4}$ nach $x$ gleich $- 625 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = - 360 x + 16 - 625 \frac{d}{d x} x^{4} + \frac{d}{d x} (600 x^{3})$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f'' (x) = - 360 x + 16 - 625 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (600 x^{3})$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 625$ .

$f'' (x) = - 360 x + 16 - 2500 x^{3} + \frac{d}{d x} (600 x^{3})$

Schritt 2.5

Berechne $\frac{d}{d x} [600 x^{3}]$ .

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Schritt 2.5.1

Da $600$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $600 x^{3}$ nach $x$ gleich $600 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - 360 x + 16 - 2500 x^{3} + 600 \frac{d}{d x} (x^{3})$

Schritt 2.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f'' (x) = - 360 x + 16 - 2500 x^{3} + 600 (3 x^{2})$

Schritt 2.5.3

Mutltipliziere $3$ mit $600$ .

$f'' (x) = - 360 x + 16 - 2500 x^{3} + 1800 x^{2}$

Schritt 2.6

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = - 2500 x^{3} + 1800 x^{2} - 360 x + 16$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- 180 x^{2} + 16 x - 625 x^{4} + 600 x^{3} = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(2 - 5 x)}^{3}] + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = 2 - 5 x$ .

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Schritt 4.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 - 5 x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [2 - 5 x]) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$x^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [2 - 5 x]) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 - 5 x$ .

$x^{2} (3 {(2 - 5 x)}^{2} \frac{d}{d x} [2 - 5 x]) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4.1.3

Differenziere.

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Schritt 4.1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 - 5 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$x^{2} (3 {(2 - 5 x)}^{2} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 5 x])) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4.1.3.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x^{2} (3 {(2 - 5 x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- 5 x])) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4.1.3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$x^{2} (3 {(2 - 5 x)}^{2} \frac{d}{d x} [- 5 x]) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4.1.3.4

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (3 {(2 - 5 x)}^{2} (- 5 \frac{d}{d x} [x])) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4.1.3.5

Mutltipliziere $- 5$ mit $3$ .

$x^{2} (- 15 {(2 - 5 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4.1.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x^{2} (- 15 {(2 - 5 x)}^{2} \cdot 1) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4.1.3.7

Mutltipliziere $- 15$ mit $1$ .

$x^{2} (- 15 {(2 - 5 x)}^{2}) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4.1.3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{2} (- 15 {(2 - 5 x)}^{2}) + {(2 - 5 x)}^{3} (2 x)$

Schritt 4.1.3.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(2 - 5 x)}^{3}$ .

$x^{2} (- 15 {(2 - 5 x)}^{2}) + 2 \cdot {(2 - 5 x)}^{3} x$

Schritt 4.1.4

Vereinfache.

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Schritt 4.1.4.1

Faktorisiere $x {(2 - 5 x)}^{2}$ aus $x^{2} (- 15 {(2 - 5 x)}^{2}) + 2 {(2 - 5 x)}^{3} x$ heraus.

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Schritt 4.1.4.1.1

Faktorisiere $x {(2 - 5 x)}^{2}$ aus $x^{2} (- 15 {(2 - 5 x)}^{2})$ heraus.

$x {(2 - 5 x)}^{2} (x \cdot (- 15)) + 2 {(2 - 5 x)}^{3} x$

Schritt 4.1.4.1.2

Faktorisiere $x {(2 - 5 x)}^{2}$ aus $2 {(2 - 5 x)}^{3} x$ heraus.

$x {(2 - 5 x)}^{2} (x \cdot (- 15)) + x {(2 - 5 x)}^{2} (2 (2 - 5 x))$

Schritt 4.1.4.1.3

Faktorisiere $x {(2 - 5 x)}^{2}$ aus $x {(2 - 5 x)}^{2} (x \cdot (- 15)) + x {(2 - 5 x)}^{2} (2 (2 - 5 x))$ heraus.

$x {(2 - 5 x)}^{2} (x \cdot (- 15) + 2 (2 - 5 x))$

Schritt 4.1.4.2

Bringe $- 15$ auf die linke Seite von $x$ .

$x {(2 - 5 x)}^{2} (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Schritt 4.1.4.3

Schreibe ${(2 - 5 x)}^{2}$ als $(2 - 5 x) (2 - 5 x)$ um.

$x ((2 - 5 x) (2 - 5 x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Schritt 4.1.4.4

Multipliziere $(2 - 5 x) (2 - 5 x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.1.4.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (2 (2 - 5 x) - 5 x (2 - 5 x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Schritt 4.1.4.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x (2 \cdot 2 + 2 (- 5 x) - 5 x (2 - 5 x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Schritt 4.1.4.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x (2 \cdot 2 + 2 (- 5 x) - 5 x \cdot 2 - 5 x (- 5 x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Schritt 4.1.4.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.1.4.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.4.5.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x (4 + 2 (- 5 x) - 5 x \cdot 2 - 5 x (- 5 x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Schritt 4.1.4.5.1.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $2$ .

