Analysis Beispiele

$x^{2} + y^{2} = {(2 x^{2} + 4 y^{2} - x)}^{2}$ , $(0, 0.25)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 0$ und $y = 0.25$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + y^{2}) = \frac{d}{d x} ({(2 x^{2} + 4 y^{2} - x)}^{2})$

Schritt 1.2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Differenziere.

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Schritt 1.2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 1.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Schritt 1.2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 1.2.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$2 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 1.2.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 1.2.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 1.2.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 x + 2 y y'$

Schritt 1.2.3

Stelle die Terme um.

$2 y y' + 2 x$

Schritt 1.3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = 2 x^{2} + 4 y^{2} - x$ .

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Schritt 1.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $2 x^{2} + 4 y^{2} - x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 4 y^{2} - x]$

Schritt 1.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 4 y^{2} - x]$

Schritt 1.3.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 x^{2} + 4 y^{2} - x$ .

$2 (2 x^{2} + 4 y^{2} - x) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 4 y^{2} - x]$

Schritt 1.3.2

Differenziere.

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Schritt 1.3.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{2} + 4 y^{2} - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$2 (2 x^{2} + 4 y^{2} - x) (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 1.3.2.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{2}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 (2 x^{2} + 4 y^{2} - x) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 1.3.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 (2 x^{2} + 4 y^{2} - x) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 1.3.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$2 (2 x^{2} + 4 y^{2} - x) (4 x + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 1.3.2.5

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 y^{2}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 (2 x^{2} + 4 y^{2} - x) (4 x + 4 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 1.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $y$ .

$2 (2 x^{2} + 4 y^{2} - x) (4 x + 4 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 1.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 (2 x^{2} + 4 y^{2} - x) (4 x + 4 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 1.3.3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $y$ .

$2 (2 x^{2} + 4 y^{2} - x) (4 x + 4 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 1.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$2 (2 x^{2} + 4 y^{2} - x) (4 x + 8 (y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 1.3.5

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 (2 x^{2} + 4 y^{2} - x) (4 x + 8 y y' + \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 1.3.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (2 x^{2} + 4 y^{2} - x) (4 x + 8 y y' - \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 (2 x^{2} + 4 y^{2} - x) (4 x + 8 y y' - 1 \cdot 1)$

Schritt 1.3.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$2 (2 x^{2} + 4 y^{2} - x) (4 x + 8 y y' - 1)$

Schritt 1.3.9

Vereinfache.

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Schritt 1.3.9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(2 (2 x^{2}) + 2 (4 y^{2}) + 2 (- x)) (4 x + 8 y y' - 1)$

Schritt 1.3.9.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.3.9.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$(4 x^{2} + 2 (4 y^{2}) + 2 (- x)) (4 x + 8 y y' - 1)$

Schritt 1.3.9.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$(4 x^{2} + 8 y^{2} + 2 (- x)) (4 x + 8 y y' - 1)$

Schritt 1.3.9.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$(4 x^{2} + 8 y^{2} - 2 x) (4 x + 8 y y' - 1)$

Schritt 1.3.9.3

Stelle die Faktoren von $(4 x^{2} + 8 y^{2} - 2 x) (4 x + 8 y y' - 1)$ um.

$(4 x + 8 y y' - 1) (4 x^{2} + 8 y^{2} - 2 x)$

Schritt 1.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$2 y y' + 2 x = (4 x + 8 y y' - 1) (4 x^{2} + 8 y^{2} - 2 x)$

Schritt 1.5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache $(4 x + 8 y y' - 1) (4 x^{2} + 8 y^{2} - 2 x)$ .

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Schritt 1.5.1.1

Forme um.

$2 y y' + 2 x = 0 + 0 + (4 x + 8 y y' - 1) (4 x^{2} + 8 y^{2} - 2 x)$

Schritt 1.5.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$2 y y' + 2 x = (4 x + 8 y y' - 1) (4 x^{2} + 8 y^{2} - 2 x)$

Schritt 1.5.1.3

Multipliziere $(4 x + 8 y y' - 1) (4 x^{2} + 8 y^{2} - 2 x)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$2 y y' + 2 x = 4 x (4 x^{2}) + 4 x (8 y^{2}) + 4 x (- 2 x) + 8 y y' (4 x^{2}) + 8 y y' (8 y^{2}) + 8 y y' (- 2 x) - 1 (4 x^{2}) - 1 (8 y^{2}) - 1 (- 2 x)$

Schritt 1.5.1.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.5.1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.1.4.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 y y' + 2 x = 4 \cdot 4 x \cdot x^{2} + 4 x (8 y^{2}) + 4 x (- 2 x) + 8 y y' (4 x^{2}) + 8 y y' (8 y^{2}) + 8 y y' (- 2 x) - 1 (4 x^{2}) - 1 (8 y^{2}) - 1 (- 2 x)$

