Analysis Beispiele

$\frac{- 2}{x^{2} - x - 6}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{- 2}{x^{2} - x - 6}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{- 2}{x^{2} - x - 6}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 2.1.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2} - x - 6}]$

Schritt 2.1.1.2

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{2}{x^{2} - x - 6}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - x - 6}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - x - 6}]$

Schritt 2.1.1.3

Schreibe $\frac{1}{x^{2} - x - 6}$ als ${(x^{2} - x - 6)}^{- 1}$ um.

$- 2 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - x - 6)}^{- 1}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{2} - x - 6$ .

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Schritt 2.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} - x - 6$ .

$- 2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} - x - 6])$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - x - 6])$

Schritt 2.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - x - 6$ .

$- 2 (- {(x^{2} - x - 6)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - x - 6])$

Schritt 2.1.3

Differenziere.

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Schritt 2.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$2 ({(x^{2} - x - 6)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - x - 6])$

Schritt 2.1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - x - 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$2 {(x^{2} - x - 6)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Schritt 2.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 {(x^{2} - x - 6)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Schritt 2.1.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 {(x^{2} - x - 6)}^{- 2} (2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Schritt 2.1.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 {(x^{2} - x - 6)}^{- 2} (2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6])$

Schritt 2.1.3.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$2 {(x^{2} - x - 6)}^{- 2} (2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- 6])$

Schritt 2.1.3.7

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 {(x^{2} - x - 6)}^{- 2} (2 x - 1 + 0)$

Schritt 2.1.3.8

Addiere $2 x - 1$ und $0$ .

$2 {(x^{2} - x - 6)}^{- 2} (2 x - 1)$

Schritt 2.1.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \frac{1}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} (2 x - 1)$

Schritt 2.1.5

Vereinfache.

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Schritt 2.1.5.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$ .

$\frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} (2 x - 1)$

Schritt 2.1.5.2

Stelle die Faktoren von $\frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} (2 x - 1)$ um.

$f' (x) = (2 x - 1) \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 2 x - 1$ und $g (x) = \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$ .

$(2 x - 1) \frac{d}{d x} [\frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}] + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 2.2.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}]$ .

$(2 x - 1) (2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}]) + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Schritt 2.2.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.2.2.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $2 x - 1$ .

$2 \cdot (2 x - 1) \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}] + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Schritt 2.2.2.2.2

Schreibe $\frac{1}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$ als ${({(x^{2} - x - 6)}^{2})}^{- 1}$ um.

$2 (2 x - 1) \frac{d}{d x} [{({(x^{2} - x - 6)}^{2})}^{- 1}] + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Schritt 2.2.2.2.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} - x - 6)}^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.2.2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - x - 6)}^{2 \cdot - 1}] + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Schritt 2.2.2.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$2 (2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - x - 6)}^{- 2}] + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 2}$ und $g (x) = x^{2} - x - 6$ .

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Schritt 2.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} - x - 6$ .

$2 (2 x - 1) (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [x^{2} - x - 6]) + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Schritt 2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 2$ .

$2 (2 x - 1) (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [x^{2} - x - 6]) + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Schritt 2.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - x - 6$ .

$2 (2 x - 1) (- 2 {(x^{2} - x - 6)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x^{2} - x - 6]) + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Schritt 2.2.4

Differenziere.

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Schritt 2.2.4.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$- 4 (2 x - 1) ({(x^{2} - x - 6)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x^{2} - x - 6]) + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Schritt 2.2.4.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - x - 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$- 4 (2 x - 1) ({(x^{2} - x - 6)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 6])) + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Schritt 2.2.4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 4 (2 x - 1) ({(x^{2} - x - 6)}^{- 3} (2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 6])) + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Schritt 2.2.4.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 (2 x - 1) ({(x^{2} - x - 6)}^{- 3} (2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])) + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Schritt 2.2.4.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 4 (2 x - 1) ({(x^{2} - x - 6)}^{- 3} (2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6])) + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Schritt 2.2.4.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 4 (2 x - 1) ({(x^{2} - x - 6)}^{- 3} (2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- 6])) + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Schritt 2.2.4.7

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 4 (2 x - 1) ({(x^{2} - x - 6)}^{- 3} (2 x - 1 + 0)) + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Schritt 2.2.4.8

Addiere $2 x - 1$ und $0$ .