$x (4 - 10 x - 5 x \cdot 2 - 5 x (- 5 x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Schritt 4.1.4.5.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 5$ .

$x (4 - 10 x - 10 x - 5 x (- 5 x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Schritt 4.1.4.5.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x (4 - 10 x - 10 x - 5 \cdot - 5 x \cdot x) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Schritt 4.1.4.5.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.4.5.1.5.1

Bewege $x$ .

$x (4 - 10 x - 10 x - 5 \cdot - 5 (x \cdot x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Schritt 4.1.4.5.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x (4 - 10 x - 10 x - 5 \cdot - 5 x^{2}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Schritt 4.1.4.5.1.6

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 5$ .

$x (4 - 10 x - 10 x + 25 x^{2}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Schritt 4.1.4.5.2

Subtrahiere $10 x$ von $- 10 x$ .

$x (4 - 20 x + 25 x^{2}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Schritt 4.1.4.6

Wende das Distributivgesetz an.

$(x \cdot 4 + x (- 20 x) + x (25 x^{2})) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Schritt 4.1.4.7

Vereinfache.

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Schritt 4.1.4.7.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$(4 \cdot x + x (- 20 x) + x (25 x^{2})) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Schritt 4.1.4.7.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(4 \cdot x - 20 x \cdot x + x (25 x^{2})) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Schritt 4.1.4.7.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(4 \cdot x - 20 x \cdot x + 25 x \cdot x^{2}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Schritt 4.1.4.8

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.4.8.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.4.8.1.1

Bewege $x$ .

$(4 x - 20 (x \cdot x) + 25 x \cdot x^{2}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Schritt 4.1.4.8.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$(4 x - 20 x^{2} + 25 x \cdot x^{2}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Schritt 4.1.4.8.2

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.4.8.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$(4 x - 20 x^{2} + 25 (x^{2} x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Schritt 4.1.4.8.2.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 4.1.4.8.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$(4 x - 20 x^{2} + 25 (x^{2} x^{1})) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Schritt 4.1.4.8.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(4 x - 20 x^{2} + 25 x^{2 + 1}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Schritt 4.1.4.8.2.3

Addiere $2$ und $1$ .

$(4 x - 20 x^{2} + 25 x^{3}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Schritt 4.1.4.9

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.4.9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(4 x - 20 x^{2} + 25 x^{3}) (- 15 x + 2 \cdot 2 + 2 (- 5 x))$

Schritt 4.1.4.9.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$(4 x - 20 x^{2} + 25 x^{3}) (- 15 x + 4 + 2 (- 5 x))$

Schritt 4.1.4.9.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $2$ .

$(4 x - 20 x^{2} + 25 x^{3}) (- 15 x + 4 - 10 x)$

Schritt 4.1.4.10

Subtrahiere $10 x$ von $- 15 x$ .

$(4 x - 20 x^{2} + 25 x^{3}) (- 25 x + 4)$

Schritt 4.1.4.11

Multipliziere $(4 x - 20 x^{2} + 25 x^{3}) (- 25 x + 4)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$4 x (- 25 x) + 4 x \cdot 4 - 20 x^{2} (- 25 x) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Schritt 4.1.4.12

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.4.12.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$4 \cdot - 25 x \cdot x + 4 x \cdot 4 - 20 x^{2} (- 25 x) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Schritt 4.1.4.12.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.4.12.2.1

Bewege $x$ .

$4 \cdot - 25 (x \cdot x) + 4 x \cdot 4 - 20 x^{2} (- 25 x) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Schritt 4.1.4.12.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$4 \cdot - 25 x^{2} + 4 x \cdot 4 - 20 x^{2} (- 25 x) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Schritt 4.1.4.12.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 25$ .

$- 100 x^{2} + 4 x \cdot 4 - 20 x^{2} (- 25 x) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Schritt 4.1.4.12.4

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$- 100 x^{2} + 16 x - 20 x^{2} (- 25 x) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Schritt 4.1.4.12.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 100 x^{2} + 16 x - 20 \cdot - 25 x^{2} x - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Schritt 4.1.4.12.6

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.4.12.6.1

Bewege $x$ .

$- 100 x^{2} + 16 x - 20 \cdot - 25 (x \cdot x^{2}) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Schritt 4.1.4.12.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 4.1.4.12.6.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 100 x^{2} + 16 x - 20 \cdot - 25 (x^{1} x^{2}) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Schritt 4.1.4.12.6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 100 x^{2} + 16 x - 20 \cdot - 25 x^{1 + 2} - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Schritt 4.1.4.12.6.3

Addiere $1$ und $2$ .

$- 100 x^{2} + 16 x - 20 \cdot - 25 x^{3} - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Schritt 4.1.4.12.7

Mutltipliziere $- 20$ mit $- 25$ .

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Schritt 4.1.4.12.8

Mutltipliziere $4$ mit $- 20$ .

