Analysis Beispiele

$\ln (x^{2} - 4 x + 29)$

Schritt 1

Schreibe $\ln (x^{2} - 4 x + 29)$ als Funktion.

$f (x) = \ln (x^{2} - 4 x + 29)$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x^{2} - 4 x + 29$ .

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Schritt 2.1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} - 4 x + 29$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 29]$

Schritt 2.1.1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 29]$

Schritt 2.1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - 4 x + 29$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 29} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 29]$

Schritt 2.1.2

Differenziere.

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Schritt 2.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 4 x + 29$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [29]$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 29} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [29])$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 29} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [29])$

Schritt 2.1.2.3

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 29} (2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [29])$

Schritt 2.1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 29} (2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [29])$

Schritt 2.1.2.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 29} (2 x - 4 + \frac{d}{d x} [29])$

Schritt 2.1.2.6

Da $29$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $29$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 29} (2 x - 4 + 0)$

Schritt 2.1.2.7

Addiere $2 x - 4$ und $0$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 29} (2 x - 4)$

Schritt 2.1.3

Vereinfache.

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Schritt 2.1.3.1

Stelle die Faktoren von $\frac{1}{x^{2} - 4 x + 29} (2 x - 4)$ um.

$(2 x - 4) \frac{1}{x^{2} - 4 x + 29}$

Schritt 2.1.3.2

Mutltipliziere $2 x - 4$ mit $\frac{1}{x^{2} - 4 x + 29}$ .

$\frac{2 x - 4}{x^{2} - 4 x + 29}$

Schritt 2.1.3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x - 4$ heraus.

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Schritt 2.1.3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{2 (x) - 4}{x^{2} - 4 x + 29}$

Schritt 2.1.3.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$\frac{2 x + 2 \cdot - 2}{x^{2} - 4 x + 29}$

Schritt 2.1.3.3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 2 \cdot - 2$ heraus.

$f' (x) = \frac{2 (x - 2)}{x^{2} - 4 x + 29}$

Schritt 2.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2 (x - 2)}{x^{2} - 4 x + 29}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\frac{x - 2}{x^{2} - 4 x + 29}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x - 2}{x^{2} - 4 x + 29}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x - 2$ und $g (x) = x^{2} - 4 x + 29$ .

$2 \frac{(x^{2} - 4 x + 29) \frac{d}{d x} [x - 2] - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 29]}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Schritt 2.2.3

Differenziere.

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Schritt 2.2.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$2 \frac{(x^{2} - 4 x + 29) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 29]}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Schritt 2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \frac{(x^{2} - 4 x + 29) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 29]}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Schritt 2.2.3.3

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 \frac{(x^{2} - 4 x + 29) (1 + 0) - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 29]}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Schritt 2.2.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.3.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$2 \frac{(x^{2} - 4 x + 29) \cdot 1 - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 29]}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Schritt 2.2.3.4.2

Mutltipliziere $x^{2} - 4 x + 29$ mit $1$ .

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 29 - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 29]}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Schritt 2.2.3.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 4 x + 29$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [29]$ .

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 29 - (x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [29])}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Schritt 2.2.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 29 - (x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [29])}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Schritt 2.2.3.7

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 29 - (x - 2) (2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [29])}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Schritt 2.2.3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 29 - (x - 2) (2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [29])}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Schritt 2.2.3.9

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 29 - (x - 2) (2 x - 4 + \frac{d}{d x} [29])}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Schritt 2.2.3.10

Da $29$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $29$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 29 - (x - 2) (2 x - 4 + 0)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Schritt 2.2.3.11

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.2.3.11.1

Addiere $2 x - 4$ und $0$ .

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 29 - (x - 2) (2 x - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Schritt 2.2.3.11.2

Kombiniere $2$ und $\frac{x^{2} - 4 x + 29 - (x - 2) (2 x - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$ .

$\frac{2 (x^{2} - 4 x + 29 - (x - 2) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Schritt 2.2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (x^{2} - 4 x + 29 + (- x - - 2) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Schritt 2.2.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} + 2 (- 4 x) + 2 \cdot 29 + 2 ((- x - - 2) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Schritt 2.2.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.4.3.1.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 2 \cdot 29 + 2 ((- x - - 2) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Schritt 2.2.4.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $29$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 ((- x - - 2) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Schritt 2.2.4.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 ((- x + 2) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Schritt 2.2.4.3.1.4

