Analysis Beispiele

$y = 3 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}}$ ; $x = 16$

Schritt 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = 16$ .

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Schritt 1.1

Setze $16$ für $x$ ein.

$y = 3 {(16)}^{\frac{1}{2}} + {(16)}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 1.2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 3 \cdot 16^{\frac{1}{2}} + {(16)}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 1.2.2

Entferne die Klammern.

$y = 3 \cdot 16^{\frac{1}{2}} + 16^{\frac{3}{2}}$

Schritt 1.2.3

Entferne die Klammern.

$y = 3 {(16)}^{\frac{1}{2}} + {(16)}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 1.2.4

Vereinfache $3 {(16)}^{\frac{1}{2}} + {(16)}^{\frac{3}{2}}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.1.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$y = 3 {(4^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(16)}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 1.2.4.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 3 \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})} + {(16)}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 1.2.4.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.4.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = 3 \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})} + {(16)}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 1.2.4.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$y = 3 \cdot 4^{1} + {(16)}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 1.2.4.1.4

Berechne den Exponenten.

$y = 3 \cdot 4 + {(16)}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 1.2.4.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$y = 12 + {(16)}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 1.2.4.1.6

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$y = 12 + {(4^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 1.2.4.1.7

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 12 + 4^{2 (\frac{3}{2})}$

Schritt 1.2.4.1.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.4.1.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = 12 + 4^{2 (\frac{3}{2})}$

Schritt 1.2.4.1.8.2

Forme den Ausdruck um.

$y = 12 + 4^{3}$

Schritt 1.2.4.1.9

Potenziere $4$ mit $3$ .

$y = 12 + 64$

Schritt 1.2.4.2

Addiere $12$ und $64$ .

$y = 76$

Schritt 2

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 16$ und $y = 76$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{1}{2}}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 2.2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 2.2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 2.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 2.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 2.2.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 2.2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$3 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 2.2.8

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$3 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 2.2.9

Kombiniere $3$ und $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{3 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 2.2.10

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}$

Schritt 2.3.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Schritt 2.3.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Schritt 2.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}$

Schritt 2.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}$

Schritt 2.3.5.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Stelle die Terme um.

$\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.4.2

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.5

Bestimme die Ableitung bei $x = 16$ .

$\frac{3 {(16)}^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{3}{2 {(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.6

Vereinfache.

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Schritt 2.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.6.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.1.1.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{3 \cdot {(4^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{3}{2 {(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.6.1.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})}}{2} + \frac{3}{2 {(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.6.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.6.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})}}{2} + \frac{3}{2 {(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.6.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 \cdot 4^{1}}{2} + \frac{3}{2 {(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.6.1.1.4

Berechne den Exponenten.

$\frac{3 \cdot 4}{2} + \frac{3}{2 {(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.6.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{12}{2} + \frac{3}{2 {(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.6.1.3

Dividiere $12$ durch $2$ .

$6 + \frac{3}{2 {(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.6.1.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.6.1.4.1

Schreibe $16$ als $2^{4}$ um.

$6 + \frac{3}{2 \cdot {(2^{4})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.6.1.4.2

Multipliziere die Exponenten in ${(2^{4})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 2.6.1.4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 + \frac{3}{2 \cdot 2^{4 (\frac{1}{2})}}$

Schritt 2.6.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.6.1.4.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$6 + \frac{3}{2 \cdot 2^{2 (2) \frac{1}{2}}}$

Schritt 2.6.1.4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 + \frac{3}{2 \cdot 2^{2 \cdot 2 \frac{1}{2}}}$

Schritt 2.6.1.4.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$6 + \frac{3}{2 \cdot 2^{2}}$

Schritt 2.6.1.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$6 + \frac{3}{2^{1 + 2}}$

Schritt 2.6.1.4.4

Addiere $1$ und $2$ .

$6 + \frac{3}{2^{3}}$

Schritt 2.6.1.5

Potenziere $2$ mit $3$ .

$6 + \frac{3}{8}$

Schritt 2.6.2

Um $6$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{8}{8}$ .

$6 \cdot \frac{8}{8} + \frac{3}{8}$

Schritt 2.6.3

Kombiniere $6$ und $\frac{8}{8}$ .

$\frac{6 \cdot 8}{8} + \frac{3}{8}$

Schritt 2.6.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{6 \cdot 8 + 3}{8}$

Schritt 2.6.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.5.1

Mutltipliziere $6$ mit $8$ .

$\frac{48 + 3}{8}$

Schritt 2.6.5.2

Addiere $48$ und $3$ .

$\frac{51}{8}$

Schritt 3

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 3.1

Benutze die Steigung $\frac{51}{8}$ und einen gegebenen Punkt $(16, 76)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (76) = \frac{51}{8} \cdot (x - (16))$

Schritt 3.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 76 = \frac{51}{8} \cdot (x - 16)$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache $\frac{51}{8} \cdot (x - 16)$ .

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Schritt 3.3.1.1

Forme um.

$y - 76 = 0 + 0 + \frac{51}{8} \cdot (x - 16)$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 76 = \frac{51}{8} \cdot (x - 16)$

Schritt 3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 76 = \frac{51}{8} x + \frac{51}{8} \cdot - 16$

Schritt 3.3.1.4

Kombiniere $\frac{51}{8}$ und $x$ .

$y - 76 = \frac{51 x}{8} + \frac{51}{8} \cdot - 16$

Schritt 3.3.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 3.3.1.5.1

Faktorisiere $8$ aus $- 16$ heraus.

$y - 76 = \frac{51 x}{8} + \frac{51}{8} \cdot (8 (- 2))$

Schritt 3.3.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y - 76 = \frac{51 x}{8} + \frac{51}{8} \cdot (8 \cdot - 2)$

Schritt 3.3.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$y - 76 = \frac{51 x}{8} + 51 \cdot - 2$

Schritt 3.3.1.6

Mutltipliziere $51$ mit $- 2$ .

$y - 76 = \frac{51 x}{8} - 102$

Schritt 3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Addiere $76$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \frac{51 x}{8} - 102 + 76$

Schritt 3.3.2.2

Addiere $- 102$ und $76$ .

$y = \frac{51 x}{8} - 26$

Schritt 3.3.3

Stelle die Terme um.

$y = \frac{51}{8} x - 26$

Schritt 4