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Schritt 4.1.4.12.9

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} + 25 \cdot - 25 x^{3} x + 25 x^{3} \cdot 4$

Schritt 4.1.4.12.10

Multipliziere $x^{3}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.4.12.10.1

Bewege $x$ .

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} + 25 \cdot - 25 (x \cdot x^{3}) + 25 x^{3} \cdot 4$

Schritt 4.1.4.12.10.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{3}$ .

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Schritt 4.1.4.12.10.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} + 25 \cdot - 25 (x^{1} x^{3}) + 25 x^{3} \cdot 4$

Schritt 4.1.4.12.10.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} + 25 \cdot - 25 x^{1 + 3} + 25 x^{3} \cdot 4$

Schritt 4.1.4.12.10.3

Addiere $1$ und $3$ .

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} + 25 \cdot - 25 x^{4} + 25 x^{3} \cdot 4$

Schritt 4.1.4.12.11

Mutltipliziere $25$ mit $- 25$ .

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} - 625 x^{4} + 25 x^{3} \cdot 4$

Schritt 4.1.4.12.12

Mutltipliziere $4$ mit $25$ .

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} - 625 x^{4} + 100 x^{3}$

Schritt 4.1.4.13

Subtrahiere $80 x^{2}$ von $- 100 x^{2}$ .

$- 180 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 625 x^{4} + 100 x^{3}$

Schritt 4.1.4.14

Addiere $500 x^{3}$ und $100 x^{3}$ .

$f' (x) = - 180 x^{2} + 16 x - 625 x^{4} + 600 x^{3}$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 180 x^{2} + 16 x - 625 x^{4} + 600 x^{3}$ .

$- 180 x^{2} + 16 x - 625 x^{4} + 600 x^{3}$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 180 x^{2} + 16 x - 625 x^{4} + 600 x^{3} = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- 180 x^{2} + 16 x - 625 x^{4} + 600 x^{3} = 0$

Schritt 5.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $x$ aus $- 180 x^{2} + 16 x - 625 x^{4} + 600 x^{3}$ heraus.

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Schritt 5.2.1.1

Faktorisiere $x$ aus $- 180 x^{2}$ heraus.

$x (- 180 x) + 16 x - 625 x^{4} + 600 x^{3} = 0$

Schritt 5.2.1.2

Faktorisiere $x$ aus $16 x$ heraus.

$x (- 180 x) + x \cdot 16 - 625 x^{4} + 600 x^{3} = 0$

Schritt 5.2.1.3

Faktorisiere $x$ aus $- 625 x^{4}$ heraus.

$x (- 180 x) + x \cdot 16 + x (- 625 x^{3}) + 600 x^{3} = 0$

Schritt 5.2.1.4

Faktorisiere $x$ aus $600 x^{3}$ heraus.

$x (- 180 x) + x \cdot 16 + x (- 625 x^{3}) + x (600 x^{2}) = 0$

Schritt 5.2.1.5

Faktorisiere $x$ aus $x (- 180 x) + x \cdot 16$ heraus.

$x (- 180 x + 16) + x (- 625 x^{3}) + x (600 x^{2}) = 0$

Schritt 5.2.1.6

Faktorisiere $x$ aus $x (- 180 x + 16) + x (- 625 x^{3})$ heraus.

$x (- 180 x + 16 - 625 x^{3}) + x (600 x^{2}) = 0$

Schritt 5.2.1.7

Faktorisiere $x$ aus $x (- 180 x + 16 - 625 x^{3}) + x (600 x^{2})$ heraus.

$x (- 180 x + 16 - 625 x^{3} + 600 x^{2}) = 0$

Schritt 5.2.2

Stelle die Terme um.

$x (- 625 x^{3} + 600 x^{2} - 180 x + 16) = 0$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere.

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Schritt 5.2.3.1

Faktorisiere $- 625 x^{3} + 600 x^{2} - 180 x + 16$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 5.2.3.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 625, \pm 5, \pm 125, \pm 25$

Schritt 5.2.3.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.0016, \pm 0.2, \pm 0.008, \pm 0.04, \pm 16, \pm 0.0256, \pm 3.2, \pm 0.128, \pm 0.64, \pm 2, \pm 0.0032, \pm 0.4, \pm 0.016, \pm 0.08, \pm 8, \pm 0.0128, \pm 1.6, \pm 0.064, \pm 0.32, \pm 4, \pm 0.0064, \pm 0.8, \pm 0.032, \pm 0.16$

Schritt 5.2.3.1.3

Setze $0.4$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $0.4$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 5.2.3.1.3.1

Setze $0.4$ in das Polynom ein.

$- 625 \cdot {0.4}^{3} + 600 \cdot {0.4}^{2} - 180 \cdot 0.4 + 16$

Schritt 5.2.3.1.3.2

Potenziere $0.4$ mit $3$ .

$- 625 \cdot 0.064 + 600 \cdot {0.4}^{2} - 180 \cdot 0.4 + 16$

Schritt 5.2.3.1.3.3

Mutltipliziere $- 625$ mit $0.064$ .