Schritt 1.5.1.4.1.2

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.5.1.4.1.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$2 y y' + 2 x = 4 \cdot 4 (x^{2} x) + 4 x (8 y^{2}) + 4 x (- 2 x) + 8 y y' (4 x^{2}) + 8 y y' (8 y^{2}) + 8 y y' (- 2 x) - 1 (4 x^{2}) - 1 (8 y^{2}) - 1 (- 2 x)$

Schritt 1.5.1.4.1.2.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 1.5.1.4.1.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 y y' + 2 x = 4 \cdot 4 (x^{2} x^{1}) + 4 x (8 y^{2}) + 4 x (- 2 x) + 8 y y' (4 x^{2}) + 8 y y' (8 y^{2}) + 8 y y' (- 2 x) - 1 (4 x^{2}) - 1 (8 y^{2}) - 1 (- 2 x)$

Schritt 1.5.1.4.1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 y y' + 2 x = 4 \cdot 4 x^{2 + 1} + 4 x (8 y^{2}) + 4 x (- 2 x) + 8 y y' (4 x^{2}) + 8 y y' (8 y^{2}) + 8 y y' (- 2 x) - 1 (4 x^{2}) - 1 (8 y^{2}) - 1 (- 2 x)$

Schritt 1.5.1.4.1.2.3

Addiere $2$ und $1$ .

$2 y y' + 2 x = 4 \cdot 4 x^{3} + 4 x (8 y^{2}) + 4 x (- 2 x) + 8 y y' (4 x^{2}) + 8 y y' (8 y^{2}) + 8 y y' (- 2 x) - 1 (4 x^{2}) - 1 (8 y^{2}) - 1 (- 2 x)$

Schritt 1.5.1.4.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$2 y y' + 2 x = 16 x^{3} + 4 x (8 y^{2}) + 4 x (- 2 x) + 8 y y' (4 x^{2}) + 8 y y' (8 y^{2}) + 8 y y' (- 2 x) - 1 (4 x^{2}) - 1 (8 y^{2}) - 1 (- 2 x)$

Schritt 1.5.1.4.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 y y' + 2 x = 16 x^{3} + 4 \cdot 8 x y^{2} + 4 x (- 2 x) + 8 y y' (4 x^{2}) + 8 y y' (8 y^{2}) + 8 y y' (- 2 x) - 1 (4 x^{2}) - 1 (8 y^{2}) - 1 (- 2 x)$

Schritt 1.5.1.4.1.5

Mutltipliziere $4$ mit $8$ .

$2 y y' + 2 x = 16 x^{3} + 32 x y^{2} + 4 x (- 2 x) + 8 y y' (4 x^{2}) + 8 y y' (8 y^{2}) + 8 y y' (- 2 x) - 1 (4 x^{2}) - 1 (8 y^{2}) - 1 (- 2 x)$

Schritt 1.5.1.4.1.6

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 y y' + 2 x = 16 x^{3} + 32 x y^{2} + 4 \cdot - 2 x \cdot x + 8 y y' (4 x^{2}) + 8 y y' (8 y^{2}) + 8 y y' (- 2 x) - 1 (4 x^{2}) - 1 (8 y^{2}) - 1 (- 2 x)$

Schritt 1.5.1.4.1.7

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.5.1.4.1.7.1

Bewege $x$ .

$2 y y' + 2 x = 16 x^{3} + 32 x y^{2} + 4 \cdot - 2 (x \cdot x) + 8 y y' (4 x^{2}) + 8 y y' (8 y^{2}) + 8 y y' (- 2 x) - 1 (4 x^{2}) - 1 (8 y^{2}) - 1 (- 2 x)$

Schritt 1.5.1.4.1.7.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$2 y y' + 2 x = 16 x^{3} + 32 x y^{2} + 4 \cdot - 2 x^{2} + 8 y y' (4 x^{2}) + 8 y y' (8 y^{2}) + 8 y y' (- 2 x) - 1 (4 x^{2}) - 1 (8 y^{2}) - 1 (- 2 x)$

Schritt 1.5.1.4.1.8

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$2 y y' + 2 x = 16 x^{3} + 32 x y^{2} - 8 x^{2} + 8 y y' (4 x^{2}) + 8 y y' (8 y^{2}) + 8 y y' (- 2 x) - 1 (4 x^{2}) - 1 (8 y^{2}) - 1 (- 2 x)$

Schritt 1.5.1.4.1.9

Mutltipliziere $4$ mit $8$ .

$2 y y' + 2 x = 16 x^{3} + 32 x y^{2} - 8 x^{2} + 32 y y' x^{2} + 8 y y' (8 y^{2}) + 8 y y' (- 2 x) - 1 (4 x^{2}) - 1 (8 y^{2}) - 1 (- 2 x)$

Schritt 1.5.1.4.1.10

Multipliziere $y$ mit $y^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.5.1.4.1.10.1

Bewege $y^{2}$ .