$- 4 (2 x - 1) ({(x^{2} - x - 6)}^{- 3} (2 x - 1)) + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Schritt 2.2.5

Potenziere $2 x - 1$ mit $1$ .

$- 4 ({(2 x - 1)}^{1} (2 x - 1)) {(x^{2} - x - 6)}^{- 3} + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Schritt 2.2.6

Potenziere $2 x - 1$ mit $1$ .

$- 4 ({(2 x - 1)}^{1} {(2 x - 1)}^{1}) {(x^{2} - x - 6)}^{- 3} + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Schritt 2.2.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 4 {(2 x - 1)}^{1 + 1} {(x^{2} - x - 6)}^{- 3} + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Schritt 2.2.8

Addiere $1$ und $1$ .

$- 4 {(2 x - 1)}^{2} {(x^{2} - x - 6)}^{- 3} + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Schritt 2.2.9

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- 4 {(2 x - 1)}^{2} {(x^{2} - x - 6)}^{- 3} + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 2.2.10

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 {(2 x - 1)}^{2} {(x^{2} - x - 6)}^{- 3} + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 2.2.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 4 {(2 x - 1)}^{2} {(x^{2} - x - 6)}^{- 3} + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 2.2.12

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- 4 {(2 x - 1)}^{2} {(x^{2} - x - 6)}^{- 3} + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} (2 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 2.2.13

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 4 {(2 x - 1)}^{2} {(x^{2} - x - 6)}^{- 3} + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} (2 + 0)$

Schritt 2.2.14

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.2.14.1

Addiere $2$ und $0$ .

$- 4 {(2 x - 1)}^{2} {(x^{2} - x - 6)}^{- 3} + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \cdot 2$

Schritt 2.2.14.2

Kombiniere $\frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$ und $2$ .

$- 4 {(2 x - 1)}^{2} {(x^{2} - x - 6)}^{- 3} + \frac{2 \cdot 2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.14.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- 4 {(2 x - 1)}^{2} {(x^{2} - x - 6)}^{- 3} + \frac{4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.15

Um $- 4 {(2 x - 1)}^{2} {(x^{2} - x - 6)}^{- 3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$ .

$- 4 {(2 x - 1)}^{2} {(x^{2} - x - 6)}^{- 3} \cdot \frac{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} + \frac{4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.16

Kombiniere $- 4 {(2 x - 1)}^{2} {(x^{2} - x - 6)}^{- 3}$ und $\frac{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$ .

$\frac{- 4 {(2 x - 1)}^{2} {(x^{2} - x - 6)}^{- 3} {(x^{2} - x - 6)}^{2}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} + \frac{4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.17

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 4 {(2 x - 1)}^{2} {(x^{2} - x - 6)}^{- 3} {(x^{2} - x - 6)}^{2} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.18

Multipliziere ${(x^{2} - x - 6)}^{- 3}$ mit ${(x^{2} - x - 6)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.18.1

Bewege ${(x^{2} - x - 6)}^{2}$ .

$\frac{- 4 {(2 x - 1)}^{2} ({(x^{2} - x - 6)}^{2} {(x^{2} - x - 6)}^{- 3}) + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.18.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 4 {(2 x - 1)}^{2} {(x^{2} - x - 6)}^{2 - 3} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.18.3

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$\frac{- 4 {(2 x - 1)}^{2} {(x^{2} - x - 6)}^{- 1} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.19

Vereinfache.

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Schritt 2.2.19.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 4 {(2 x - 1)}^{2} \frac{1}{x^{2} - x - 6} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.19.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.19.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.19.2.1.1

Schreibe ${(2 x - 1)}^{2}$ als $(2 x - 1) (2 x - 1)$ um.