$- 40 + 600 \cdot {0.4}^{2} - 180 \cdot 0.4 + 16$

Schritt 5.2.3.1.3.4

Potenziere $0.4$ mit $2$ .

$- 40 + 600 \cdot 0.16 - 180 \cdot 0.4 + 16$

Schritt 5.2.3.1.3.5

Mutltipliziere $600$ mit $0.16$ .

$- 40 + 96 - 180 \cdot 0.4 + 16$

Schritt 5.2.3.1.3.6

Addiere $- 40$ und $96$ .

$56 - 180 \cdot 0.4 + 16$

Schritt 5.2.3.1.3.7

Mutltipliziere $- 180$ mit $0.4$ .

$56 - 72 + 16$

Schritt 5.2.3.1.3.8

Subtrahiere $72$ von $56$ .

$- 16 + 16$

Schritt 5.2.3.1.3.9

Addiere $- 16$ und $16$ .

$0$

Schritt 5.2.3.1.4

Da $0.4$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $5 x - 2$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{- 625 x^{3} + 600 x^{2} - 180 x + 16}{5 x - 2}$

Schritt 5.2.3.1.5

Dividiere $- 625 x^{3} + 600 x^{2} - 180 x + 16$ durch $5 x - 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$5 x$

$2$

$625 x^{3}$

$600 x^{2}$

$180 x$

$16$

Schritt 5.2.3.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 625 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $5 x$ .

				-	$125 x^{2}$
	$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$600 x^{2}$	-	$180 x$	+	$16$

Schritt 5.2.3.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$125 x^{2}$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$600 x^{2}$	-	$180 x$	+	$16$
			-	$625 x^{3}$	+	$250 x^{2}$

Schritt 5.2.3.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 625 x^{3} + 250 x^{2}$

			-	$125 x^{2}$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$600 x^{2}$	-	$180 x$	+	$16$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$

Schritt 5.2.3.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$125 x^{2}$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$600 x^{2}$	-	$180 x$	+	$16$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$350 x^{2}$

Schritt 5.2.3.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

			-	$125 x^{2}$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$600 x^{2}$	-	$180 x$	+	$16$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$350 x^{2}$	-	$180 x$

Schritt 5.2.3.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $350 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $5 x$ .

			-	$125 x^{2}$	+	$70 x$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$600 x^{2}$	-	$180 x$	+	$16$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$350 x^{2}$	-	$180 x$

Schritt 5.2.3.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$125 x^{2}$	+	$70 x$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$600 x^{2}$	-	$180 x$	+	$16$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$350 x^{2}$	-	$180 x$
					+	$350 x^{2}$	-	$140 x$

Schritt 5.2.3.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $350 x^{2} - 140 x$

			-	$125 x^{2}$	+	$70 x$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$600 x^{2}$	-	$180 x$	+	$16$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$350 x^{2}$	-	$180 x$
					-	$350 x^{2}$	+	$140 x$

Schritt 5.2.3.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$125 x^{2}$	+	$70 x$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$600 x^{2}$	-	$180 x$	+	$16$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$350 x^{2}$	-	$180 x$
					-	$350 x^{2}$	+	$140 x$
							-	$40 x$

Schritt 5.2.3.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

			-	$125 x^{2}$	+	$70 x$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$600 x^{2}$	-	$180 x$	+	$16$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$350 x^{2}$	-	$180 x$
					-	$350 x^{2}$	+	$140 x$
							-	$40 x$	+	$16$

Schritt 5.2.3.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 40 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $5 x$ .

			-	$125 x^{2}$	+	$70 x$	-	$8$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$600 x^{2}$	-	$180 x$	+	$16$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$350 x^{2}$	-	$180 x$
					-	$350 x^{2}$	+	$140 x$
							-	$40 x$	+	$16$

Schritt 5.2.3.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$125 x^{2}$	+	$70 x$	-	$8$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$600 x^{2}$	-	$180 x$	+	$16$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$350 x^{2}$	-	$180 x$
					-	$350 x^{2}$	+	$140 x$
							-	$40 x$	+	$16$
							-	$40 x$	+	$16$

Schritt 5.2.3.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 40 x + 16$

			-	$125 x^{2}$	+	$70 x$	-	$8$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$600 x^{2}$	-	$180 x$	+	$16$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$350 x^{2}$	-	$180 x$
					-	$350 x^{2}$	+	$140 x$
							-	$40 x$	+	$16$
							+	$40 x$	-	$16$

Schritt 5.2.3.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$125 x^{2}$	+	$70 x$	-	$8$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$600 x^{2}$	-	$180 x$	+	$16$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$350 x^{2}$	-	$180 x$
					-	$350 x^{2}$	+	$140 x$
							-	$40 x$	+	$16$
							+	$40 x$	-	$16$
										$0$

Schritt 5.2.3.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$- 125 x^{2} + 70 x - 8$

Schritt 5.2.3.1.6

Schreibe $- 625 x^{3} + 600 x^{2} - 180 x + 16$ als eine Menge von Faktoren.