$2 y y' + 2 x = 16 x^{3} + 32 x y^{2} - 8 x^{2} + 32 y y' x^{2} + 8 (y^{2} y) y' \cdot 8 + 8 y y' (- 2 x) - 1 (4 x^{2}) - 1 (8 y^{2}) - 1 (- 2 x)$

Schritt 1.5.1.4.1.10.2

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $y$ .

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Schritt 1.5.1.4.1.10.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$2 y y' + 2 x = 16 x^{3} + 32 x y^{2} - 8 x^{2} + 32 y y' x^{2} + 8 (y^{2} y^{1}) y' \cdot 8 + 8 y y' (- 2 x) - 1 (4 x^{2}) - 1 (8 y^{2}) - 1 (- 2 x)$

Schritt 1.5.1.4.1.10.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 y y' + 2 x = 16 x^{3} + 32 x y^{2} - 8 x^{2} + 32 y y' x^{2} + 8 y^{2 + 1} y' \cdot 8 + 8 y y' (- 2 x) - 1 (4 x^{2}) - 1 (8 y^{2}) - 1 (- 2 x)$

Schritt 1.5.1.4.1.10.3

Addiere $2$ und $1$ .

$2 y y' + 2 x = 16 x^{3} + 32 x y^{2} - 8 x^{2} + 32 y y' x^{2} + 8 y^{3} y' \cdot 8 + 8 y y' (- 2 x) - 1 (4 x^{2}) - 1 (8 y^{2}) - 1 (- 2 x)$

Schritt 1.5.1.4.1.11

Mutltipliziere $8$ mit $8$ .

$2 y y' + 2 x = 16 x^{3} + 32 x y^{2} - 8 x^{2} + 32 y y' x^{2} + 64 y^{3} y' + 8 y y' (- 2 x) - 1 (4 x^{2}) - 1 (8 y^{2}) - 1 (- 2 x)$

Schritt 1.5.1.4.1.12

Mutltipliziere $- 2$ mit $8$ .

$2 y y' + 2 x = 16 x^{3} + 32 x y^{2} - 8 x^{2} + 32 y y' x^{2} + 64 y^{3} y' - 16 y y' x - 1 (4 x^{2}) - 1 (8 y^{2}) - 1 (- 2 x)$

Schritt 1.5.1.4.1.13

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$2 y y' + 2 x = 16 x^{3} + 32 x y^{2} - 8 x^{2} + 32 y y' x^{2} + 64 y^{3} y' - 16 y y' x - 4 x^{2} - 1 (8 y^{2}) - 1 (- 2 x)$

Schritt 1.5.1.4.1.14

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$2 y y' + 2 x = 16 x^{3} + 32 x y^{2} - 8 x^{2} + 32 y y' x^{2} + 64 y^{3} y' - 16 y y' x - 4 x^{2} - 8 y^{2} - 1 (- 2 x)$

Schritt 1.5.1.4.1.15

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$2 y y' + 2 x = 16 x^{3} + 32 x y^{2} - 8 x^{2} + 32 y y' x^{2} + 64 y^{3} y' - 16 y y' x - 4 x^{2} - 8 y^{2} + 2 x$

Schritt 1.5.1.4.2

Subtrahiere $4 x^{2}$ von $- 8 x^{2}$ .

$2 y y' + 2 x = 16 x^{3} + 32 x y^{2} - 12 x^{2} + 32 y y' x^{2} + 64 y^{3} y' - 16 y y' x - 8 y^{2} + 2 x$

Schritt 1.5.2

Da $y'$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$16 x^{3} + 32 x y^{2} - 12 x^{2} + 32 y y' x^{2} + 64 y^{3} y' - 16 y y' x - 8 y^{2} + 2 x = 2 y y' + 2 x$

Schritt 1.5.3

Subtrahiere $2 y y'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$16 x^{3} + 32 x y^{2} - 12 x^{2} + 32 y y' x^{2} + 64 y^{3} y' - 16 y y' x - 8 y^{2} + 2 x - 2 y y' = 2 x$

Schritt 1.5.4

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.5.4.1

Subtrahiere $16 x^{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$32 x y^{2} - 12 x^{2} + 32 y y' x^{2} + 64 y^{3} y' - 16 y y' x - 8 y^{2} + 2 x - 2 y y' = 2 x - 16 x^{3}$

Schritt 1.5.4.2

Subtrahiere $32 x y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 12 x^{2} + 32 y y' x^{2} + 64 y^{3} y' - 16 y y' x - 8 y^{2} + 2 x - 2 y y' = 2 x - 16 x^{3} - 32 x y^{2}$

Schritt 1.5.4.3

Addiere $12 x^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$32 y y' x^{2} + 64 y^{3} y' - 16 y y' x - 8 y^{2} + 2 x - 2 y y' = 2 x - 16 x^{3} - 32 x y^{2} + 12 x^{2}$

Schritt 1.5.4.4

Addiere $8 y^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$32 y y' x^{2} + 64 y^{3} y' - 16 y y' x + 2 x - 2 y y' = 2 x - 16 x^{3} - 32 x y^{2} + 12 x^{2} + 8 y^{2}$

Schritt 1.5.4.5

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$32 y y' x^{2} + 64 y^{3} y' - 16 y y' x - 2 y y' = 2 x - 16 x^{3} - 32 x y^{2} + 12 x^{2} + 8 y^{2} - 2 x$

Schritt 1.5.4.6

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x - 16 x^{3} - 32 x y^{2} + 12 x^{2} + 8 y^{2} - 2 x$ .