$\frac{- 4 ((2 x - 1) (2 x - 1)) \frac{1}{x^{2} - x - 6} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.19.2.1.2

Multipliziere $(2 x - 1) (2 x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.19.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 4 (2 x (2 x - 1) - 1 (2 x - 1)) \frac{1}{x^{2} - x - 6} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.19.2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 4 (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x - 1)) \frac{1}{x^{2} - x - 6} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.19.2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 4 (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) \frac{1}{x^{2} - x - 6} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.19.2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.2.19.2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.19.2.1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{- 4 (2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) \frac{1}{x^{2} - x - 6} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.19.2.1.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.19.2.1.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{- 4 (2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) \frac{1}{x^{2} - x - 6} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.19.2.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{- 4 (2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) \frac{1}{x^{2} - x - 6} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.19.2.1.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{- 4 (4 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) \frac{1}{x^{2} - x - 6} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.19.2.1.3.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{- 4 (4 x^{2} - 2 x - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) \frac{1}{x^{2} - x - 6} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.19.2.1.3.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{- 4 (4 x^{2} - 2 x - 2 x - 1 \cdot - 1) \frac{1}{x^{2} - x - 6} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.19.2.1.3.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{- 4 (4 x^{2} - 2 x - 2 x + 1) \frac{1}{x^{2} - x - 6} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.19.2.1.3.2

Subtrahiere $2 x$ von $- 2 x$ .

$\frac{- 4 (4 x^{2} - 4 x + 1) \frac{1}{x^{2} - x - 6} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.19.2.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(- 4 (4 x^{2}) - 4 (- 4 x) - 4 \cdot 1) \frac{1}{x^{2} - x - 6} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.19.2.1.5

Vereinfache.

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Schritt 2.2.19.2.1.5.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 4$ .

$\frac{(- 16 x^{2} - 4 (- 4 x) - 4 \cdot 1) \frac{1}{x^{2} - x - 6} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.19.2.1.5.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$\frac{(- 16 x^{2} + 16 x - 4 \cdot 1) \frac{1}{x^{2} - x - 6} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.19.2.1.5.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$\frac{(- 16 x^{2} + 16 x - 4) \frac{1}{x^{2} - x - 6} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.19.2.1.6

Faktorisiere $x^{2} - x - 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.2.19.2.1.6.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 6$ und deren Summe $- 1$ ist.

$- 3, 2$

Schritt 2.2.19.2.1.6.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(- 16 x^{2} + 16 x - 4) \frac{1}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.19.2.1.7

Mutltipliziere $- 16 x^{2} + 16 x - 4$ mit $\frac{1}{(x - 3) (x + 2)}$ .

$\frac{\frac{- 16 x^{2} + 16 x - 4}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.19.2.1.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.19.2.1.8.1

Faktorisiere $4$ aus $- 16 x^{2} + 16 x - 4$ heraus.

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Schritt 2.2.19.2.1.8.1.1

Faktorisiere $4$ aus $- 16 x^{2}$ heraus.

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2}) + 16 x - 4}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.19.2.1.8.1.2

Faktorisiere $4$ aus $16 x$ heraus.

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x) - 4}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.19.2.1.8.1.3

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (- 1)}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.19.2.1.8.1.4

Faktorisiere $4$ aus $4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x)$ heraus.

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2} + 4 x) + 4 (- 1)}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.19.2.1.8.1.5

Faktorisiere $4$ aus $4 (- 4 x^{2} + 4 x) + 4 (- 1)$ heraus.

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 1)}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.19.2.1.8.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.2.19.2.1.8.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 4 \cdot - 1 = 4$ und deren Summe gleich $b = 4$ ist.

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Schritt 2.2.19.2.1.8.2.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x$ heraus.

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2} + 4 (x) - 1)}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.19.2.1.8.2.1.2

Schreibe $4$ um als $2$ plus $2$

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2} + (2 + 2) x - 1)}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.19.2.1.8.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2} + 2 x + 2 x - 1)}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.19.2.1.8.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.2.19.2.1.8.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{\frac{4 ((- 4 x^{2} + 2 x) + 2 x - 1)}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.19.2.1.8.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{\frac{4 (2 x (- 2 x + 1) - (- 2 x + 1))}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.19.2.1.8.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- 2 x + 1$ .