$x ((5 x - 2) (- 125 x^{2} + 70 x - 8)) = 0$

Schritt 5.2.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$x (5 x - 2) (- 125 x^{2} + 70 x - 8) = 0$

Schritt 5.2.4

Faktorisiere.

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Schritt 5.2.4.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 5.2.4.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 125 \cdot - 8 = 1000$ und deren Summe gleich $b = 70$ ist.

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Schritt 5.2.4.1.1.1

Faktorisiere $70$ aus $70 x$ heraus.

$x (5 x - 2) (- 125 x^{2} + 70 (x) - 8) = 0$

Schritt 5.2.4.1.1.2

Schreibe $70$ um als $20$ plus $50$

$x (5 x - 2) (- 125 x^{2} + (20 + 50) x - 8) = 0$

Schritt 5.2.4.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x (5 x - 2) (- 125 x^{2} + 20 x + 50 x - 8) = 0$

Schritt 5.2.4.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 5.2.4.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$x (5 x - 2) ((- 125 x^{2} + 20 x) + 50 x - 8) = 0$

Schritt 5.2.4.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x (5 x - 2) (5 x (- 25 x + 4) - 2 (- 25 x + 4)) = 0$

Schritt 5.2.4.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- 25 x + 4$ .

$x (5 x - 2) ((- 25 x + 4) (5 x - 2)) = 0$

Schritt 5.2.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$x (5 x - 2) (- 25 x + 4) (5 x - 2) = 0$

Schritt 5.2.5

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 5.2.5.1

Potenziere $5 x - 2$ mit $1$ .

$x ((5 x - 2) (5 x - 2)) (- 25 x + 4) = 0$

Schritt 5.2.5.2

Potenziere $5 x - 2$ mit $1$ .

$x ((5 x - 2) (5 x - 2)) (- 25 x + 4) = 0$

Schritt 5.2.5.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x {(5 x - 2)}^{1 + 1} (- 25 x + 4) = 0$

Schritt 5.2.5.4

Addiere $1$ und $1$ .

$x {(5 x - 2)}^{2} (- 25 x + 4) = 0$

Schritt 5.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

${(5 x - 2)}^{2} = 0$

$- 25 x + 4 = 0$

Schritt 5.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 5.5

Setze ${(5 x - 2)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.5.1

Setze ${(5 x - 2)}^{2}$ gleich $0$ .

${(5 x - 2)}^{2} = 0$

Schritt 5.5.2

Löse ${(5 x - 2)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.5.2.1

Setze $5 x - 2$ gleich $0$ .

$5 x - 2 = 0$

Schritt 5.5.2.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.5.2.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 x = 2$

Schritt 5.5.2.2.2

Teile jeden Ausdruck in $5 x = 2$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.2.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x = 2$ durch $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{2}{5}$

Schritt 5.5.2.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.5.2.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x}{5} = \frac{2}{5}$

Schritt 5.5.2.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{2}{5}$

Schritt 5.6

Setze $- 25 x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.6.1

Setze $- 25 x + 4$ gleich $0$ .

$- 25 x + 4 = 0$

Schritt 5.6.2

Löse $- 25 x + 4 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.6.2.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 25 x = - 4$

Schritt 5.6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- 25 x = - 4$ durch $- 25$ und vereinfache.

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Schritt 5.6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 25 x = - 4$ durch $- 25$ .

$\frac{- 25 x}{- 25} = \frac{- 4}{- 25}$

Schritt 5.6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.6.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 25$ .

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Schritt 5.6.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 25 x}{- 25} = \frac{- 4}{- 25}$

Schritt 5.6.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 25}$

Schritt 5.6.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.6.2.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{4}{25}$

Schritt 5.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x {(5 x - 2)}^{2} (- 25 x + 4) = 0$ wahr machen.

$x = 0, \frac{2}{5}, \frac{4}{25}$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 0, \frac{2}{5}, \frac{4}{25}$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- 2500 {(0)}^{3} + 1800 {(0)}^{2} - 360 \cdot 0 + 16$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- 2500 \cdot 0 + 1800 {(0)}^{2} - 360 \cdot 0 + 16$

Schritt 9.1.2

Mutltipliziere $- 2500$ mit $0$ .

$0 + 1800 {(0)}^{2} - 360 \cdot 0 + 16$

Schritt 9.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 + 1800 \cdot 0 - 360 \cdot 0 + 16$

Schritt 9.1.4

Mutltipliziere $1800$ mit $0$ .

$0 + 0 - 360 \cdot 0 + 16$

Schritt 9.1.5

Mutltipliziere $- 360$ mit $0$ .

$0 + 0 + 0 + 16$

Schritt 9.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 9.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$0 + 0 + 16$

Schritt 9.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$0 + 16$

Schritt 9.2.3

Addiere $0$ und $16$ .