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Schritt 1.5.4.6.1

Subtrahiere $2 x$ von $2 x$ .

$32 y y' x^{2} + 64 y^{3} y' - 16 y y' x - 2 y y' = - 16 x^{3} - 32 x y^{2} + 12 x^{2} + 8 y^{2} + 0$

Schritt 1.5.4.6.2

Addiere $- 16 x^{3} - 32 x y^{2} + 12 x^{2} + 8 y^{2}$ und $0$ .

$32 y y' x^{2} + 64 y^{3} y' - 16 y y' x - 2 y y' = - 16 x^{3} - 32 x y^{2} + 12 x^{2} + 8 y^{2}$

Schritt 1.5.5

Faktorisiere $2 y y'$ aus $32 y y' x^{2} + 64 y^{3} y' - 16 y y' x - 2 y y'$ heraus.

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Schritt 1.5.5.1

Faktorisiere $2 y y'$ aus $32 y y' x^{2}$ heraus.

$2 y y' (16 x^{2}) + 64 y^{3} y' - 16 y y' x - 2 y y' = - 16 x^{3} - 32 x y^{2} + 12 x^{2} + 8 y^{2}$

Schritt 1.5.5.2

Faktorisiere $2 y y'$ aus $64 y^{3} y'$ heraus.

$2 y y' (16 x^{2}) + 2 y y' (32 y^{2}) - 16 y y' x - 2 y y' = - 16 x^{3} - 32 x y^{2} + 12 x^{2} + 8 y^{2}$

Schritt 1.5.5.3

Faktorisiere $2 y y'$ aus $- 16 y y' x$ heraus.

$2 y y' (16 x^{2}) + 2 y y' (32 y^{2}) + 2 y y' (- 8 x) - 2 y y' = - 16 x^{3} - 32 x y^{2} + 12 x^{2} + 8 y^{2}$

Schritt 1.5.5.4

Faktorisiere $2 y y'$ aus $- 2 y y'$ heraus.

$2 y y' (16 x^{2}) + 2 y y' (32 y^{2}) + 2 y y' (- 8 x) + 2 y y' \cdot - 1 = - 16 x^{3} - 32 x y^{2} + 12 x^{2} + 8 y^{2}$

Schritt 1.5.5.5

Faktorisiere $2 y y'$ aus $2 y y' (16 x^{2}) + 2 y y' (32 y^{2})$ heraus.

$2 y y' (16 x^{2} + 32 y^{2}) + 2 y y' (- 8 x) + 2 y y' \cdot - 1 = - 16 x^{3} - 32 x y^{2} + 12 x^{2} + 8 y^{2}$

Schritt 1.5.5.6

Faktorisiere $2 y y'$ aus $2 y y' (16 x^{2} + 32 y^{2}) + 2 y y' (- 8 x)$ heraus.

$2 y y' (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x) + 2 y y' \cdot - 1 = - 16 x^{3} - 32 x y^{2} + 12 x^{2} + 8 y^{2}$

Schritt 1.5.5.7

Faktorisiere $2 y y'$ aus $2 y y' (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x) + 2 y y' \cdot - 1$ heraus.

$2 y y' (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1) = - 16 x^{3} - 32 x y^{2} + 12 x^{2} + 8 y^{2}$

Schritt 1.5.6

Teile jeden Ausdruck in $2 y y' (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1) = - 16 x^{3} - 32 x y^{2} + 12 x^{2} + 8 y^{2}$ durch $2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.6.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y y' (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1) = - 16 x^{3} - 32 x y^{2} + 12 x^{2} + 8 y^{2}$ durch $2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)$ .

$\frac{2 y y' (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} = \frac{- 16 x^{3}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{- 32 x y^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{12 x^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{8 y^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Schritt 1.5.6.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 1.5.6.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y y' (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} = \frac{- 16 x^{3}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{- 32 x y^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{12 x^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{8 y^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Schritt 1.5.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 1.5.6.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1} = \frac{- 16 x^{3}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{- 32 x y^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{12 x^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{8 y^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Schritt 1.5.6.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.6.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 1.5.6.2.3.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 16 x^{3}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{- 32 x y^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{12 x^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{8 y^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Schritt 1.5.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.6.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.6.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 16$ und $2$ .

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Schritt 1.5.6.3.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 16 x^{3}$ heraus.

$y' = \frac{2 (- 8 x^{3})}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{- 32 x y^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{12 x^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{8 y^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Schritt 1.5.6.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.6.3.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)$ heraus.