$\frac{\frac{4 ((- 2 x + 1) (2 x - 1))}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

$\frac{\frac{4 (- 2 x + 1) (2 x - 1)}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.19.2.1.8.3

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 2.2.19.2.1.8.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{\frac{4 (- (2 x) + 1) (2 x - 1)}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.19.2.1.8.3.2

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{\frac{4 (- (2 x) - 1 (- 1)) (2 x - 1)}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.19.2.1.8.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x) - 1 (- 1)$ heraus.

$\frac{\frac{4 (- (2 x - 1)) (2 x - 1)}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.19.2.1.8.3.4

Schreibe $- (2 x - 1)$ als $- 1 (2 x - 1)$ um.

$\frac{\frac{4 (- 1 (2 x - 1)) (2 x - 1)}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.19.2.1.8.3.5

Potenziere $2 x - 1$ mit $1$ .

$\frac{\frac{4 \cdot - 1 ({(2 x - 1)}^{1} (2 x - 1))}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.19.2.1.8.3.6

Potenziere $2 x - 1$ mit $1$ .

$\frac{\frac{4 \cdot - 1 ({(2 x - 1)}^{1} {(2 x - 1)}^{1})}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.19.2.1.8.3.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{4 \cdot - 1 {(2 x - 1)}^{1 + 1}}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.19.2.1.8.3.8

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\frac{4 \cdot - 1 {(2 x - 1)}^{2}}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.19.2.1.8.3.9

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{\frac{- 4 {(2 x - 1)}^{2}}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.19.2.1.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{- \frac{4 {(2 x - 1)}^{2}}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.19.2.2

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{(x - 3) (x + 2)}{(x - 3) (x + 2)}$ .

$\frac{- \frac{4 {(2 x - 1)}^{2}}{(x - 3) (x + 2)} + 4 \cdot \frac{(x - 3) (x + 2)}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.19.2.3

Kombiniere $4$ und $\frac{(x - 3) (x + 2)}{(x - 3) (x + 2)}$ .

$\frac{- \frac{4 {(2 x - 1)}^{2}}{(x - 3) (x + 2)} + \frac{4 ((x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.19.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{- 4 {(2 x - 1)}^{2} + 4 ((x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.19.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.19.2.5.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4 {(2 x - 1)}^{2} + 4 (x - 3) (x + 2)$ heraus.

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Schritt 2.2.19.2.5.1.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4 {(2 x - 1)}^{2}$ heraus.

$\frac{\frac{4 (- {(2 x - 1)}^{2}) + 4 (x - 3) (x + 2)}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.19.2.5.1.2

Faktorisiere $4$ aus $4 (x - 3) (x + 2)$ heraus.

$\frac{\frac{4 (- {(2 x - 1)}^{2}) + 4 ((x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.19.2.5.1.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (- {(2 x - 1)}^{2}) + 4 ((x - 3) (x + 2))$ heraus.

$\frac{\frac{4 (- {(2 x - 1)}^{2} + (x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.19.2.5.2

Schreibe ${(2 x - 1)}^{2}$ als $(2 x - 1) (2 x - 1)$ um.

$\frac{\frac{4 (- ((2 x - 1) (2 x - 1)) + (x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.19.2.5.3

Multipliziere $(2 x - 1) (2 x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.19.2.5.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{4 (- (2 x (2 x - 1) - 1 (2 x - 1)) + (x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.19.2.5.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{4 (- (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x - 1)) + (x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.19.2.5.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{4 (- (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) + (x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.19.2.5.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.2.19.2.5.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.19.2.5.4.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\frac{4 (- (2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) + (x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.19.2.5.4.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.19.2.5.4.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{\frac{4 (- (2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) + (x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.19.2.5.4.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{\frac{4 (- (2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) + (x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.19.2.5.4.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\frac{4 (- (4 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) + (x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.19.2.5.4.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{\frac{4 (- (4 x^{2} - 2 x - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) + (x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.19.2.5.4.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{\frac{4 (- (4 x^{2} - 2 x - 2 x - 1 \cdot - 1) + (x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.19.2.5.4.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{\frac{4 (- (4 x^{2} - 2 x - 2 x + 1) + (x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.19.2.5.4.2

Subtrahiere $2 x$ von $- 2 x$ .

$\frac{\frac{4 (- (4 x^{2} - 4 x + 1) + (x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.19.2.5.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{4 (- (4 x^{2}) - (- 4 x) - 1 \cdot 1 + (x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.19.2.5.6

Vereinfache.