$16$

Schritt 10

$x = 0$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 0$ ist ein lokales Minimum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 0$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = {(0)}^{2} {(2 - 5 \cdot 0)}^{3}$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 0 {(2 - 5 \cdot 0)}^{3}$

Schritt 11.2.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $0$ .

$f (0) = 0 {(2 + 0)}^{3}$

Schritt 11.2.3

Addiere $2$ und $0$ .

$f (0) = 0 \cdot 2^{3}$

Schritt 11.2.4

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f (0) = 0 \cdot 8$

Schritt 11.2.5

Mutltipliziere $0$ mit $8$ .

$f (0) = 0$

Schritt 11.2.6

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$y = 0$

Schritt 12

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{2}{5}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- 2500 {(\frac{2}{5})}^{3} + 1800 {(\frac{2}{5})}^{2} - 360 (\frac{2}{5}) + 16$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 13.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{2}{5}$ an.

$- 2500 \frac{2^{3}}{5^{3}} + 1800 {(\frac{2}{5})}^{2} - 360 (\frac{2}{5}) + 16$

Schritt 13.1.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$- 2500 \frac{8}{5^{3}} + 1800 {(\frac{2}{5})}^{2} - 360 (\frac{2}{5}) + 16$

Schritt 13.1.3

Potenziere $5$ mit $3$ .

$- 2500 (\frac{8}{125}) + 1800 {(\frac{2}{5})}^{2} - 360 (\frac{2}{5}) + 16$

Schritt 13.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $125$ .

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Schritt 13.1.4.1

Faktorisiere $125$ aus $- 2500$ heraus.

$125 (- 20) \frac{8}{125} + 1800 {(\frac{2}{5})}^{2} - 360 (\frac{2}{5}) + 16$

Schritt 13.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$125 \cdot - 20 \frac{8}{125} + 1800 {(\frac{2}{5})}^{2} - 360 (\frac{2}{5}) + 16$

Schritt 13.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$- 20 \cdot 8 + 1800 {(\frac{2}{5})}^{2} - 360 (\frac{2}{5}) + 16$

Schritt 13.1.5

Mutltipliziere $- 20$ mit $8$ .

$- 160 + 1800 {(\frac{2}{5})}^{2} - 360 (\frac{2}{5}) + 16$

Schritt 13.1.6

Wende die Produktregel auf $\frac{2}{5}$ an.

$- 160 + 1800 \frac{2^{2}}{5^{2}} - 360 (\frac{2}{5}) + 16$

Schritt 13.1.7

Potenziere $2$ mit $2$ .

$- 160 + 1800 \frac{4}{5^{2}} - 360 (\frac{2}{5}) + 16$

Schritt 13.1.8

Potenziere $5$ mit $2$ .

$- 160 + 1800 (\frac{4}{25}) - 360 (\frac{2}{5}) + 16$

Schritt 13.1.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $25$ .

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Schritt 13.1.9.1

Faktorisiere $25$ aus $1800$ heraus.

$- 160 + 25 (72) \frac{4}{25} - 360 (\frac{2}{5}) + 16$

Schritt 13.1.9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 160 + 25 \cdot 72 \frac{4}{25} - 360 (\frac{2}{5}) + 16$

Schritt 13.1.9.3

Forme den Ausdruck um.

$- 160 + 72 \cdot 4 - 360 (\frac{2}{5}) + 16$

Schritt 13.1.10

Mutltipliziere $72$ mit $4$ .

$- 160 + 288 - 360 (\frac{2}{5}) + 16$

Schritt 13.1.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 13.1.11.1

Faktorisiere $5$ aus $- 360$ heraus.

$- 160 + 288 + 5 (- 72) \frac{2}{5} + 16$

Schritt 13.1.11.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 160 + 288 + 5 \cdot - 72 \frac{2}{5} + 16$

Schritt 13.1.11.3

Forme den Ausdruck um.

$- 160 + 288 - 72 \cdot 2 + 16$

Schritt 13.1.12

Mutltipliziere $- 72$ mit $2$ .

$- 160 + 288 - 144 + 16$

Schritt 13.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 13.2.1

Addiere $- 160$ und $288$ .

$128 - 144 + 16$

Schritt 13.2.2

Subtrahiere $144$ von $128$ .

$- 16 + 16$

Schritt 13.2.3

Addiere $- 16$ und $16$ .

$0$

Schritt 14

Da es mindestens einen Punkt mit $0$ oder eine nicht definierte zweite Ableitung gibt, wende den ersten Ableitungstest an.

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Schritt 14.1

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum auf, die die erste Ableitung zu $0$ oder nicht definiert machen.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{4}{25}) \cup (\frac{4}{25}, \frac{2}{5}) \cup (\frac{2}{5}, \infty)$

Schritt 14.2

Setze eine beliebige Zahl, wie $- 2$ , aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die erste Ableitung $- 180 x^{2} + 16 x - 625 x^{4} + 600 x^{3}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 14.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f' (- 2) = - 180 {(- 2)}^{2} + 16 (- 2) - 625 {(- 2)}^{4} + 600 {(- 2)}^{3}$

Schritt 14.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.2.2.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$f' (- 2) = - 180 \cdot 4 + 16 (- 2) - 625 {(- 2)}^{4} + 600 {(- 2)}^{3}$

Schritt 14.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 180$ mit $4$ .