$y' = \frac{2 (- 8 x^{3})}{2 (y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1))} + \frac{- 32 x y^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{12 x^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{8 y^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Schritt 1.5.6.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 1.5.6.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{- 8 x^{3}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{- 32 x y^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{12 x^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{8 y^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Schritt 1.5.6.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{8 x^{3}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{- 32 x y^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{12 x^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{8 y^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Schritt 1.5.6.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 32$ und $2$ .

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Schritt 1.5.6.3.1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 32 x y^{2}$ heraus.

$y' = - \frac{8 x^{3}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{2 (- 16 x y^{2})}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{12 x^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{8 y^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Schritt 1.5.6.3.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.6.3.1.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)$ heraus.

$y' = - \frac{8 x^{3}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{2 (- 16 x y^{2})}{2 (y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1))} + \frac{12 x^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{8 y^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Schritt 1.5.6.3.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 1.5.6.3.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = - \frac{8 x^{3}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{- 16 x y^{2}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{12 x^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{8 y^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Schritt 1.5.6.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{2}$ und $y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.6.3.1.4.1

Faktorisiere $y$ aus $- 16 x y^{2}$ heraus.

$y' = - \frac{8 x^{3}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{y (- 16 x y)}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{12 x^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{8 y^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Schritt 1.5.6.3.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.6.3.1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 1.5.6.3.1.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = - \frac{8 x^{3}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{- 16 x y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1} + \frac{12 x^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{8 y^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Schritt 1.5.6.3.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{8 x^{3}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} - \frac{16 x y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1} + \frac{12 x^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{8 y^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Schritt 1.5.6.3.1.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $2$ .

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Schritt 1.5.6.3.1.6.1

Faktorisiere $2$ aus $12 x^{2}$ heraus.

$y' = - \frac{8 x^{3}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} - \frac{16 x y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1} + \frac{2 (6 x^{2})}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{8 y^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Schritt 1.5.6.3.1.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.6.3.1.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)$ heraus.

$y' = - \frac{8 x^{3}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} - \frac{16 x y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1} + \frac{2 (6 x^{2})}{2 (y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1))} + \frac{8 y^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Schritt 1.5.6.3.1.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 1.5.6.3.1.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = - \frac{8 x^{3}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} - \frac{16 x y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1} + \frac{6 x^{2}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{8 y^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Schritt 1.5.6.3.1.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $2$ .

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Schritt 1.5.6.3.1.7.1

Faktorisiere $2$ aus $8 y^{2}$ heraus.

$y' = - \frac{8 x^{3}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} - \frac{16 x y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1} + \frac{6 x^{2}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{2 (4 y^{2})}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Schritt 1.5.6.3.1.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.6.3.1.7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)$ heraus.

$y' = - \frac{8 x^{3}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} - \frac{16 x y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1} + \frac{6 x^{2}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{2 (4 y^{2})}{2 (y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1))}$

Schritt 1.5.6.3.1.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 1.5.6.3.1.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = - \frac{8 x^{3}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} - \frac{16 x y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1} + \frac{6 x^{2}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{4 y^{2}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Schritt 1.5.6.3.1.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{2}$ und $y$ .

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Schritt 1.5.6.3.1.8.1

Faktorisiere $y$ aus $4 y^{2}$ heraus.

$y' = - \frac{8 x^{3}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} - \frac{16 x y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1} + \frac{6 x^{2}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{y (4 y)}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Schritt 1.5.6.3.1.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.6.3.1.8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 1.5.6.3.1.8.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = - \frac{8 x^{3}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} - \frac{16 x y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1} + \frac{6 x^{2}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{4 y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1}$

Schritt 1.5.6.3.2

Um $- \frac{16 x y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{y}{y}$ .

$y' = - \frac{8 x^{3}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} - \frac{16 x y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1} \cdot \frac{y}{y} + \frac{6 x^{2}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{4 y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1}$

Schritt 1.5.6.3.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.5.6.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{16 x y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1}$ mit $\frac{y}{y}$ .

$y' = - \frac{8 x^{3}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} - \frac{16 x y \cdot y}{(16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1) y} + \frac{6 x^{2}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{4 y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1}$

Schritt 1.5.6.3.3.2

Stelle die Faktoren von $(16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1) y$ um.

$y' = - \frac{8 x^{3}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} - \frac{16 x y \cdot y}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{6 x^{2}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{4 y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1}$

Schritt 1.5.6.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{- 8 x^{3} - 16 x y \cdot y}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{6 x^{2}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{4 y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1}$

Schritt 1.5.6.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.5.6.3.5.1

Faktorisiere $8 x$ aus $- 8 x^{3} - 16 x y \cdot y$ heraus.

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Schritt 1.5.6.3.5.1.1

Faktorisiere $8 x$ aus $- 8 x^{3}$ heraus.

$y' = \frac{8 x (- x^{2}) - 16 x y \cdot y}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{6 x^{2}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{4 y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1}$

Schritt 1.5.6.3.5.1.2

Faktorisiere $8 x$ aus $- 16 x y \cdot y$ heraus.

