Analysis Beispiele

$y = \frac{(1 + x)}{(1 + x^{2})}$

Schritt 1

Schreibe $y = \frac{(1 + x)}{(1 + x^{2})}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{(1 + x)}{(1 + x^{2})}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 1 + x$ und $g (x) = 1 + x^{2}$ .

$\frac{(1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.2

Differenziere.

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Schritt 2.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(1 + x^{2}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(1 + x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(1 + x^{2}) \cdot 1 - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.5

Mutltipliziere $1 + x^{2}$ mit $1$ .

$\frac{1 + x^{2} - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1 + x^{2} - (1 + x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.7

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1 + x^{2} - (1 + x) (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.8

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1 + x^{2} - (1 + x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1 + x^{2} - (1 + x) (2 x)}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.10

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1 + x^{2} - 2 (1 + x) x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.3

Vereinfache.

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Schritt 2.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 + x^{2} + (- 2 \cdot 1 - 2 x) x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 + x^{2} - 2 \cdot 1 x - 2 x \cdot x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.3.3.1.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{1 + x^{2} - 2 x - 2 x \cdot x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.3.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.3.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{1 + x^{2} - 2 x - 2 (x \cdot x)}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.3.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{1 + x^{2} - 2 x - 2 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.3.3.2

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$\frac{1 - x^{2} - 2 x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.3.4

Stelle die Terme um.

$\frac{- x^{2} - 2 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2}$ heraus.

$\frac{- (x^{2}) - 2 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{- (x^{2}) - (2 x) + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2}) - (2 x)$ heraus.

$\frac{- (x^{2} + 2 x) + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.8

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{- (x^{2} + 2 x) - 1 (- 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2} + 2 x) - 1 (- 1)$ heraus.

$\frac{- (x^{2} + 2 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.10

Schreibe $- (x^{2} + 2 x - 1)$ als $- 1 (x^{2} + 2 x - 1)$ um.

$\frac{- 1 (x^{2} + 2 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = - 1$ und $g (x) = \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}] + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.2.2

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 1] - (x^{2} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.2.3

Differenziere.

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Schritt 2.2.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 1] - (x^{2} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.2.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 1] - (x^{2} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.2.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 2 x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.2.3.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.2.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.2.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.2.3.7

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 2 + 0) - (x^{2} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.2.3.8

Addiere $2 x + 2$ und $0$ .

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Schritt 2.2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 1) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 1) (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.2.4.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 1) (2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.2.5

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 2.2.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 1) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.2.5.2

Faktorisiere $x^{2} + 1$ aus ${(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 1) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ heraus.

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Schritt 2.2.5.2.1

Faktorisiere $x^{2} + 1$ aus ${(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 2)$ heraus.

$- \frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (2 x + 2)) - 2 (x^{2} + 2 x - 1) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.2.5.2.2

Faktorisiere $x^{2} + 1$ aus $- 2 (x^{2} + 2 x - 1) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ heraus.

$- \frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (2 x + 2)) + (x^{2} + 1) (- 2 (x^{2} + 2 x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.2.5.2.3

Faktorisiere $x^{2} + 1$ aus $(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (2 x + 2)) + (x^{2} + 1) (- 2 (x^{2} + 2 x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))$ heraus.

$- \frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.2.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.6.1

Faktorisiere $x^{2} + 1$ aus ${(x^{2} + 1)}^{4}$ heraus.

$- \frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.2.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.2.6.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.2.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.2.9

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.2.10

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.10.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 1) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.2.10.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) - 4 (x^{2} + 2 x - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.2.11

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) - 4 (x^{2} + 2 x - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot 0$

Schritt 2.2.12

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.12.1

Mutltipliziere $\frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ mit $0$ .

$- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) - 4 (x^{2} + 2 x - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + 0$

Schritt 2.2.12.2

Addiere $- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) - 4 (x^{2} + 2 x - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ und $0$ .

$- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) - 4 (x^{2} + 2 x - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.2.13

Vereinfache.

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Schritt 2.2.13.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) + (- 4 x^{2} - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.2.13.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.2.13.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.13.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.13.3.1.1

Multipliziere $(x^{2} + 1) (2 x + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.13.3.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{x^{2} (2 x + 2) + 1 (2 x + 2) - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.2.13.3.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 + 1 (2 x + 2) - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.2.13.3.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.2.13.3.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.13.3.1.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- \frac{2 x^{2} x + x^{2} \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.2.13.3.1.2.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.13.3.1.2.2.1

Bewege $x$ .