$f' (- 2) = - 720 + 16 (- 2) - 625 {(- 2)}^{4} + 600 {(- 2)}^{3}$

Schritt 14.2.2.1.3

Mutltipliziere $16$ mit $- 2$ .

$f' (- 2) = - 720 - 32 - 625 {(- 2)}^{4} + 600 {(- 2)}^{3}$

Schritt 14.2.2.1.4

Potenziere $- 2$ mit $4$ .

$f' (- 2) = - 720 - 32 - 625 \cdot 16 + 600 {(- 2)}^{3}$

Schritt 14.2.2.1.5

Mutltipliziere $- 625$ mit $16$ .

$f' (- 2) = - 720 - 32 - 10000 + 600 {(- 2)}^{3}$

Schritt 14.2.2.1.6

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$f' (- 2) = - 720 - 32 - 10000 + 600 \cdot - 8$

Schritt 14.2.2.1.7

Mutltipliziere $600$ mit $- 8$ .

$f' (- 2) = - 720 - 32 - 10000 - 4800$

Schritt 14.2.2.2

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.2.2.2.1

Subtrahiere $32$ von $- 720$ .

$f' (- 2) = - 752 - 10000 - 4800$

Schritt 14.2.2.2.2

Subtrahiere $10000$ von $- 752$ .

$f' (- 2) = - 10752 - 4800$

Schritt 14.2.2.2.3

Subtrahiere $4800$ von $- 10752$ .

$f' (- 2) = - 15552$

Schritt 14.2.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 15552$ .

$- 15552$

Schritt 14.3

Setze eine beliebige Zahl, wie $0.08$ , aus dem Intervall $(0, \frac{4}{25})$ in die erste Ableitung $- 180 x^{2} + 16 x - 625 x^{4} + 600 x^{3}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.08$ .

$f' (0.08) = - 180 {(0.08)}^{2} + 16 (0.08) - 625 {(0.08)}^{4} + 600 {(0.08)}^{3}$

Schritt 14.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.3.2.1.1

Potenziere $0.08$ mit $2$ .

$f' (0.08) = - 180 \cdot 0.0064 + 16 (0.08) - 625 {(0.08)}^{4} + 600 {(0.08)}^{3}$

Schritt 14.3.2.1.2

Mutltipliziere $- 180$ mit $0.0064$ .

$f' (0.08) = - 1.152 + 16 (0.08) - 625 {(0.08)}^{4} + 600 {(0.08)}^{3}$

Schritt 14.3.2.1.3

Mutltipliziere $16$ mit $0.08$ .

$f' (0.08) = - 1.152 + 1.28 - 625 {(0.08)}^{4} + 600 {(0.08)}^{3}$

Schritt 14.3.2.1.4

Potenziere $0.08$ mit $4$ .

$f' (0.08) = - 1.152 + 1.28 - 625 \cdot 0.00004096 + 600 {(0.08)}^{3}$

Schritt 14.3.2.1.5

Mutltipliziere $- 625$ mit $0.00004096$ .

$f' (0.08) = - 1.152 + 1.28 - 0.0256 + 600 {(0.08)}^{3}$

Schritt 14.3.2.1.6

Potenziere $0.08$ mit $3$ .

$f' (0.08) = - 1.152 + 1.28 - 0.0256 + 600 \cdot 0.000512$

Schritt 14.3.2.1.7

Mutltipliziere $600$ mit $0.000512$ .

$f' (0.08) = - 1.152 + 1.28 - 0.0256 + 0.3072$

Schritt 14.3.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.3.2.2.1

Addiere $- 1.152$ und $1.28$ .

$f' (0.08) = 0.128 - 0.0256 + 0.3072$

Schritt 14.3.2.2.2

Subtrahiere $0.0256$ von $0.128$ .

$f' (0.08) = 0.1024 + 0.3072$

Schritt 14.3.2.2.3

Addiere $0.1024$ und $0.3072$ .

$f' (0.08) = 0.4096$

Schritt 14.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $0.4096$ .

$0.4096$

Schritt 14.4

Setze eine beliebige Zahl, wie $0.28$ , aus dem Intervall $(\frac{4}{25}, \frac{2}{5})$ in die erste Ableitung $- 180 x^{2} + 16 x - 625 x^{4} + 600 x^{3}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 14.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.28$ .

$f' (0.28) = - 180 {(0.28)}^{2} + 16 (0.28) - 625 {(0.28)}^{4} + 600 {(0.28)}^{3}$

Schritt 14.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.4.2.1.1

Potenziere $0.28$ mit $2$ .