$y' = \frac{8 x (- x^{2}) + 8 x (- 2 y \cdot y)}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{6 x^{2}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{4 y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1}$

Schritt 1.5.6.3.5.1.3

Faktorisiere $8 x$ aus $8 x (- x^{2}) + 8 x (- 2 y \cdot y)$ heraus.

$y' = \frac{8 x (- x^{2} - 2 y \cdot y)}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{6 x^{2}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{4 y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1}$

Schritt 1.5.6.3.5.2

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 1.5.6.3.5.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$y' = \frac{8 x (- x^{2} - 2 (y^{1} y))}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{6 x^{2}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{4 y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1}$

Schritt 1.5.6.3.5.2.2

Potenziere $y$ mit $1$ .

$y' = \frac{8 x (- x^{2} - 2 (y^{1} y^{1}))}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{6 x^{2}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{4 y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1}$

Schritt 1.5.6.3.5.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y' = \frac{8 x (- x^{2} - 2 y^{1 + 1})}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{6 x^{2}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{4 y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1}$

Schritt 1.5.6.3.5.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$y' = \frac{8 x (- x^{2} - 2 y^{2})}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{6 x^{2}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{4 y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1}$

Schritt 1.5.6.3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{8 x (- x^{2} - 2 y^{2}) + 6 x^{2}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{4 y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1}$

Schritt 1.5.6.3.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.5.6.3.7.1

Faktorisiere $2 x$ aus $8 x (- x^{2} - 2 y^{2}) + 6 x^{2}$ heraus.

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Schritt 1.5.6.3.7.1.1

Faktorisiere $2 x$ aus $8 x (- x^{2} - 2 y^{2})$ heraus.

$y' = \frac{2 x (4 (- x^{2} - 2 y^{2})) + 6 x^{2}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{4 y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1}$

Schritt 1.5.6.3.7.1.2

Faktorisiere $2 x$ aus $6 x^{2}$ heraus.

$y' = \frac{2 x (4 (- x^{2} - 2 y^{2})) + 2 x (3 x)}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{4 y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1}$

Schritt 1.5.6.3.7.1.3

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (4 (- x^{2} - 2 y^{2})) + 2 x (3 x)$ heraus.

$y' = \frac{2 x (4 (- x^{2} - 2 y^{2}) + 3 x)}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{4 y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1}$

Schritt 1.5.6.3.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y' = \frac{2 x (4 (- x^{2}) + 4 (- 2 y^{2}) + 3 x)}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{4 y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1}$

Schritt 1.5.6.3.7.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$y' = \frac{2 x (- 4 x^{2} + 4 (- 2 y^{2}) + 3 x)}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{4 y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1}$

Schritt 1.5.6.3.7.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$y' = \frac{2 x (- 4 x^{2} - 8 y^{2} + 3 x)}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{4 y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1}$

Schritt 1.5.6.3.8

Um $\frac{4 y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{y}{y}$ .

$y' = \frac{2 x (- 4 x^{2} - 8 y^{2} + 3 x)}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{4 y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1} \cdot \frac{y}{y}$

Schritt 1.5.6.3.9

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.5.6.3.9.1

Mutltipliziere $\frac{4 y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1}$ mit $\frac{y}{y}$ .

$y' = \frac{2 x (- 4 x^{2} - 8 y^{2} + 3 x)}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{4 y \cdot y}{(16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1) y}$

Schritt 1.5.6.3.9.2

Stelle die Faktoren von $(16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1) y$ um.

$y' = \frac{2 x (- 4 x^{2} - 8 y^{2} + 3 x)}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{4 y \cdot y}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Schritt 1.5.6.3.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{2 x (- 4 x^{2} - 8 y^{2} + 3 x) + 4 y \cdot y}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Schritt 1.5.6.3.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.5.6.3.11.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x (- 4 x^{2} - 8 y^{2} + 3 x) + 4 y \cdot y$ heraus.

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Schritt 1.5.6.3.11.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x (- 4 x^{2} - 8 y^{2} + 3 x)$ heraus.

$y' = \frac{2 (x (- 4 x^{2} - 8 y^{2} + 3 x)) + 4 y \cdot y}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Schritt 1.5.6.3.11.1.2

Faktorisiere $2$ aus $4 y \cdot y$ heraus.

$y' = \frac{2 (x (- 4 x^{2} - 8 y^{2} + 3 x)) + 2 (2 y \cdot y)}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Schritt 1.5.6.3.11.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (x (- 4 x^{2} - 8 y^{2} + 3 x)) + 2 (2 y \cdot y)$ heraus.

$y' = \frac{2 (x (- 4 x^{2} - 8 y^{2} + 3 x) + 2 y \cdot y)}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Schritt 1.5.6.3.11.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y' = \frac{2 (x (- 4 x^{2}) + x (- 8 y^{2}) + x (3 x) + 2 y \cdot y)}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Schritt 1.5.6.3.11.3

Vereinfache.

