Analysis Beispiele

$y = \frac{2 - v^{2}}{2 + v^{2}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d v} [\frac{f (v)}{g (v)}]$ gleich $\frac{g (v) \frac{d}{d v} [f (v)] - f (v) \frac{d}{d v} [g (v)]}{{g (v)}^{2}}$ ist mit $f (v) = 2 - v^{2}$ und $g (v) = 2 + v^{2}$ .

$\frac{(2 + v^{2}) \frac{d}{d v} [2 - v^{2}] - (2 - v^{2}) \frac{d}{d v} [2 + v^{2}]}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 - v^{2}$ nach $v$ $\frac{d}{d v} [2] + \frac{d}{d v} [- v^{2}]$ .

$\frac{(2 + v^{2}) (\frac{d}{d v} [2] + \frac{d}{d v} [- v^{2}]) - (2 - v^{2}) \frac{d}{d v} [2 + v^{2}]}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2

Da $2$ konstant bezüglich $v$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $v$ gleich $0$ .

$\frac{(2 + v^{2}) (0 + \frac{d}{d v} [- v^{2}]) - (2 - v^{2}) \frac{d}{d v} [2 + v^{2}]}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d v} [- v^{2}]$ .

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Schritt 3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $v$ ist, ist die Ableitung von $- v^{2}$ nach $v$ gleich $- \frac{d}{d v} [v^{2}]$ .

$\frac{(2 + v^{2}) (0 - \frac{d}{d v} [v^{2}]) - (2 - v^{2}) \frac{d}{d v} [2 + v^{2}]}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ gleich $n v^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(2 + v^{2}) (0 - (2 v)) - (2 - v^{2}) \frac{d}{d v} [2 + v^{2}]}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{(2 + v^{2}) (0 - 2 v) - (2 - v^{2}) \frac{d}{d v} [2 + v^{2}]}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $2 v$ von $0$ .

$\frac{(2 + v^{2}) (- 2 v) - (2 - v^{2}) \frac{d}{d v} [2 + v^{2}]}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Schritt 4.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 + v^{2}$ nach $v$ $\frac{d}{d v} [2] + \frac{d}{d v} [v^{2}]$ .

$\frac{(2 + v^{2}) (- 2 v) - (2 - v^{2}) (\frac{d}{d v} [2] + \frac{d}{d v} [v^{2}])}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Schritt 4.3

Da $2$ konstant bezüglich $v$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $v$ gleich $0$ .

$\frac{(2 + v^{2}) (- 2 v) - (2 - v^{2}) (0 + \frac{d}{d v} [v^{2}])}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Schritt 4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ gleich $n v^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(2 + v^{2}) (- 2 v) - (2 - v^{2}) (0 + 2 v)}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Schritt 4.5

Addiere $0$ und $2 v$ .

$\frac{(2 + v^{2}) (- 2 v) - (2 - v^{2}) (2 v)}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (- 2 v) + v^{2} (- 2 v) - (2 - v^{2}) (2 v)}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (- 2 v) + v^{2} (- 2 v) + (- 1 \cdot 2 - - v^{2}) (2 v)}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Schritt 5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (- 2 v) + v^{2} (- 2 v) - 1 \cdot 2 (2 v) - - v^{2} (2 v)}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Schritt 5.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.1.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{- 4 v + v^{2} (- 2 v) - 1 \cdot 2 (2 v) - - v^{2} (2 v)}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Schritt 5.4.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{- 4 v - 2 v^{2} v - 1 \cdot 2 (2 v) - - v^{2} (2 v)}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Schritt 5.4.1.3

Multipliziere $v^{2}$ mit $v$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.4.1.3.1

Bewege $v$ .

$\frac{- 4 v - 2 (v \cdot v^{2}) - 1 \cdot 2 (2 v) - - v^{2} (2 v)}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Schritt 5.4.1.3.2

Mutltipliziere $v$ mit $v^{2}$ .

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Schritt 5.4.1.3.2.1

Potenziere $v$ mit $1$ .

$\frac{- 4 v - 2 (v^{1} v^{2}) - 1 \cdot 2 (2 v) - - v^{2} (2 v)}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Schritt 5.4.1.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 4 v - 2 v^{1 + 2} - 1 \cdot 2 (2 v) - - v^{2} (2 v)}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Schritt 5.4.1.3.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{- 4 v - 2 v^{3} - 1 \cdot 2 (2 v) - - v^{2} (2 v)}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Schritt 5.4.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{- 4 v - 2 v^{3} - 2 (2 v) - - v^{2} (2 v)}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Schritt 5.4.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$\frac{- 4 v - 2 v^{3} - 4 v - - v^{2} (2 v)}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Schritt 5.4.1.6

Multipliziere $v^{2}$ mit $v$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.4.1.6.1

Bewege $v$ .

$\frac{- 4 v - 2 v^{3} - 4 v - - (v \cdot v^{2}) \cdot 2}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Schritt 5.4.1.6.2

Mutltipliziere $v$ mit $v^{2}$ .

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Schritt 5.4.1.6.2.1

Potenziere $v$ mit $1$ .

$\frac{- 4 v - 2 v^{3} - 4 v - - (v^{1} v^{2}) \cdot 2}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Schritt 5.4.1.6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 4 v - 2 v^{3} - 4 v - - v^{1 + 2} \cdot 2}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Schritt 5.4.1.6.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{- 4 v - 2 v^{3} - 4 v - - v^{3} \cdot 2}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Schritt 5.4.1.7

Multipliziere $- - v^{3}$ .

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Schritt 5.4.1.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{- 4 v - 2 v^{3} - 4 v + 1 v^{3} \cdot 2}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Schritt 5.4.1.7.2

Mutltipliziere $v^{3}$ mit $1$ .

$\frac{- 4 v - 2 v^{3} - 4 v + v^{3} \cdot 2}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Schritt 5.4.1.8

Bringe $2$ auf die linke Seite von $v^{3}$ .

$\frac{- 4 v - 2 v^{3} - 4 v + 2 v^{3}}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Schritt 5.4.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 4 v - 2 v^{3} - 4 v + 2 v^{3}$ .

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Schritt 5.4.2.1

Addiere $- 2 v^{3}$ und $2 v^{3}$ .

$\frac{- 4 v - 4 v + 0}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Schritt 5.4.2.2

Addiere $- 4 v - 4 v$ und $0$ .

$\frac{- 4 v - 4 v}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Schritt 5.4.3

Subtrahiere $4 v$ von $- 4 v$ .

$\frac{- 8 v}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Schritt 5.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{8 v}{{(2 + v^{2})}^{2}}$