$- \frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.2.13.3.1.2.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 2.2.13.3.1.2.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- \frac{2 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.2.13.3.1.2.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.2.13.3.1.2.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$- \frac{2 x^{3} + x^{2} \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.2.13.3.1.2.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$- \frac{2 x^{3} + 2 \cdot x^{2} + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.2.13.3.1.2.4

Mutltipliziere $2 x$ mit $1$ .

$- \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 1 \cdot 2 - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.2.13.3.1.2.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 2 - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.2.13.3.1.3

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.13.3.1.3.1

Bewege $x$ .

$- \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 2 - 4 (x \cdot x^{2}) - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.2.13.3.1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.13.3.1.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 2 - 4 (x^{1} x^{2}) - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.2.13.3.1.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 2 - 4 x^{1 + 2} - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.2.13.3.1.3.3

Addiere $1$ und $2$ .

$- \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 2 - 4 x^{3} - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.2.13.3.1.4

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.13.3.1.4.1

Bewege $x$ .

$- \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 2 - 4 x^{3} - 4 (2 (x \cdot x)) - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.2.13.3.1.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$- \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 2 - 4 x^{3} - 4 (2 x^{2}) - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.2.13.3.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$- \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 2 - 4 x^{3} - 8 x^{2} - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.2.13.3.1.6

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$- \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 2 - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.2.13.3.2

Subtrahiere $4 x^{3}$ von $2 x^{3}$ .

$- \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 2 - 8 x^{2} + 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.2.13.3.3

Subtrahiere $8 x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$- \frac{- 2 x^{3} - 6 x^{2} + 2 x + 2 + 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.2.13.3.4

Addiere $2 x$ und $4 x$ .

$- \frac{- 2 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 2}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.2.13.4

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 2$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.13.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x^{3}$ heraus.

$- \frac{2 (- x^{3}) - 6 x^{2} + 6 x + 2}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.2.13.4.2

Faktorisiere $2$ aus $- 6 x^{2}$ heraus.

$- \frac{2 (- x^{3}) + 2 (- 3 x^{2}) + 6 x + 2}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.2.13.4.3

Faktorisiere $2$ aus $6 x$ heraus.

$- \frac{2 (- x^{3}) + 2 (- 3 x^{2}) + 2 (3 x) + 2}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.2.13.4.4

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- \frac{2 (- x^{3}) + 2 (- 3 x^{2}) + 2 (3 x) + 2 (1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.2.13.4.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (- x^{3}) + 2 (- 3 x^{2})$ heraus.

$- \frac{2 (- x^{3} - 3 x^{2}) + 2 (3 x) + 2 (1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.2.13.4.6

Faktorisiere $2$ aus $2 (- x^{3} - 3 x^{2}) + 2 (3 x)$ heraus.

$- \frac{2 (- x^{3} - 3 x^{2} + 3 x) + 2 (1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.2.13.4.7

Faktorisiere $2$ aus $2 (- x^{3} - 3 x^{2} + 3 x) + 2 (1)$ heraus.

$- \frac{2 (- x^{3} - 3 x^{2} + 3 x + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.2.13.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{3}$ heraus.

$- \frac{2 (- (x^{3}) - 3 x^{2} + 3 x + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.2.13.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$- \frac{2 (- (x^{3}) - (3 x^{2}) + 3 x + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.2.13.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{3}) - (3 x^{2})$ heraus.

$- \frac{2 (- (x^{3} + 3 x^{2}) + 3 x + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.2.13.8

Faktorisiere $- 1$ aus $3 x$ heraus.

$- \frac{2 (- (x^{3} + 3 x^{2}) - (- 3 x) + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.2.13.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{3} + 3 x^{2}) - (- 3 x)$ heraus.

$- \frac{2 (- (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x) + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.2.13.10

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$- \frac{2 (- (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x) - 1 (- 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.2.13.11

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x) - 1 (- 1)$ heraus.

$- \frac{2 (- (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.2.13.12

Schreibe $- (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)$ als $- 1 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)$ um.

$- \frac{2 (- 1 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.2.13.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- - \frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.2.13.14

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.2.13.15

Mutltipliziere $\frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ .

$\frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}} = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$\frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}} = 0$

Schritt 3.2

Setze den Zähler gleich Null.

$2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1) = 0$

Schritt 3.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1) = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1) = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 3.3.1.2.1.2

Dividiere $x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1$ durch $1$ .

$x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1 = \frac{0}{2}$

Schritt 3.3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1 = 0$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Gruppiere die Terme um.

$x^{3} - 1 + 3 x^{2} - 3 x = 0$

Schritt 3.3.2.2

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$x^{3} - 1^{3} + 3 x^{2} - 3 x = 0$

Schritt 3.3.2.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2}) + 3 x^{2} - 3 x = 0$

Schritt 3.3.2.4

Vereinfache.