Multipliziere $(- x + 2) (2 x - 4)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.4.3.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 (- x (2 x - 4) + 2 (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Schritt 2.2.4.3.1.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 (- x (2 x) - x \cdot - 4 + 2 (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Schritt 2.2.4.3.1.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 (- x (2 x) - x \cdot - 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Schritt 2.2.4.3.1.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.2.4.3.1.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.4.3.1.5.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 (- 1 \cdot 2 x \cdot x - x \cdot - 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Schritt 2.2.4.3.1.5.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.4.3.1.5.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 (- 1 \cdot 2 (x \cdot x) - x \cdot - 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Schritt 2.2.4.3.1.5.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 (- 1 \cdot 2 x^{2} - x \cdot - 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Schritt 2.2.4.3.1.5.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 (- 2 x^{2} - x \cdot - 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Schritt 2.2.4.3.1.5.1.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 (- 2 x^{2} + 4 x + 2 (2 x) + 2 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Schritt 2.2.4.3.1.5.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 (- 2 x^{2} + 4 x + 4 x + 2 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Schritt 2.2.4.3.1.5.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 (- 2 x^{2} + 4 x + 4 x - 8)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Schritt 2.2.4.3.1.5.2

Addiere $4 x$ und $4 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 (- 2 x^{2} + 8 x - 8)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Schritt 2.2.4.3.1.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 (- 2 x^{2}) + 2 (8 x) + 2 \cdot - 8}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Schritt 2.2.4.3.1.7

Vereinfache.

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Schritt 2.2.4.3.1.7.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 - 4 x^{2} + 2 (8 x) + 2 \cdot - 8}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Schritt 2.2.4.3.1.7.2

Mutltipliziere $8$ mit $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 - 4 x^{2} + 16 x + 2 \cdot - 8}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Schritt 2.2.4.3.1.7.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 8$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 - 4 x^{2} + 16 x - 16}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Schritt 2.2.4.3.2

Subtrahiere $4 x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 8 x + 58 + 16 x - 16}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Schritt 2.2.4.3.3

Addiere $- 8 x$ und $16 x$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 8 x + 58 - 16}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Schritt 2.2.4.3.4

Subtrahiere $16$ von $58$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 8 x + 42}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Schritt 2.2.4.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.4.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x^{2} + 8 x + 42$ heraus.

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Schritt 2.2.4.4.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x^{2}$ heraus.

$\frac{2 (- x^{2}) + 8 x + 42}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Schritt 2.2.4.4.1.2

Faktorisiere $2$ aus $8 x$ heraus.

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 (4 x) + 42}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Schritt 2.2.4.4.1.3

Faktorisiere $2$ aus $42$ heraus.

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 (4 x) + 2 (21)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Schritt 2.2.4.4.1.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (- x^{2}) + 2 (4 x)$ heraus.

$\frac{2 (- x^{2} + 4 x) + 2 (21)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Schritt 2.2.4.4.1.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (- x^{2} + 4 x) + 2 (21)$ heraus.

$\frac{2 (- x^{2} + 4 x + 21)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Schritt 2.2.4.4.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.2.4.4.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot 21 = - 21$ und deren Summe gleich $b = 4$ ist.

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Schritt 2.2.4.4.2.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x$ heraus.

$\frac{2 (- x^{2} + 4 (x) + 21)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Schritt 2.2.4.4.2.1.2

Schreibe $4$ um als $- 3$ plus $7$

$\frac{2 (- x^{2} + (- 3 + 7) x + 21)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Schritt 2.2.4.4.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (- x^{2} - 3 x + 7 x + 21)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Schritt 2.2.4.4.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.2.4.4.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{2 ((- x^{2} - 3 x) + 7 x + 21)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Schritt 2.2.4.4.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{2 (x (- x - 3) - 7 (- x - 3))}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Schritt 2.2.4.4.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- x - 3$ .

$\frac{2 ((- x - 3) (x - 7))}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

$\frac{2 (- x - 3) (x - 7)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Schritt 2.2.4.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{2 (- (x) - 3) (x - 7)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Schritt 2.2.4.6

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$\frac{2 (- (x) - 1 (3)) (x - 7)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Schritt 2.2.4.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (3)$ heraus.

$\frac{2 (- (x + 3)) (x - 7)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Schritt 2.2.4.8

Schreibe $- (x + 3)$ als $- 1 (x + 3)$ um.

$\frac{2 (- 1 (x + 3)) (x - 7)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Schritt 2.2.4.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{(2 (x + 3)) (x - 7)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Schritt 2.2.4.10

Stelle die Faktoren in $- \frac{(2 (x + 3)) (x - 7)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$ um.

$f'' (x) = - \frac{2 (x + 3) (x - 7)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Schritt 2.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{2 (x + 3) (x - 7)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$ .

$- \frac{2 (x + 3) (x - 7)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Schritt 3

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{2 (x + 3) (x - 7)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}} = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{2 (x + 3) (x - 7)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}} = 0$

Schritt 3.2

Setze den Zähler gleich Null.

$2 (x + 3) (x - 7) = 0$

Schritt 3.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 7 = 0$

Schritt 3.3.2

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.2.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 3.3.2.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 3.3.3

Setze $x - 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.3.1

Setze $x - 7$ gleich $0$ .

