Analysis Beispiele

$6 \sin (x) + \sin (2 x)$

Schritt 1

Schreibe $6 \sin (x) + \sin (2 x)$ als Funktion.

$f (x) = 6 \sin (x) + \sin (2 x)$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 \sin (x) + \sin (2 x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Schritt 2.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [6 \sin (x)]$ .

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Schritt 2.1.2.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 \sin (x)$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Schritt 2.1.2.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$6 \cos (x) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 2.1.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$6 \cos (x) + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.1.3.1.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$6 \cos (x) + \cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.1.3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$6 \cos (x) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.1.3.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \cos (x) + \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 \cos (x) + \cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Schritt 2.1.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$6 \cos (x) + \cos (2 x) \cdot 2$

Schritt 2.1.3.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cos (2 x)$ .

$f' (x) = 6 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$

Schritt 2.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$

Schritt 2.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [6 \cos (x)]$ .

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Schritt 2.2.2.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 \cos (x)$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$

Schritt 2.2.2.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$6 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$

Schritt 2.2.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$- 6 \sin (x) + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$

Schritt 2.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$ .

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Schritt 2.2.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 \cos (2 x)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$- 6 \sin (x) + 2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Schritt 2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 2.2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$- 6 \sin (x) + 2 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 2.2.3.2.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$- 6 \sin (x) + 2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 2.2.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$- 6 \sin (x) + 2 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 2.2.3.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 \sin (x) + 2 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 2.2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 6 \sin (x) + 2 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

Schritt 2.2.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- 6 \sin (x) + 2 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

Schritt 2.2.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 6 \sin (x) + 2 (- 2 \sin (2 x))$

Schritt 2.2.3.7

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$f'' (x) = - 6 \sin (x) - 4 \sin (2 x)$

Schritt 2.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 6 \sin (x) - 4 \sin (2 x)$ .

$- 6 \sin (x) - 4 \sin (2 x)$

Schritt 3

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 6 \sin (x) - 4 \sin (2 x) = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$- 6 \sin (x) - 4 \sin (2 x) = 0$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$- 6 \sin (x) - 4 (2 \sin (x) \cos (x)) = 0$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$- 6 \sin (x) - 8 \sin (x) \cos (x) = 0$

Schritt 3.3

Faktorisiere $2 \sin (x)$ aus $- 6 \sin (x) - 8 \sin (x) \cos (x)$ heraus.

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $2 \sin (x)$ aus $- 6 \sin (x)$ heraus.

$2 \sin (x) \cdot - 3 - 8 \sin (x) \cos (x) = 0$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere $2 \sin (x)$ aus $- 8 \sin (x) \cos (x)$ heraus.

$2 \sin (x) \cdot - 3 + 2 \sin (x) (- 4 \cos (x)) = 0$

Schritt 3.3.3

Faktorisiere $2 \sin (x)$ aus $2 \sin (x) \cdot - 3 + 2 \sin (x) (- 4 \cos (x))$ heraus.

$2 \sin (x) (- 3 - 4 \cos (x)) = 0$

Schritt 3.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\sin (x) = 0$

$- 3 - 4 \cos (x) = 0$

Schritt 3.5

Setze $\sin (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $\sin (x)$ gleich $0$ .

$\sin (x) = 0$

Schritt 3.5.2

Löse $\sin (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.2.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (0)$

Schritt 3.5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.2.2.1

Der genau Wert von $\arcsin (0)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 3.5.2.3

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π - 0$

Schritt 3.5.2.4

Subtrahiere $0$ von $π$ .

$x = π$

Schritt 3.5.2.5

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 3.5.2.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 3.5.2.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 3.5.2.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 3.5.2.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 3.5.2.6

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 3.6

Setze $- 3 - 4 \cos (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.6.1

Setze $- 3 - 4 \cos (x)$ gleich $0$ .

$- 3 - 4 \cos (x) = 0$

Schritt 3.6.2

Löse $- 3 - 4 \cos (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.6.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 \cos (x) = 3$

Schritt 3.6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- 4 \cos (x) = 3$ durch $- 4$ und vereinfache.

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Schritt 3.6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 4 \cos (x) = 3$ durch $- 4$ .

$\frac{- 4 \cos (x)}{- 4} = \frac{3}{- 4}$

Schritt 3.6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.6.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

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Schritt 3.6.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 \cos (x)}{- 4} = \frac{3}{- 4}$

Schritt 3.6.2.2.2.1.2

Dividiere $\cos (x)$ durch $1$ .

$\cos (x) = \frac{3}{- 4}$

Schritt 3.6.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.6.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\cos (x) = - \frac{3}{4}$

Schritt 3.6.2.3

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (- \frac{3}{4})$

Schritt 3.6.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.6.2.4.1

Berechne $\arccos (- \frac{3}{4})$ .

$x = 2.4188584$

Schritt 3.6.2.5

Die Cosinus-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 (3.14159265) - 2.4188584$

Schritt 3.6.2.6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.6.2.6.1

Entferne die Klammern.

$x = 2 (3.14159265) - 2.4188584$

Schritt 3.6.2.6.2

Vereinfache $2 (3.14159265) - 2.4188584$ .

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Schritt 3.6.2.6.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 2.4188584$

Schritt 3.6.2.6.2.2

Subtrahiere $2.4188584$ von $6.2831853$ .

$x = 3.8643269$

Schritt 3.6.2.7

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 3.6.2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 3.6.2.7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 3.6.2.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 3.6.2.7.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 3.6.2.8

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 2.4188584 + 2 π n, 3.8643269 + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 3.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 \sin (x) (- 3 - 4 \cos (x)) = 0$ wahr machen.