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Schritt 3.3.2.4.1

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2}) + 3 x^{2} - 3 x = 0$

Schritt 3.3.2.4.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) + 3 x^{2} - 3 x = 0$

Schritt 3.3.2.5

Faktorisiere $3 x$ aus $3 x^{2} - 3 x$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.5.1

Faktorisiere $3 x$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) + 3 x (x) - 3 x = 0$

Schritt 3.3.2.5.2

Faktorisiere $3 x$ aus $- 3 x$ heraus.

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) + 3 x (x) + 3 x (- 1) = 0$

Schritt 3.3.2.5.3

Faktorisiere $3 x$ aus $3 x (x) + 3 x (- 1)$ heraus.

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) + 3 x (x - 1) = 0$

Schritt 3.3.2.6

Faktorisiere $x - 1$ aus $(x - 1) (x^{2} + x + 1) + 3 x (x - 1)$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.6.1

Faktorisiere $x - 1$ aus $3 x (x - 1)$ heraus.

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) + (x - 1) (3 x) = 0$

Schritt 3.3.2.6.2

Faktorisiere $x - 1$ aus $(x - 1) (x^{2} + x + 1) + (x - 1) (3 x)$ heraus.

$(x - 1) (x^{2} + x + 1 + 3 x) = 0$

Schritt 3.3.2.7

Addiere $x$ und $3 x$ .

$(x - 1) (x^{2} + 4 x + 1) = 0$

Schritt 3.3.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

$x^{2} + 4 x + 1 = 0$

Schritt 3.3.4

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.4.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 3.3.4.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 3.3.5

Setze $x^{2} + 4 x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.5.1

Setze $x^{2} + 4 x + 1$ gleich $0$ .

$x^{2} + 4 x + 1 = 0$

Schritt 3.3.5.2

Löse $x^{2} + 4 x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.5.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.3.5.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 4$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.5.2.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.5.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.5.2.3.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.5.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.5.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.5.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.5.2.3.1.3

Subtrahiere $4$ von $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.5.2.3.1.4

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.5.2.3.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.5.2.3.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.5.2.3.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.5.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 3.3.5.2.3.3

Vereinfache $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{3}$

Schritt 3.3.5.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 3.3.5.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.5.2.4.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.5.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.5.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.5.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.5.2.4.1.3

Subtrahiere $4$ von $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.5.2.4.1.4

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.5.2.4.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.5.2.4.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.5.2.4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.5.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 3.3.5.2.4.3

Vereinfache $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{3}$

Schritt 3.3.5.2.4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = - 2 + \sqrt{3}$

Schritt 3.3.5.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 3.3.5.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.5.2.5.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.5.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Schritt 3.3.5.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.5.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.5.2.5.1.3

Subtrahiere $4$ von $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.5.2.5.1.4

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.5.2.5.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.5.2.5.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.5.2.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.5.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 3.3.5.2.5.3

Vereinfache $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{3}$

Schritt 3.3.5.2.5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = - 2 - \sqrt{3}$

Schritt 3.3.5.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - 2 + \sqrt{3}, - 2 - \sqrt{3}$

Schritt 3.3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 1) (x^{2} + 4 x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = 1, - 2 + \sqrt{3}, - 2 - \sqrt{3}$

Schritt 4

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 4.1

Ersetze $1$ in $f (x) = \frac{1 + x}{1 + x^{2}}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = \frac{1 + 1}{1 + {(1)}^{2}}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1.1

Entferne die Klammern.

$f (1) = \frac{1 + 1}{1 + {(1)}^{2}}$

Schritt 4.1.2.1.2

Addiere $1$ und $1$ .

$f (1) = \frac{2}{1 + 1^{2}}$

Schritt 4.1.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1.2.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = \frac{2}{1 + 1}$

Schritt 4.1.2.2.2

Addiere $1$ und $1$ .

$f (1) = \frac{2}{2}$

Schritt 4.1.2.3

Dividiere $2$ durch $2$ .

$f (1) = 1$

Schritt 4.1.2.4

Die endgültige Lösung ist $1$ .