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Schritt 2.2.19.2.5.6.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2} - (- 4 x) - 1 \cdot 1 + (x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.19.2.5.6.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 1 \cdot 1 + (x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.19.2.5.6.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 1 + (x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.19.2.5.7

Multipliziere $(x - 3) (x + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.19.2.5.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 1 + x (x + 2) - 3 (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.19.2.5.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 1 + x \cdot x + x \cdot 2 - 3 (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.19.2.5.7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 1 + x \cdot x + x \cdot 2 - 3 x - 3 \cdot 2)}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.19.2.5.8

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.2.19.2.5.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.19.2.5.8.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 1 + x^{2} + x \cdot 2 - 3 x - 3 \cdot 2)}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.19.2.5.8.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 1 + x^{2} + 2 \cdot x - 3 x - 3 \cdot 2)}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.19.2.5.8.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 1 + x^{2} + 2 x - 3 x - 6)}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.19.2.5.8.2

Subtrahiere $3 x$ von $2 x$ .

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 1 + x^{2} - x - 6)}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.19.2.5.9

Addiere $- 4 x^{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{\frac{4 (- 3 x^{2} + 4 x - 1 - x - 6)}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.19.2.5.10

Subtrahiere $x$ von $4 x$ .

$\frac{\frac{4 (- 3 x^{2} + 3 x - 1 - 6)}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.19.2.5.11

Subtrahiere $6$ von $- 1$ .

$\frac{\frac{4 (- 3 x^{2} + 3 x - 7)}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.19.2.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$\frac{\frac{4 (- (3 x^{2}) + 3 x - 7)}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.19.2.7

Faktorisiere $- 1$ aus $3 x$ heraus.

$\frac{\frac{4 (- (3 x^{2}) - (- 3 x) - 7)}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.19.2.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x^{2}) - (- 3 x)$ heraus.

$\frac{\frac{4 (- (3 x^{2} - 3 x) - 7)}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.19.2.9

Schreibe $- 7$ als $- 1 (7)$ um.

$\frac{\frac{4 (- (3 x^{2} - 3 x) - 1 (7))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.19.2.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x^{2} - 3 x) - 1 (7)$ heraus.

$\frac{\frac{4 (- (3 x^{2} - 3 x + 7))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.19.2.11

Schreibe $- (3 x^{2} - 3 x + 7)$ als $- 1 (3 x^{2} - 3 x + 7)$ um.

$\frac{\frac{4 (- 1 (3 x^{2} - 3 x + 7))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.19.2.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{- \frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.19.3

Vereine die Terme

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Schritt 2.2.19.3.1

Schreibe $\frac{- \frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$ als ein Produkt um.

$- \frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{(x - 3) (x + 2)} \cdot \frac{1}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.19.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$ mit $\frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{(x - 3) (x + 2)}$ .

$- \frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{{(x^{2} - x - 6)}^{2} (x - 3) (x + 2)}$

Schritt 2.2.19.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.2.19.4.1

Faktorisiere $x^{2} - x - 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.2.19.4.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 6$ und deren Summe $- 1$ ist.

$- 3, 2$

Schritt 2.2.19.4.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- \frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{{((x - 3) (x + 2))}^{2} (x - 3) (x + 2)}$

Schritt 2.2.19.4.2

Wende die Produktregel auf $(x - 3) (x + 2)$ an.

$- \frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{{(x - 3)}^{2} {(x + 2)}^{2} (x - 3) (x + 2)}$

Schritt 2.2.19.4.3

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 2.2.19.4.3.1

Potenziere $x - 3$ mit $1$ .

$- \frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{{(x - 3)}^{1} {(x - 3)}^{2} {(x + 2)}^{2} (x + 2)}$

Schritt 2.2.19.4.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{{(x - 3)}^{1 + 2} {(x + 2)}^{2} (x + 2)}$

Schritt 2.2.19.4.3.3

Addiere $1$ und $2$ .

$- \frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{{(x - 3)}^{3} {(x + 2)}^{2} (x + 2)}$

Schritt 2.2.19.4.3.4

Potenziere $x + 2$ mit $1$ .