$f' (0.28) = - 180 \cdot 0.0784 + 16 (0.28) - 625 {(0.28)}^{4} + 600 {(0.28)}^{3}$

Schritt 14.4.2.1.2

Mutltipliziere $- 180$ mit $0.0784$ .

$f' (0.28) = - 14.112 + 16 (0.28) - 625 {(0.28)}^{4} + 600 {(0.28)}^{3}$

Schritt 14.4.2.1.3

Mutltipliziere $16$ mit $0.28$ .

$f' (0.28) = - 14.112 + 4.48 - 625 {(0.28)}^{4} + 600 {(0.28)}^{3}$

Schritt 14.4.2.1.4

Potenziere $0.28$ mit $4$ .

$f' (0.28) = - 14.112 + 4.48 - 625 \cdot 0.00614656 + 600 {(0.28)}^{3}$

Schritt 14.4.2.1.5

Mutltipliziere $- 625$ mit $0.00614656$ .

$f' (0.28) = - 14.112 + 4.48 - 3.8416 + 600 {(0.28)}^{3}$

Schritt 14.4.2.1.6

Potenziere $0.28$ mit $3$ .

$f' (0.28) = - 14.112 + 4.48 - 3.8416 + 600 \cdot 0.021952$

Schritt 14.4.2.1.7

Mutltipliziere $600$ mit $0.021952$ .

$f' (0.28) = - 14.112 + 4.48 - 3.8416 + 13.1712$

Schritt 14.4.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.4.2.2.1

Addiere $- 14.112$ und $4.48$ .

$f' (0.28) = - 9.632 - 3.8416 + 13.1712$

Schritt 14.4.2.2.2

Subtrahiere $3.8416$ von $- 9.632$ .

$f' (0.28) = - 13.4736 + 13.1712$

Schritt 14.4.2.2.3

Addiere $- 13.4736$ und $13.1712$ .

$f' (0.28) = - 0.3024$

Schritt 14.4.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 0.3024$ .

$- 0.3024$

Schritt 14.5

Setze eine beliebige Zahl, wie $3$ , aus dem Intervall $(\frac{2}{5}, \infty)$ in die erste Ableitung $- 180 x^{2} + 16 x - 625 x^{4} + 600 x^{3}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 14.5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f' (3) = - 180 {(3)}^{2} + 16 (3) - 625 {(3)}^{4} + 600 {(3)}^{3}$

Schritt 14.5.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.5.2.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f' (3) = - 180 \cdot 9 + 16 (3) - 625 {(3)}^{4} + 600 {(3)}^{3}$

Schritt 14.5.2.1.2

Mutltipliziere $- 180$ mit $9$ .

$f' (3) = - 1620 + 16 (3) - 625 {(3)}^{4} + 600 {(3)}^{3}$

Schritt 14.5.2.1.3

Mutltipliziere $16$ mit $3$ .

$f' (3) = - 1620 + 48 - 625 {(3)}^{4} + 600 {(3)}^{3}$

Schritt 14.5.2.1.4

Potenziere $3$ mit $4$ .

$f' (3) = - 1620 + 48 - 625 \cdot 81 + 600 {(3)}^{3}$

Schritt 14.5.2.1.5

Mutltipliziere $- 625$ mit $81$ .

$f' (3) = - 1620 + 48 - 50625 + 600 {(3)}^{3}$

Schritt 14.5.2.1.6

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f' (3) = - 1620 + 48 - 50625 + 600 \cdot 27$

Schritt 14.5.2.1.7

Mutltipliziere $600$ mit $27$ .

$f' (3) = - 1620 + 48 - 50625 + 16200$

Schritt 14.5.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.5.2.2.1

Addiere $- 1620$ und $48$ .

$f' (3) = - 1572 - 50625 + 16200$

Schritt 14.5.2.2.2

Subtrahiere $50625$ von $- 1572$ .

$f' (3) = - 52197 + 16200$

Schritt 14.5.2.2.3

Addiere $- 52197$ und $16200$ .

$f' (3) = - 35997$

Schritt 14.5.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 35997$ .

$- 35997$

Schritt 14.6

Da die erste Ableitung um $x = 0$ herum das Vorzeichen von negativ zu positiv gewechselt hat, ist $x = 0$ ein lokales Minimum.

$x = 0$ ist ein lokales Minimum

Schritt 14.7

Da die erste Ableitung um $x = \frac{4}{25}$ herum das Vorzeichen von positiv zu negativ gewechselt hat, ist $x = \frac{4}{25}$ ein lokales Maximum.

$x = \frac{4}{25}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 14.8

Da die erste Ableitung das Vorzeichen um $x = \frac{2}{5}$ nicht gewechselt hat, ist dies kein lokales Maximum oder Minimum.

Kein lokales Maximum oder Minimum

Schritt 14.9

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = x^{2} {(2 - 5 x)}^{3}$ .

$x = 0$ ist ein lokales Minimum

$x = \frac{4}{25}$ ist ein lokales Maximum

$x = 0$ ist ein lokales Minimum

$x = \frac{4}{25}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 15