$1$

Schritt 4.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $1$ in $f (x) = \frac{1 + x}{1 + x^{2}}$ ermittelt werden kann, ist $(1, 1)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(1, 1)$

Schritt 4.3

Ersetze $- 2 + \sqrt{3}$ in $f (x) = \frac{1 + x}{1 + x^{2}}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2 + \sqrt{3}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{1 - 2 + \sqrt{3}}{1 + {(- 2 + \sqrt{3})}^{2}}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1.1

Entferne die Klammern.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{1 - 2 + \sqrt{3}}{1 + {(- 2 + \sqrt{3})}^{2}}$

Schritt 4.3.2.1.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + {(- 2 + \sqrt{3})}^{2}}$

Schritt 4.3.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.2.1

Schreibe ${(- 2 + \sqrt{3})}^{2}$ als $(- 2 + \sqrt{3}) (- 2 + \sqrt{3})$ um.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + (- 2 + \sqrt{3}) (- 2 + \sqrt{3})}$

Schritt 4.3.2.2.2

Multipliziere $(- 2 + \sqrt{3}) (- 2 + \sqrt{3})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 - 2 (- 2 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (- 2 + \sqrt{3})}$

Schritt 4.3.2.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 - 2 \cdot - 2 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} (- 2 + \sqrt{3})}$

Schritt 4.3.2.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 - 2 \cdot - 2 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot - 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 4.3.2.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.2.3.1.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + 4 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot - 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 4.3.2.2.3.1.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $\sqrt{3}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + 4 - 2 \sqrt{3} - 2 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 4.3.2.2.3.1.3

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + 4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}$

Schritt 4.3.2.2.3.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + 4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{9}}$

Schritt 4.3.2.2.3.1.5

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + 4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}$

Schritt 4.3.2.2.3.1.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + 4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3}$

Schritt 4.3.2.2.3.2

Addiere $4$ und $3$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + 7 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}}$

Schritt 4.3.2.2.3.3

Subtrahiere $2 \sqrt{3}$ von $- 2 \sqrt{3}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + 7 - 4 \sqrt{3}}$

Schritt 4.3.2.2.4

Addiere $1$ und $7$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{8 - 4 \sqrt{3}}$

Schritt 4.3.2.3

Mutltipliziere $\frac{- 1 + \sqrt{3}}{8 - 4 \sqrt{3}}$ mit $\frac{8 + 4 \sqrt{3}}{8 + 4 \sqrt{3}}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{8 - 4 \sqrt{3}} \cdot \frac{8 + 4 \sqrt{3}}{8 + 4 \sqrt{3}}$

Schritt 4.3.2.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.3.2.4.1

Mutltipliziere $\frac{- 1 + \sqrt{3}}{8 - 4 \sqrt{3}}$ mit $\frac{8 + 4 \sqrt{3}}{8 + 4 \sqrt{3}}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{(- 1 + \sqrt{3}) (8 + 4 \sqrt{3})}{(8 - 4 \sqrt{3}) (8 + 4 \sqrt{3})}$

Schritt 4.3.2.4.2

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{(- 1 + \sqrt{3}) (8 + 4 \sqrt{3})}{64 + 32 \sqrt{3} - 32 \sqrt{3} - 16 {\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 4.3.2.4.3

Vereinfache.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{(- 1 + \sqrt{3}) (8 + 4 \sqrt{3})}{16}$

Schritt 4.3.2.4.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8 + 4 \sqrt{3}$ und $16$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.4.4.1

Faktorisiere $4$ aus $(- 1 + \sqrt{3}) (8 + 4 \sqrt{3})$ heraus.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{4 ((- 1 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3}))}{16}$

Schritt 4.3.2.4.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.2.4.4.2.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{4 ((- 1 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3}))}{4 (4)}$

Schritt 4.3.2.4.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{4 ((- 1 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3}))}{4 \cdot 4}$

Schritt 4.3.2.4.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{(- 1 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})}{4}$

Schritt 4.3.2.5

Multipliziere $(- 1 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 (2 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (2 + \sqrt{3})}{4}$

Schritt 4.3.2.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 \cdot 2 - 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} (2 + \sqrt{3})}{4}$

Schritt 4.3.2.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 \cdot 2 - 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Schritt 4.3.2.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.3.2.6.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.6.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 2 - 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Schritt 4.3.2.6.1.2

Schreibe $- 1 \sqrt{3}$ als $- \sqrt{3}$ um.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 2 - \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Schritt 4.3.2.6.1.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sqrt{3}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 2 - \sqrt{3} + 2 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Schritt 4.3.2.6.1.4

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 2 - \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{4}$

Schritt 4.3.2.6.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 2 - \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{9}}{4}$

Schritt 4.3.2.6.1.6

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 2 - \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{4}$

Schritt 4.3.2.6.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 2 - \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3}{4}$

Schritt 4.3.2.6.2

Addiere $- 2$ und $3$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{1 - \sqrt{3} + 2 \sqrt{3}}{4}$

Schritt 4.3.2.6.3

Addiere $- \sqrt{3}$ und $2 \sqrt{3}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{1 + \sqrt{3}}{4}$

Schritt 4.3.2.7

Die endgültige Lösung ist $\frac{1 + \sqrt{3}}{4}$ .