$- \frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{{(x - 3)}^{3} ({(x + 2)}^{1} {(x + 2)}^{2})}$

Schritt 2.2.19.4.3.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{{(x - 3)}^{3} {(x + 2)}^{1 + 2}}$

Schritt 2.2.19.4.3.6

Addiere $1$ und $2$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{{(x - 3)}^{3} {(x + 2)}^{3}}$

Schritt 2.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{{(x - 3)}^{3} {(x + 2)}^{3}}$ .

$- \frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{{(x - 3)}^{3} {(x + 2)}^{3}}$

Schritt 3

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{{(x - 3)}^{3} {(x + 2)}^{3}} = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{{(x - 3)}^{3} {(x + 2)}^{3}} = 0$

Schritt 3.2

Setze den Zähler gleich Null.

$4 (3 x^{2} - 3 x + 7) = 0$

Schritt 3.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $4 (3 x^{2} - 3 x + 7) = 0$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $4 (3 x^{2} - 3 x + 7) = 0$ durch $4$ .

$\frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.3.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 3.3.1.2.1.2

Dividiere $3 x^{2} - 3 x + 7$ durch $1$ .

$3 x^{2} - 3 x + 7 = \frac{0}{4}$

Schritt 3.3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1.3.1

Dividiere $0$ durch $4$ .

$3 x^{2} - 3 x + 7 = 0$

Schritt 3.3.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.3.3

Setze die Werte $a = 3$ , $b = - 3$ und $c = 7$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 7)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.3.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.4.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 3 \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.3.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot 7$ .

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Schritt 3.3.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 12 \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.3.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $7$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 84}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.3.4.1.3

Subtrahiere $84$ von $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 75}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.3.4.1.4

Schreibe $- 75$ als $- 1 (75)$ um.

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 75}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.3.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (75)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ um.

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.3.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.3.4.1.7

Schreibe $75$ als $5^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 3.3.4.1.7.1

Faktorisiere $25$ aus $75$ heraus.

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.3.4.1.7.2

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.3.4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{3 \pm i \cdot (5 \sqrt{3})}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.3.4.1.9

Bringe $5$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{3 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.3.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{3 \pm 5 i \sqrt{3}}{6}$

Schritt 3.3.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 3.3.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.5.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 3 \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.3.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot 7$ .

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Schritt 3.3.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 12 \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.3.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $7$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 84}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.3.5.1.3

Subtrahiere $84$ von $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 75}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.3.5.1.4

Schreibe $- 75$ als $- 1 (75)$ um.

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 75}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.3.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (75)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ um.

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.3.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.3.5.1.7

Schreibe $75$ als $5^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 3.3.5.1.7.1

Faktorisiere $25$ aus $75$ heraus.

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.3.5.1.7.2

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.3.5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{3 \pm i \cdot (5 \sqrt{3})}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.3.5.1.9

Bringe $5$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{3 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{3 \pm 5 i \sqrt{3}}{6}$

Schritt 3.3.5.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{3 + 5 i \sqrt{3}}{6}$

Schritt 3.3.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 3.3.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.6.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 3 \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.3.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot 7$ .

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Schritt 3.3.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 12 \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.3.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $7$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 84}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.3.6.1.3

Subtrahiere $84$ von $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 75}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.3.6.1.4

Schreibe $- 75$ als $- 1 (75)$ um.

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 75}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.3.6.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (75)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ um.

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.3.6.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.3.6.1.7

Schreibe $75$ als $5^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 3.3.6.1.7.1

Faktorisiere $25$ aus $75$ heraus.

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.3.6.1.7.2

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.3.6.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{3 \pm i \cdot (5 \sqrt{3})}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.3.6.1.9

Bringe $5$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{3 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{3 \pm 5 i \sqrt{3}}{6}$

Schritt 3.3.6.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{3 - 5 i \sqrt{3}}{6}$

Schritt 3.3.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{3 + 5 i \sqrt{3}}{6}, \frac{3 - 5 i \sqrt{3}}{6}$

Schritt 4

Keine Werte gefunden, die die zweite Ableitung gleich $0$ machen.

Keine Wendepunkte