$x = 2 π n, π + 2 π n, 2.4188584 + 2 π n, 3.8643269 + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 3.8

Führe $2 π n$ und $π + 2 π n$ zu $π n$ zusammen.

$x = π n, 2.4188584 + 2 π n, 3.8643269 + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 4

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 4.1

Der Punkt, der durch Einsetzen von in $f (x) = 6 \sin (x) + \sin (2 x)$ ermittelt werden kann, ist $(,)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(,)$

Schritt 4.2

Ersetze $2.4188584$ in $f (x) = 6 \sin (x) + \sin (2 x)$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 4.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2.4188584$ .

$f (2.4188584) = 6 \sin (2.4188584) + \sin (2 (2.4188584))$

Schritt 4.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $2.4188584$ .

$f (2.4188584) = 6 \sin (2.4188584) + \sin (4.83771681)$

Schritt 4.2.2.2

Die endgültige Lösung ist $6 \sin (2.4188584) + \sin (4.83771681)$ .

$6 \sin (2.4188584) + \sin (4.83771681)$

Schritt 4.3

Der Punkt, der durch Einsetzen von $2.4188584$ in $f (x) = 6 \sin (x) + \sin (2 x)$ ermittelt werden kann, ist $(2.4188584, 6 \sin (2.4188584) + \sin (4.83771681))$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(2.4188584, 6 \sin (2.4188584) + \sin (4.83771681))$

Schritt 4.4

Ersetze $3.8643269$ in $f (x) = 6 \sin (x) + \sin (2 x)$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 4.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3.8643269$ .

$f (3.8643269) = 6 \sin (3.8643269) + \sin (2 (3.8643269))$

Schritt 4.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.4.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $3.8643269$ .

$f (3.8643269) = 6 \sin (3.8643269) + \sin (7.7286538)$

Schritt 4.4.2.2

Die endgültige Lösung ist $6 \sin (3.8643269) + \sin (7.7286538)$ .

$6 \sin (3.8643269) + \sin (7.7286538)$

Schritt 4.5

Der Punkt, der durch Einsetzen von $3.8643269$ in $f (x) = 6 \sin (x) + \sin (2 x)$ ermittelt werden kann, ist $(3.8643269, 6 \sin (3.8643269) + \sin (7.7286538))$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(3.8643269, 6 \sin (3.8643269) + \sin (7.7286538))$

Schritt 4.6

Bestimme die Punkte, die Wendepunkte sein könnten.

$(,), (2.4188584, 6 \sin (2.4188584) + \sin (4.83771681)), (3.8643269, 6 \sin (3.8643269) + \sin (7.7286538))$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty,) \cup (, 2.4188584) \cup (2.4188584, 3.8643269) \cup (3.8643269, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty,)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = - 6 \sin (- 0.1) - 4 \sin (2 (- 0.1))$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = - 6 \sin (- 0.1) - 4 \sin (- 0.2)$

Schritt 6.2.2

Die endgültige Lösung ist $- 6 \sin (- 0.1) - 4 \sin (- 0.2)$ .

$- 6 \sin (- 0.1) - 4 \sin (- 0.2)$

Schritt 6.3

Bei $- 0.1$ ist die zweite Ableitung $1.39367782$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- \infty,)$ .

Ansteigend im Intervall $(- \infty,)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(, 2.4188584)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1.2094292$ .

$f'' (1.2094292) = - 6 \sin (1.2094292) - 4 \sin (2 (1.2094292))$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $1.2094292$ .

$f'' (1.2094292) = - 6 \sin (1.2094292) - 4 \sin (2.4188584)$

Schritt 7.2.2

Die endgültige Lösung ist $- 6 \sin (1.2094292) - 4 \sin (2.4188584)$ .

$- 6 \sin (1.2094292) - 4 \sin (2.4188584)$

Schritt 7.3

Bei $1.2094292$ , die zweite Ableitung ist $- 8.25823739$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(, 2.4188584)$

Abfallend im Intervall $(, 2.4188584)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(2.4188584, 3.8643269)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3.14159265$ .

$f'' (3.14159265) = - 6 \sin (3.14159265) - 4 \sin (2 (3.14159265))$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $3.14159265$ .

$f'' (3.14159265) = - 6 \sin (3.14159265) - 4 \sin (6.2831853)$

Schritt 8.2.2

Die endgültige Lösung ist $- 6 \sin (3.14159265) - 4 \sin (6.2831853)$ .

$- 6 \sin (3.14159265) - 4 \sin (6.2831853)$

Schritt 8.3

Bei $3.14159265$ ist die zweite Ableitung $2.44929359 E - 16$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(2.4188584, 3.8643269)$ .

Ansteigend im Intervall $(2.4188584, 3.8643269)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 9

Setze einen Wert aus dem Intervall $(3.8643269, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 9.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3.9643269$ .

$f'' (3.9643269) = - 6 \sin (3.9643269) - 4 \sin (2 (3.9643269))$

Schritt 9.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 9.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $3.9643269$ .

$f'' (3.9643269) = - 6 \sin (3.9643269) - 4 \sin (7.9286538)$

Schritt 9.2.2

Die endgültige Lösung ist $- 6 \sin (3.9643269) - 4 \sin (7.9286538)$ .

$- 6 \sin (3.9643269) - 4 \sin (7.9286538)$

Schritt 9.3

Bei $3.9643269$ ist die zweite Ableitung $0.40919742$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(3.8643269, \infty)$ .

Ansteigend im Intervall $(3.8643269, \infty)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 10

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall sind die Wendepunkte $(,), (2.4188584, 6 \sin (2.4188584) + \sin (4.83771681))$ .

$(,), (2.4188584, 6 \sin (2.4188584) + \sin (4.83771681))$

Schritt 11