$\frac{1 + \sqrt{3}}{4}$

Schritt 4.4

Der Punkt, der durch Einsetzen von $- 2 + \sqrt{3}$ in $f (x) = \frac{1 + x}{1 + x^{2}}$ ermittelt werden kann, ist $(- 2 + \sqrt{3}, \frac{1 + \sqrt{3}}{4})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(- 2 + \sqrt{3}, \frac{1 + \sqrt{3}}{4})$

Schritt 4.5

Ersetze $- 2 - \sqrt{3}$ in $f (x) = \frac{1 + x}{1 + x^{2}}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2 - \sqrt{3}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1 - 2 - \sqrt{3}}{1 + {(- 2 - \sqrt{3})}^{2}}$

Schritt 4.5.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.2.1.1

Entferne die Klammern.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1 - 2 - \sqrt{3}}{1 + {(- 2 - \sqrt{3})}^{2}}$

Schritt 4.5.2.1.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + {(- 2 - \sqrt{3})}^{2}}$

Schritt 4.5.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.2.2.1

Schreibe ${(- 2 - \sqrt{3})}^{2}$ als $(- 2 - \sqrt{3}) (- 2 - \sqrt{3})$ um.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + (- 2 - \sqrt{3}) (- 2 - \sqrt{3})}$

Schritt 4.5.2.2.2

Multipliziere $(- 2 - \sqrt{3}) (- 2 - \sqrt{3})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.2.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 - 2 (- 2 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (- 2 - \sqrt{3})}$

Schritt 4.5.2.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 - 2 \cdot - 2 - 2 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (- 2 - \sqrt{3})}$

Schritt 4.5.2.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 - 2 \cdot - 2 - 2 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot - 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}$

Schritt 4.5.2.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.2.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.2.2.3.1.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 - 2 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot - 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}$

Schritt 4.5.2.2.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot - 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}$

Schritt 4.5.2.2.3.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}$

Schritt 4.5.2.2.3.1.4

Multipliziere $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.2.2.3.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 4.5.2.2.3.1.4.2

Mutltipliziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 4.5.2.2.3.1.4.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 4.5.2.2.3.1.4.4

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 4.5.2.2.3.1.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.5.2.2.3.1.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 4.5.2.2.3.1.5

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.2.2.3.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.5.2.2.3.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.5.2.2.3.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.5.2.2.3.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.2.2.3.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.5.2.2.3.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3}$

Schritt 4.5.2.2.3.1.5.5

Berechne den Exponenten.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3}$

Schritt 4.5.2.2.3.2

Addiere $4$ und $3$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 7 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3}}$

Schritt 4.5.2.2.3.3

Addiere $2 \sqrt{3}$ und $2 \sqrt{3}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 7 + 4 \sqrt{3}}$

Schritt 4.5.2.2.4

Addiere $1$ und $7$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{8 + 4 \sqrt{3}}$

Schritt 4.5.2.3

Mutltipliziere $\frac{- 1 - \sqrt{3}}{8 + 4 \sqrt{3}}$ mit $\frac{8 - 4 \sqrt{3}}{8 - 4 \sqrt{3}}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{8 + 4 \sqrt{3}} \cdot \frac{8 - 4 \sqrt{3}}{8 - 4 \sqrt{3}}$

Schritt 4.5.2.4

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.2.4.1

Mutltipliziere $\frac{- 1 - \sqrt{3}}{8 + 4 \sqrt{3}}$ mit $\frac{8 - 4 \sqrt{3}}{8 - 4 \sqrt{3}}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (8 - 4 \sqrt{3})}{(8 + 4 \sqrt{3}) (8 - 4 \sqrt{3})}$

Schritt 4.5.2.4.2

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (8 - 4 \sqrt{3})}{64 - 32 \sqrt{3} + 32 \sqrt{3} - 16 {\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 4.5.2.4.3

Vereinfache.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (8 - 4 \sqrt{3})}{16}$

Schritt 4.5.2.4.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8 - 4 \sqrt{3}$ und $16$ .