$x - 7 = 0$

Schritt 3.3.3.2

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 7$

Schritt 3.3.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 (x + 3) (x - 7) = 0$ wahr machen.

$x = - 3, 7$

Schritt 4

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 4.1

Ersetze $- 3$ in $f (x) = \ln (x^{2} - 4 x + 29)$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 4.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 3$ .

$f (- 3) = \ln ({(- 3)}^{2} - 4 \cdot - 3 + 29)$

Schritt 4.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$f (- 3) = \ln (9 - 4 \cdot - 3 + 29)$

Schritt 4.1.2.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 3$ .

$f (- 3) = \ln (9 + 12 + 29)$

Schritt 4.1.2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.2.1

Addiere $9$ und $12$ .

$f (- 3) = \ln (21 + 29)$

Schritt 4.1.2.2.2

Addiere $21$ und $29$ .

$f (- 3) = \ln (50)$

Schritt 4.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $\ln (50)$ .

$\ln (50)$

Schritt 4.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $- 3$ in $f (x) = \ln (x^{2} - 4 x + 29)$ ermittelt werden kann, ist $(- 3, \ln (50))$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(- 3, \ln (50))$

Schritt 4.3

Ersetze $7$ in $f (x) = \ln (x^{2} - 4 x + 29)$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $7$ .

$f (7) = \ln ({(7)}^{2} - 4 \cdot 7 + 29)$

Schritt 4.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1.1

Potenziere $7$ mit $2$ .

$f (7) = \ln (49 - 4 \cdot 7 + 29)$

Schritt 4.3.2.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $7$ .

$f (7) = \ln (49 - 28 + 29)$

Schritt 4.3.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.2.1

Subtrahiere $28$ von $49$ .

$f (7) = \ln (21 + 29)$

Schritt 4.3.2.2.2

Addiere $21$ und $29$ .

$f (7) = \ln (50)$

Schritt 4.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $\ln (50)$ .

$\ln (50)$

Schritt 4.4

Der Punkt, der durch Einsetzen von $7$ in $f (x) = \ln (x^{2} - 4 x + 29)$ ermittelt werden kann, ist $(7, \ln (50))$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(7, \ln (50))$

Schritt 4.5

Bestimme die Punkte, die Wendepunkte sein könnten.

$(- 3, \ln (50)), (7, \ln (50))$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 7) \cup (7, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 3)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 3.1$ .

$f'' (- 3.1) = - \frac{2 ((- 3.1) + 3) ((- 3.1) - 7)}{{({(- 3.1)}^{2} - 4 \cdot - 3.1 + 29)}^{2}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.1

Addiere $- 3.1$ und $3$ .

$f'' (- 3.1) = - \frac{2 \cdot (- 0.1 (- 3.1 - 7))}{{({(- 3.1)}^{2} - 4 \cdot - 3.1 + 29)}^{2}}$

Schritt 6.2.1.2

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 6.2.1.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 0.1$ .

$f'' (- 3.1) = - \frac{- 0.2 (- 3.1 - 7)}{{({(- 3.1)}^{2} - 4 \cdot - 3.1 + 29)}^{2}}$

Schritt 6.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 0.2$ mit $- 3.1 - 7$ .

$f'' (- 3.1) = - \frac{2.02}{{({(- 3.1)}^{2} - 4 \cdot - 3.1 + 29)}^{2}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.2.1

Potenziere $- 3.1$ mit $2$ .

$f'' (- 3.1) = - \frac{2.02}{{(9.61 - 4 \cdot - 3.1 + 29)}^{2}}$

Schritt 6.2.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 3.1$ .

$f'' (- 3.1) = - \frac{2.02}{{(9.61 + 12.4 + 29)}^{2}}$

Schritt 6.2.2.3

Addiere $9.61$ und $12.4$ .

$f'' (- 3.1) = - \frac{2.02}{{(22.01 + 29)}^{2}}$

Schritt 6.2.2.4

Addiere $22.01$ und $29$ .

$f'' (- 3.1) = - \frac{2.02}{{51.01}^{2}}$

Schritt 6.2.2.5

Potenziere $51.01$ mit $2$ .

$f'' (- 3.1) = - \frac{2.02}{2602.0201}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.2.3.1

Dividiere $2.02$ durch $2602.0201$ .

$f'' (- 3.1) = - 1 \cdot 0.00077631$

Schritt 6.2.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.00077631$ .

$f'' (- 3.1) = - 0.00077631$

Schritt 6.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 0.00077631$ .

$- 0.00077631$

Schritt 6.3

Bei $- 3.1$ , die zweite Ableitung ist $- 0.00077631$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- \infty, - 3)$

Abfallend im Intervall $(- \infty, - 3)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 3, 7)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f'' (2) = - \frac{2 ((2) + 3) ((2) - 7)}{{({(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 29)}^{2}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1.1

Addiere $2$ und $3$ .

