Analysis Beispiele

$f (x) = x + 5 \cos (x)$

Schritt 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Schritt 1.1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 5 \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5 \cos (x)]$

Schritt 1.1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [5 \cos (x)]$

Schritt 1.1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [5 \cos (x)]$ .

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Schritt 1.1.1.2.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 \cos (x)$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$1 + 5 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 1.1.1.2.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$1 + 5 (- \sin (x))$

Schritt 1.1.1.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$f' (x) = 1 - 5 \sin (x)$

Schritt 1.1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1.2.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - 5 \sin (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 5 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 5 \sin (x)]$

Schritt 1.1.2.1.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 5 \sin (x)]$

Schritt 1.1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 5 \sin (x)]$ .

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Schritt 1.1.2.2.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 \sin (x)$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$0 - 5 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 1.1.2.2.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$0 - 5 \cos (x)$

Schritt 1.1.2.3

Subtrahiere $5 \cos (x)$ von $0$ .

$f'' (x) = - 5 \cos (x)$

Schritt 1.1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 5 \cos (x)$ .

$- 5 \cos (x)$

Schritt 1.2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 5 \cos (x) = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$- 5 \cos (x) = 0$

Schritt 1.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- 5 \cos (x) = 0$ durch $- 5$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 5 \cos (x) = 0$ durch $- 5$ .

$\frac{- 5 \cos (x)}{- 5} = \frac{0}{- 5}$

Schritt 1.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 5$ .

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Schritt 1.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 5 \cos (x)}{- 5} = \frac{0}{- 5}$

Schritt 1.2.2.2.1.2

Dividiere $\cos (x)$ durch $1$ .

$\cos (x) = \frac{0}{- 5}$

Schritt 1.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.2.3.1

Dividiere $0$ durch $- 5$ .

$\cos (x) = 0$

Schritt 1.2.3

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (0)$

Schritt 1.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.1

Der genau Wert von $\arccos (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 1.2.5

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Schritt 1.2.6

Vereinfache $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 1.2.6.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 1.2.6.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.2.6.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 1.2.6.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 1.2.6.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.6.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Schritt 1.2.6.3.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 1.2.7

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 1.2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 1.2.7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 1.2.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 1.2.7.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 1.2.8

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 1.2.9

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 3

Erzeuge Intervalle um die $x$ -Werte, wo die 2. Ableitung 0 ist oder nicht definiert ist.

$(- \infty, \infty)$

Schritt 4

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- \infty, \infty)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f'' (0) = - 5 \cos (0)$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$f'' (0) = - 5 \cdot 1$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$f'' (0) = - 5$

Schritt 4.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 5$ .

$- 5$

Schritt 4.3

Der Graph ist im Intervall $(- \infty, \infty)$ konkav, weil $f'' (0)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $(- \infty, \infty)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 5