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Schritt 4.5.2.4.4.1

Faktorisiere $4$ aus $(- 1 - \sqrt{3}) (8 - 4 \sqrt{3})$ heraus.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{4 ((- 1 - \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3}))}{16}$

Schritt 4.5.2.4.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.2.4.4.2.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{4 ((- 1 - \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3}))}{4 (4)}$

Schritt 4.5.2.4.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{4 ((- 1 - \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3}))}{4 \cdot 4}$

Schritt 4.5.2.4.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})}{4}$

Schritt 4.5.2.5

Multipliziere $(- 1 - \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 (2 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (2 - \sqrt{3})}{4}$

Schritt 4.5.2.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 \cdot 2 - 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (2 - \sqrt{3})}{4}$

Schritt 4.5.2.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 \cdot 2 - 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{4}$

Schritt 4.5.2.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.2.6.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.2.6.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 - 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{4}$

Schritt 4.5.2.6.1.2

Multipliziere $- 1 (- \sqrt{3})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.2.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + 1 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{4}$

Schritt 4.5.2.6.1.2.2

Mutltipliziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{4}$

Schritt 4.5.2.6.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{4}$

Schritt 4.5.2.6.1.4

Multipliziere $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.2.6.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Schritt 4.5.2.6.1.4.2

Mutltipliziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Schritt 4.5.2.6.1.4.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Schritt 4.5.2.6.1.4.4

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Schritt 4.5.2.6.1.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{4}$

Schritt 4.5.2.6.1.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}}{4}$

Schritt 4.5.2.6.1.5

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 4.5.2.6.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Schritt 4.5.2.6.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Schritt 4.5.2.6.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{4}$

Schritt 4.5.2.6.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.5.2.6.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{4}$

Schritt 4.5.2.6.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3}{4}$

Schritt 4.5.2.6.1.5.5

Berechne den Exponenten.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3}{4}$

Schritt 4.5.2.6.2

Addiere $- 2$ und $3$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}}{4}$

Schritt 4.5.2.6.3

Subtrahiere $2 \sqrt{3}$ von $\sqrt{3}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1 - \sqrt{3}}{4}$

Schritt 4.5.2.7

Die endgültige Lösung ist $\frac{1 - \sqrt{3}}{4}$ .

$\frac{1 - \sqrt{3}}{4}$

Schritt 4.6

Der Punkt, der durch Einsetzen von $- 2 - \sqrt{3}$ in $f (x) = \frac{1 + x}{1 + x^{2}}$ ermittelt werden kann, ist $(- 2 - \sqrt{3}, \frac{1 - \sqrt{3}}{4})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(- 2 - \sqrt{3}, \frac{1 - \sqrt{3}}{4})$

Schritt 4.7

Bestimme die Punkte, die Wendepunkte sein könnten.

$(1, 1), (- 2 + \sqrt{3}, \frac{1 + \sqrt{3}}{4}), (- 2 - \sqrt{3}, \frac{1 - \sqrt{3}}{4})$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, - 2 - \sqrt{3}) \cup (- 2 - \sqrt{3}, - 2 + \sqrt{3}) \cup (- 2 + \sqrt{3}, 1) \cup (1, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 2 - \sqrt{3})$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 3.8320508$ .

$f'' (- 3.8320508) = \frac{2 ({(- 3.8320508)}^{3} + 3 {(- 3.8320508)}^{2} - 3 \cdot - 3.8320508 - 1)}{{({(- 3.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $- 3.8320508$ mit $3$ .

$f'' (- 3.8320508) = \frac{2 (- 56.2721846 + 3 {(- 3.8320508)}^{2} - 3 \cdot - 3.8320508 - 1)}{{({(- 3.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 6.2.1.2

Potenziere $- 3.8320508$ mit $2$ .

$f'' (- 3.8320508) = \frac{2 (- 56.2721846 + 3 \cdot 14.68461339 - 3 \cdot - 3.8320508 - 1)}{{({(- 3.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $14.68461339$ .

$f'' (- 3.8320508) = \frac{2 (- 56.2721846 + 44.05384017 - 3 \cdot - 3.8320508 - 1)}{{({(- 3.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 6.2.1.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 3.8320508$ .

$f'' (- 3.8320508) = \frac{2 (- 56.2721846 + 44.05384017 + 11.49615242 - 1)}{{({(- 3.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 6.2.1.5

Addiere $- 56.2721846$ und $44.05384017$ .

$f'' (- 3.8320508) = \frac{2 (- 12.21834443 + 11.49615242 - 1)}{{({(- 3.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 6.2.1.6

Addiere $- 12.21834443$ und $11.49615242$ .

$f'' (- 3.8320508) = \frac{2 (- 0.722192 - 1)}{{({(- 3.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 6.2.1.7

Subtrahiere $1$ von $- 0.722192$ .

$f'' (- 3.8320508) = \frac{2 \cdot - 1.722192}{{({(- 3.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.2.1

Potenziere $- 3.8320508$ mit $2$ .