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Schritt 1.5.6.3.11.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y' = \frac{2 (- 4 x \cdot x^{2} + x (- 8 y^{2}) + x (3 x) + 2 y \cdot y)}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Schritt 1.5.6.3.11.3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y' = \frac{2 (- 4 x \cdot x^{2} - 8 x y^{2} + x (3 x) + 2 y \cdot y)}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Schritt 1.5.6.3.11.3.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y' = \frac{2 (- 4 x \cdot x^{2} - 8 x y^{2} + 3 x \cdot x + 2 y \cdot y)}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Schritt 1.5.6.3.11.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.6.3.11.4.1

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.5.6.3.11.4.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$y' = \frac{2 (- 4 (x^{2} x) - 8 x y^{2} + 3 x \cdot x + 2 y \cdot y)}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Schritt 1.5.6.3.11.4.1.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 1.5.6.3.11.4.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y' = \frac{2 (- 4 (x^{2} x^{1}) - 8 x y^{2} + 3 x \cdot x + 2 y \cdot y)}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Schritt 1.5.6.3.11.4.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y' = \frac{2 (- 4 x^{2 + 1} - 8 x y^{2} + 3 x \cdot x + 2 y \cdot y)}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Schritt 1.5.6.3.11.4.1.3

Addiere $2$ und $1$ .

$y' = \frac{2 (- 4 x^{3} - 8 x y^{2} + 3 x \cdot x + 2 y \cdot y)}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Schritt 1.5.6.3.11.4.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.5.6.3.11.4.2.1

Bewege $x$ .

$y' = \frac{2 (- 4 x^{3} - 8 x y^{2} + 3 (x \cdot x) + 2 y \cdot y)}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Schritt 1.5.6.3.11.4.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y' = \frac{2 (- 4 x^{3} - 8 x y^{2} + 3 x^{2} + 2 y \cdot y)}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Schritt 1.5.6.3.11.5

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.5.6.3.11.5.1

Bewege $y$ .

$y' = \frac{2 (- 4 x^{3} - 8 x y^{2} + 3 x^{2} + 2 (y \cdot y))}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Schritt 1.5.6.3.11.5.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$y' = \frac{2 (- 4 x^{3} - 8 x y^{2} + 3 x^{2} + 2 y^{2})}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Schritt 1.5.6.3.12

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 1.5.6.3.12.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 4 x^{3}$ heraus.

$y' = \frac{2 (- (4 x^{3}) - 8 x y^{2} + 3 x^{2} + 2 y^{2})}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Schritt 1.5.6.3.12.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 8 x y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{2 (- (4 x^{3}) - (8 x y^{2}) + 3 x^{2} + 2 y^{2})}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Schritt 1.5.6.3.12.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (4 x^{3}) - (8 x y^{2})$ heraus.

$y' = \frac{2 (- (4 x^{3} + 8 x y^{2}) + 3 x^{2} + 2 y^{2})}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Schritt 1.5.6.3.12.4

Faktorisiere $- 1$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$y' = \frac{2 (- (4 x^{3} + 8 x y^{2}) - (- 3 x^{2}) + 2 y^{2})}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Schritt 1.5.6.3.12.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (4 x^{3} + 8 x y^{2}) - (- 3 x^{2})$ heraus.

$y' = \frac{2 (- (4 x^{3} + 8 x y^{2} - 3 x^{2}) + 2 y^{2})}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Schritt 1.5.6.3.12.6

Faktorisiere $- 1$ aus $2 y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{2 (- (4 x^{3} + 8 x y^{2} - 3 x^{2}) - (- 2 y^{2}))}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Schritt 1.5.6.3.12.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (4 x^{3} + 8 x y^{2} - 3 x^{2}) - (- 2 y^{2})$ heraus.

$y' = \frac{2 (- (4 x^{3} + 8 x y^{2} - 3 x^{2} - 2 y^{2}))}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Schritt 1.5.6.3.12.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.5.6.3.12.8.1

Schreibe $- (4 x^{3} + 8 x y^{2} - 3 x^{2} - 2 y^{2})$ als $- 1 (4 x^{3} + 8 x y^{2} - 3 x^{2} - 2 y^{2})$ um.

$y' = \frac{2 (- 1 (4 x^{3} + 8 x y^{2} - 3 x^{2} - 2 y^{2}))}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Schritt 1.5.6.3.12.8.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{2 (4 x^{3} + 8 x y^{2} - 3 x^{2} - 2 y^{2})}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Schritt 1.6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 (4 x^{3} + 8 x y^{2} - 3 x^{2} - 2 y^{2})}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Schritt 1.7

Berechne bei $x = 0$ und $y = 0.25$ .

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Schritt 1.7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$- \frac{2 (4 {(0)}^{3} + 8 (0) \cdot y^{2} - 3 {(0)}^{2} - 2 y^{2})}{y (16 {(0)}^{2} + 32 y^{2} - 8 \cdot 0 - 1)}$

Schritt 1.7.2

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $y$ durch $0.25$ .