$f'' (2) = - \frac{2 \cdot (5 (2 - 7))}{{(2^{2} - 4 \cdot 2 + 29)}^{2}}$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$f'' (2) = - \frac{10 (2 - 7)}{{(2^{2} - 4 \cdot 2 + 29)}^{2}}$

Schritt 7.2.1.3

Subtrahiere $7$ von $2$ .

$f'' (2) = - \frac{10 \cdot - 5}{{(2^{2} - 4 \cdot 2 + 29)}^{2}}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f'' (2) = - \frac{10 \cdot - 5}{{(4 - 4 \cdot 2 + 29)}^{2}}$

Schritt 7.2.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$f'' (2) = - \frac{10 \cdot - 5}{{(4 - 8 + 29)}^{2}}$

Schritt 7.2.2.3

Subtrahiere $8$ von $4$ .

$f'' (2) = - \frac{10 \cdot - 5}{{(- 4 + 29)}^{2}}$

Schritt 7.2.2.4

Addiere $- 4$ und $29$ .

$f'' (2) = - \frac{10 \cdot - 5}{25^{2}}$

Schritt 7.2.2.5

Potenziere $25$ mit $2$ .

$f'' (2) = - \frac{10 \cdot - 5}{625}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.3.1

Mutltipliziere $10$ mit $- 5$ .

$f'' (2) = - \frac{- 50}{625}$

Schritt 7.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 50$ und $625$ .

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Schritt 7.2.3.2.1

Faktorisiere $25$ aus $- 50$ heraus.

$f'' (2) = - \frac{25 (- 2)}{625}$

Schritt 7.2.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.3.2.2.1

Faktorisiere $25$ aus $625$ heraus.

$f'' (2) = - \frac{25 \cdot - 2}{25 \cdot 25}$

Schritt 7.2.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (2) = - \frac{25 \cdot - 2}{25 \cdot 25}$

Schritt 7.2.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (2) = - \frac{- 2}{25}$

Schritt 7.2.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (2) = \frac{2}{25}$

Schritt 7.2.4

Die endgültige Lösung ist $\frac{2}{25}$ .

$\frac{2}{25}$

Schritt 7.3

Bei $2$ ist die zweite Ableitung $0.08$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- 3, 7)$ .

Ansteigend im Intervall $(- 3, 7)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(7, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $7.1$ .

$f'' (7.1) = - \frac{2 ((7.1) + 3) ((7.1) - 7)}{{({(7.1)}^{2} - 4 \cdot 7.1 + 29)}^{2}}$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.1.1

Addiere $7.1$ und $3$ .

$f'' (7.1) = - \frac{2 \cdot (10.1 (7.1 - 7))}{{({7.1}^{2} - 4 \cdot 7.1 + 29)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.2

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 8.2.1.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $10.1$ .

$f'' (7.1) = - \frac{20.2 (7.1 - 7)}{{({7.1}^{2} - 4 \cdot 7.1 + 29)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.2.2

Mutltipliziere $20.2$ mit $7.1 - 7$ .

$f'' (7.1) = - \frac{2.02}{{({7.1}^{2} - 4 \cdot 7.1 + 29)}^{2}}$

Schritt 8.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.2.2.1

Potenziere $7.1$ mit $2$ .

$f'' (7.1) = - \frac{2.02}{{(50.41 - 4 \cdot 7.1 + 29)}^{2}}$

Schritt 8.2.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $7.1$ .

$f'' (7.1) = - \frac{2.02}{{(50.41 - 28.4 + 29)}^{2}}$

Schritt 8.2.2.3

Subtrahiere $28.4$ von $50.41$ .

$f'' (7.1) = - \frac{2.02}{{(22.01 + 29)}^{2}}$

Schritt 8.2.2.4

Addiere $22.01$ und $29$ .

$f'' (7.1) = - \frac{2.02}{{51.01}^{2}}$

Schritt 8.2.2.5

Potenziere $51.01$ mit $2$ .

$f'' (7.1) = - \frac{2.02}{2602.0201}$

Schritt 8.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.2.3.1

Dividiere $2.02$ durch $2602.0201$ .

$f'' (7.1) = - 1 \cdot 0.00077631$

Schritt 8.2.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.00077631$ .

$f'' (7.1) = - 0.00077631$

Schritt 8.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 0.00077631$ .

$- 0.00077631$

Schritt 8.3

Bei $7.1$ , die zweite Ableitung ist $- 0.00077631$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(7, \infty)$

Abfallend im Intervall $(7, \infty)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 9

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall sind die Wendepunkte $(- 3, \ln (50)), (7, \ln (50))$ .

$(- 3, \ln (50)), (7, \ln (50))$

Schritt 10