$f'' (- 3.8320508) = \frac{2 \cdot - 1.722192}{{(14.68461339 + 1)}^{3}}$

Schritt 6.2.2.2

Addiere $14.68461339$ und $1$ .

$f'' (- 3.8320508) = \frac{2 \cdot - 1.722192}{{15.68461339}^{3}}$

Schritt 6.2.2.3

Potenziere $15.68461339$ mit $3$ .

$f'' (- 3.8320508) = \frac{2 \cdot - 1.722192}{3858.526212}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.2.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1.722192$ .

$f'' (- 3.8320508) = \frac{- 3.44438401}{3858.526212}$

Schritt 6.2.3.2

Dividiere $- 3.44438401$ durch $3858.526212$ .

$f'' (- 3.8320508) = - 0.00089266$

Schritt 6.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 0.00089266$ .

$- 0.00089266$

Schritt 6.3

Bei $- 3.8320508$ , die zweite Ableitung ist $- 0.00089266$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- \infty, - 2 - \sqrt{3})$

Abfallend im Intervall $(- \infty, - 2 - \sqrt{3})$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 2 - \sqrt{3}, - 2 + \sqrt{3})$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f'' (- 2) = \frac{2 ({(- 2)}^{3} + 3 {(- 2)}^{2} - 3 \cdot - 2 - 1)}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.1.1

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$f'' (- 2) = \frac{2 (- 8 + 3 {(- 2)}^{2} - 3 \cdot - 2 - 1)}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 7.2.1.2

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$f'' (- 2) = \frac{2 (- 8 + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 2 - 1)}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 7.2.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$f'' (- 2) = \frac{2 (- 8 + 12 - 3 \cdot - 2 - 1)}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 7.2.1.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 2$ .

$f'' (- 2) = \frac{2 (- 8 + 12 + 6 - 1)}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 7.2.1.5

Addiere $- 8$ und $12$ .

$f'' (- 2) = \frac{2 (4 + 6 - 1)}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 7.2.1.6

Addiere $4$ und $6$ .

$f'' (- 2) = \frac{2 (10 - 1)}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 7.2.1.7

Subtrahiere $1$ von $10$ .

$f'' (- 2) = \frac{2 \cdot 9}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.2.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$f'' (- 2) = \frac{2 \cdot 9}{{(4 + 1)}^{3}}$

Schritt 7.2.2.2

Addiere $4$ und $1$ .

$f'' (- 2) = \frac{2 \cdot 9}{5^{3}}$

Schritt 7.2.2.3

Potenziere $5$ mit $3$ .

$f'' (- 2) = \frac{2 \cdot 9}{125}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.2.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$f'' (- 2) = \frac{18}{125}$

Schritt 7.2.3.2

Dividiere $18$ durch $125$ .

$f'' (- 2) = 0.144$

Schritt 7.2.4

Die endgültige Lösung ist $0.144$ .

$0.144$

Schritt 7.3

Bei $- 2$ ist die zweite Ableitung $0.144$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- 2 - \sqrt{3}, - 2 + \sqrt{3})$ .

Ansteigend im Intervall $(- 2 - \sqrt{3}, - 2 + \sqrt{3})$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 2 + \sqrt{3}, 1)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.3660254$ .

$f'' (0.3660254) = \frac{2 ({(0.3660254)}^{3} + 3 {(0.3660254)}^{2} - 3 \cdot 0.3660254 - 1)}{{({(0.3660254)}^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.1.1

Potenziere $0.3660254$ mit $3$ .

$f'' (0.3660254) = \frac{2 (0.0490381 + 3 \cdot {0.3660254}^{2} - 3 \cdot 0.3660254 - 1)}{{({0.3660254}^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 8.2.1.2

Potenziere $0.3660254$ mit $2$ .

$f'' (0.3660254) = \frac{2 (0.0490381 + 3 \cdot 0.13397459 - 3 \cdot 0.3660254 - 1)}{{({0.3660254}^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 8.2.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $0.13397459$ .

$f'' (0.3660254) = \frac{2 (0.0490381 + 0.40192378 - 3 \cdot 0.3660254 - 1)}{{({0.3660254}^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 8.2.1.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $0.3660254$ .

$f'' (0.3660254) = \frac{2 (0.0490381 + 0.40192378 - 1.09807621 - 1)}{{({0.3660254}^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 8.2.1.5

Addiere $0.0490381$ und $0.40192378$ .

$f'' (0.3660254) = \frac{2 (0.45096189 - 1.09807621 - 1)}{{({0.3660254}^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 8.2.1.6

Subtrahiere $1.09807621$ von $0.45096189$ .

