Analysis Beispiele

$\frac{2}{\sqrt{x}}$ , $x = 4$

Schritt 1

Schreibe $\frac{2}{\sqrt{x}}$ als Gleichung.

$y = \frac{2}{\sqrt{x}}$

Schritt 2

Find the corresponding $y$ -value to $x = 4$ .

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Schritt 2.1

Setze $4$ für $x$ ein.

$y = \frac{2}{\sqrt{4}}$

Schritt 2.2

Vereinfache $\frac{2}{\sqrt{4}}$ .

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = \frac{2}{\sqrt{4}}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.2.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{2}{\sqrt{2^{2}}}$

Schritt 2.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$y = \frac{2}{2}$

Schritt 2.2.3

Dividiere $2$ durch $2$ .

$y = 1$

Schritt 3

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 4$ und $y = 1$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 3.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 3.3

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 3.3.1

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ als ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ um.

$2 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Schritt 3.3.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 3.3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Schritt 3.3.2.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{2}}]$

Schritt 3.3.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

Schritt 3.5

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 3.6

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$2 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 3.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 3.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$2 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

Schritt 3.8.2

Subtrahiere $2$ von $- 1$ .

$2 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

Schritt 3.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

Schritt 3.10

Kombiniere $x^{- \frac{3}{2}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Schritt 3.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

Schritt 3.12

Kombiniere $- 2$ und $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{- 2 x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

Schritt 3.13

Bringe $x^{- \frac{3}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 2}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 3.14

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 3.15

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.15.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{\frac{3}{2}}$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (x^{\frac{3}{2}})}$

Schritt 3.15.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 3.15.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 3.16

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 3.17

Bestimme die Ableitung bei $x = 4$ .

$- \frac{1}{{(4)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 3.18

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.18.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$- \frac{1}{{(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 3.18.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2^{2 (\frac{3}{2})}}$

Schritt 3.18.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.18.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{2^{2 (\frac{3}{2})}}$

Schritt 3.18.3.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{2^{3}}$

Schritt 3.18.4

Potenziere $2$ mit $3$ .

$- \frac{1}{8}$

Schritt 4

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 4.1

Benutze die Steigung $- \frac{1}{8}$ und einen gegebenen Punkt $(4, 1)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (1) = - \frac{1}{8} \cdot (x - (4))$

Schritt 4.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 1 = - \frac{1}{8} \cdot (x - 4)$

Schritt 4.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache $- \frac{1}{8} \cdot (x - 4)$ .

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Schritt 4.3.1.1

Forme um.

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{1}{8} \cdot (x - 4)$

Schritt 4.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 1 = - \frac{1}{8} \cdot (x - 4)$

Schritt 4.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 1 = - \frac{1}{8} x - \frac{1}{8} \cdot - 4$

Schritt 4.3.1.4

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{8}$ .

$y - 1 = - \frac{x}{8} - \frac{1}{8} \cdot - 4$

Schritt 4.3.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.3.1.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{8}$ in den Zähler.

$y - 1 = - \frac{x}{8} + \frac{- 1}{8} \cdot - 4$

Schritt 4.3.1.5.2

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$y - 1 = - \frac{x}{8} + \frac{- 1}{4 (2)} \cdot - 4$

Schritt 4.3.1.5.3

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$y - 1 = - \frac{x}{8} + \frac{- 1}{4 \cdot 2} \cdot (4 \cdot - 1)$

Schritt 4.3.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y - 1 = - \frac{x}{8} + \frac{- 1}{4 \cdot 2} \cdot (4 \cdot - 1)$

Schritt 4.3.1.5.5

Forme den Ausdruck um.

$y - 1 = - \frac{x}{8} + \frac{- 1}{2} \cdot - 1$

Schritt 4.3.1.6

Kombiniere $\frac{- 1}{2}$ und $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x}{8} + \frac{- - 1}{2}$

Schritt 4.3.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x}{8} + \frac{1}{2}$

Schritt 4.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - \frac{x}{8} + \frac{1}{2} + 1$

Schritt 4.3.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$y = - \frac{x}{8} + \frac{1}{2} + \frac{2}{2}$

Schritt 4.3.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = - \frac{x}{8} + \frac{1 + 2}{2}$

Schritt 4.3.2.4

Addiere $1$ und $2$ .

$y = - \frac{x}{8} + \frac{3}{2}$

Schritt 4.3.3

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

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Schritt 4.3.3.1

Stelle die Terme um.

$y = - (\frac{1}{8} x) + \frac{3}{2}$

Schritt 4.3.3.2

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{1}{8} x + \frac{3}{2}$

Schritt 5