$- \frac{2 (4 {(0)}^{3} + 8 (0) \cdot {(0.25)}^{2} - 3 {(0)}^{2} - 2 {(0.25)}^{2})}{(0.25) (16 {(0)}^{2} + 32 {(0.25)}^{2} - 8 \cdot 0 - 1)}$

Schritt 1.7.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.7.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{2 (4 \cdot 0 + 8 (0) \cdot {0.25}^{2} - 3 \cdot 0^{2} - 2 \cdot {0.25}^{2})}{0.25 (16 \cdot 0^{2} + 32 \cdot {0.25}^{2} - 8 \cdot 0 - 1)}$

Schritt 1.7.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$- \frac{2 (0 + 8 (0) \cdot {0.25}^{2} - 3 \cdot 0^{2} - 2 \cdot {0.25}^{2})}{0.25 (16 \cdot 0^{2} + 32 \cdot {0.25}^{2} - 8 \cdot 0 - 1)}$

Schritt 1.7.3.3

Mutltipliziere $8$ mit $0$ .

$- \frac{2 (0 + 0 \cdot {0.25}^{2} - 3 \cdot 0^{2} - 2 \cdot {0.25}^{2})}{0.25 (16 \cdot 0^{2} + 32 \cdot {0.25}^{2} - 8 \cdot 0 - 1)}$

Schritt 1.7.3.4

Potenziere $0.25$ mit $2$ .

$- \frac{2 (0 + 0 \cdot 0.0625 - 3 \cdot 0^{2} - 2 \cdot {0.25}^{2})}{0.25 (16 \cdot 0^{2} + 32 \cdot {0.25}^{2} - 8 \cdot 0 - 1)}$

Schritt 1.7.3.5

Mutltipliziere $0$ mit $0.0625$ .

$- \frac{2 (0 + 0 - 3 \cdot 0^{2} - 2 \cdot {0.25}^{2})}{0.25 (16 \cdot 0^{2} + 32 \cdot {0.25}^{2} - 8 \cdot 0 - 1)}$

Schritt 1.7.3.6

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{2 (0 + 0 - 3 \cdot 0 - 2 \cdot {0.25}^{2})}{0.25 (16 \cdot 0^{2} + 32 \cdot {0.25}^{2} - 8 \cdot 0 - 1)}$

Schritt 1.7.3.7

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 - 2 \cdot {0.25}^{2})}{0.25 (16 \cdot 0^{2} + 32 \cdot {0.25}^{2} - 8 \cdot 0 - 1)}$

Schritt 1.7.3.8

Potenziere $0.25$ mit $2$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 - 2 \cdot 0.0625)}{0.25 (16 \cdot 0^{2} + 32 \cdot {0.25}^{2} - 8 \cdot 0 - 1)}$

Schritt 1.7.3.9

Mutltipliziere $- 2$ mit $0.0625$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 - 0.125)}{0.25 (16 \cdot 0^{2} + 32 \cdot {0.25}^{2} - 8 \cdot 0 - 1)}$

Schritt 1.7.3.10

Addiere $0$ und $0$ .

$- \frac{2 (0 + 0 - 0.125)}{0.25 (16 \cdot 0^{2} + 32 \cdot {0.25}^{2} - 8 \cdot 0 - 1)}$

Schritt 1.7.3.11

Addiere $0$ und $0$ .

$- \frac{2 (0 - 0.125)}{0.25 (16 \cdot 0^{2} + 32 \cdot {0.25}^{2} - 8 \cdot 0 - 1)}$

Schritt 1.7.3.12

Subtrahiere $0.125$ von $0$ .

$- \frac{2 \cdot - 0.125}{0.25 (16 \cdot 0^{2} + 32 \cdot {0.25}^{2} - 8 \cdot 0 - 1)}$

Schritt 1.7.4

Vereinfache durch Multiplizieren von Termen.

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Schritt 1.7.4.1

Mutltipliziere $0.25$ mit $16 \cdot 0^{2} + 32 \cdot {0.25}^{2} - 8 \cdot 0 - 1$ .

$- \frac{2 \cdot - 0.125}{0.25}$

Schritt 1.7.4.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.7.4.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 0.125$ .

$- \frac{- 0.25}{0.25}$

Schritt 1.7.4.2.2

Dividiere $- 0.25$ durch $0.25$ .

$- - 1$

Schritt 1.7.4.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $1$ und einen gegebenen Punkt $(0, 0.25)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (0.25) = 1 \cdot (x - (0))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 0.25 = 1 \cdot (x + 0)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $1 \cdot (x + 0)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Mutltipliziere $x + 0$ mit $1$ .

$y - 0.25 = x + 0$

Schritt 2.3.1.2

Addiere $x$ und $0$ .

$y - 0.25 = x$

Schritt 2.3.2

Addiere $0.25$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = x + 0.25$

Schritt 3