Analysis Beispiele

$\frac{9 x^{8}}{8 y^{7}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 9 x^{8}$ und $g (x) = 8 y^{7}$ .

$\frac{8 y^{7} \frac{d}{d x} [9 x^{8}] - 1 \cdot 9 x^{8} \frac{d}{d x} [8 y^{7}]}{{(8 y^{7})}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 x^{8}$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [x^{8}]$ .

$\frac{8 y^{7} (9 \frac{d}{d x} [x^{8}]) - 1 \cdot 9 x^{8} \frac{d}{d x} [8 y^{7}]}{{(8 y^{7})}^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 8$ .

$\frac{8 y^{7} (9 (8 x^{7})) - 1 \cdot 9 x^{8} \frac{d}{d x} [8 y^{7}]}{{(8 y^{7})}^{2}}$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $8$ mit $9$ .

$\frac{8 y^{7} (72 x^{7}) - 1 \cdot 9 x^{8} \frac{d}{d x} [8 y^{7}]}{{(8 y^{7})}^{2}}$

Schritt 2.4

Da $8 y^{7}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 y^{7}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{8 y^{7} (72 x^{7}) - 1 \cdot 9 x^{8} \cdot 0}{{(8 y^{7})}^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende die Produktregel auf $8 y^{7}$ an.

$\frac{8 y^{7} (72 x^{7}) - 1 \cdot 9 x^{8} \cdot 0}{8^{2} {(y^{7})}^{2}}$

Schritt 3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{8 \cdot 72 y^{7} x^{7} - 1 \cdot 9 x^{8} \cdot 0}{8^{2} {(y^{7})}^{2}}$

Schritt 3.2.1.2

Mutltipliziere $8$ mit $72$ .

$\frac{576 y^{7} x^{7} - 1 \cdot 9 x^{8} \cdot 0}{8^{2} {(y^{7})}^{2}}$

Schritt 3.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$\frac{576 y^{7} x^{7} - 9 x^{8} \cdot 0}{8^{2} {(y^{7})}^{2}}$

Schritt 3.2.1.4

Multipliziere $- 9 x^{8} \cdot 0$ .

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Schritt 3.2.1.4.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 9$ .

$\frac{576 y^{7} x^{7} + 0 x^{8}}{8^{2} {(y^{7})}^{2}}$

Schritt 3.2.1.4.2

Mutltipliziere $0$ mit $x^{8}$ .

$\frac{576 y^{7} x^{7} + 0}{8^{2} {(y^{7})}^{2}}$

Schritt 3.2.2

Addiere $576 y^{7} x^{7}$ und $0$ .

$\frac{576 y^{7} x^{7}}{8^{2} {(y^{7})}^{2}}$

Schritt 3.3

Vereine die Terme

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Schritt 3.3.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$\frac{576 y^{7} x^{7}}{64 {(y^{7})}^{2}}$

Schritt 3.3.2

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{7})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{576 y^{7} x^{7}}{64 y^{7 \cdot 2}}$

Schritt 3.3.2.2

Mutltipliziere $7$ mit $2$ .

$\frac{576 y^{7} x^{7}}{64 y^{14}}$

Schritt 3.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $576$ und $64$ .

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Schritt 3.3.3.1

Faktorisiere $64$ aus $576 y^{7} x^{7}$ heraus.

$\frac{64 (9 y^{7} x^{7})}{64 y^{14}}$

Schritt 3.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.3.2.1

Faktorisiere $64$ aus $64 y^{14}$ heraus.

$\frac{64 (9 y^{7} x^{7})}{64 (y^{14})}$

Schritt 3.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{64 (9 y^{7} x^{7})}{64 y^{14}}$

Schritt 3.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{9 y^{7} x^{7}}{y^{14}}$

Schritt 3.3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{7}$ und $y^{14}$ .

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Schritt 3.3.4.1

Faktorisiere $y^{7}$ aus $9 y^{7} x^{7}$ heraus.

$\frac{y^{7} (9 x^{7})}{y^{14}}$

Schritt 3.3.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.4.2.1

Faktorisiere $y^{7}$ aus $y^{14}$ heraus.

$\frac{y^{7} (9 x^{7})}{y^{7} y^{7}}$

Schritt 3.3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{7} (9 x^{7})}{y^{7} y^{7}}$

Schritt 3.3.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{9 x^{7}}{y^{7}}$