$f'' (0.3660254) = \frac{2 (- 0.64711431 - 1)}{{({0.3660254}^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 8.2.1.7

Subtrahiere $1$ von $- 0.64711431$ .

$f'' (0.3660254) = \frac{2 \cdot - 1.64711431}{{({0.3660254}^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 8.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.2.2.1

Potenziere $0.3660254$ mit $2$ .

$f'' (0.3660254) = \frac{2 \cdot - 1.64711431}{{(0.13397459 + 1)}^{3}}$

Schritt 8.2.2.2

Addiere $0.13397459$ und $1$ .

$f'' (0.3660254) = \frac{2 \cdot - 1.64711431}{{1.13397459}^{3}}$

Schritt 8.2.2.3

Potenziere $1.13397459$ mit $3$ .

$f'' (0.3660254) = \frac{2 \cdot - 1.64711431}{1.4581761}$

Schritt 8.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1.64711431$ .

$f'' (0.3660254) = \frac{- 3.29422863}{1.4581761}$

Schritt 8.2.3.2

Dividiere $- 3.29422863$ durch $1.4581761$ .

$f'' (0.3660254) = - 2.2591432$

Schritt 8.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 2.2591432$ .

$- 2.2591432$

Schritt 8.3

Bei $0.3660254$ , die zweite Ableitung ist $- 2.2591432$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- 2 + \sqrt{3}, 1)$

Abfallend im Intervall $(- 2 + \sqrt{3}, 1)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 9

Setze einen Wert aus dem Intervall $(1, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 9.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1.1$ .

$f'' (1.1) = \frac{2 ({(1.1)}^{3} + 3 {(1.1)}^{2} - 3 \cdot 1.1 - 1)}{{({(1.1)}^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 9.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 9.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.2.1.1

Potenziere $1.1$ mit $3$ .

$f'' (1.1) = \frac{2 (1.331 + 3 \cdot {1.1}^{2} - 3 \cdot 1.1 - 1)}{{({1.1}^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 9.2.1.2

Potenziere $1.1$ mit $2$ .

$f'' (1.1) = \frac{2 (1.331 + 3 \cdot 1.21 - 3 \cdot 1.1 - 1)}{{({1.1}^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 9.2.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $1.21$ .

$f'' (1.1) = \frac{2 (1.331 + 3.63 - 3 \cdot 1.1 - 1)}{{({1.1}^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 9.2.1.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $1.1$ .

$f'' (1.1) = \frac{2 (1.331 + 3.63 - 3.3 - 1)}{{({1.1}^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 9.2.1.5

Addiere $1.331$ und $3.63$ .

$f'' (1.1) = \frac{2 (4.961 - 3.3 - 1)}{{({1.1}^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 9.2.1.6

Subtrahiere $3.3$ von $4.961$ .

$f'' (1.1) = \frac{2 (1.661 - 1)}{{({1.1}^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 9.2.1.7

Subtrahiere $1$ von $1.661$ .

$f'' (1.1) = \frac{2 \cdot 0.661}{{({1.1}^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 9.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.2.1

Potenziere $1.1$ mit $2$ .

$f'' (1.1) = \frac{2 \cdot 0.661}{{(1.21 + 1)}^{3}}$

Schritt 9.2.2.2

Addiere $1.21$ und $1$ .

$f'' (1.1) = \frac{2 \cdot 0.661}{{2.21}^{3}}$

Schritt 9.2.2.3

Potenziere $2.21$ mit $3$ .

$f'' (1.1) = \frac{2 \cdot 0.661}{10.793861}$

Schritt 9.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.2.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $0.661$ .

$f'' (1.1) = \frac{1.322}{10.793861}$

Schritt 9.2.3.2

Dividiere $1.322$ durch $10.793861$ .

$f'' (1.1) = 0.12247702$

Schritt 9.2.4

Die endgültige Lösung ist $0.12247702$ .

$0.12247702$

Schritt 9.3

Bei $1.1$ ist die zweite Ableitung $0.12247702$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(1, \infty)$ .

Ansteigend im Intervall $(1, \infty)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 10

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall sind die Wendepunkte $(- 2 - \sqrt{3}, \frac{1 - \sqrt{3}}{4}), (- 2 + \sqrt{3}, \frac{1 + \sqrt{3}}{4}), (1, 1)$ .

$(- 2 - \sqrt{3}, \frac{1 - \sqrt{3}}{4}), (- 2 + \sqrt{3}, \frac{1 + \sqrt{3}}{4}), (1, 1)$

Schritt 11