Analysis Beispiele

$y = \frac{1}{3} \arctan (\frac{1}{2} x)$ , $(2, \frac{π}{12})$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 2$ und $y = \frac{π}{12}$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{3} \cdot \arctan (\frac{1}{2} x)$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{1}{2} x)]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{1}{2} x)]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \arctan (x)$ und $g (x) = \frac{1}{2} x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{1}{2} x$ .

$\frac{1}{3} (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x])$

Schritt 1.2.2

Die Ableitung von $\arctan (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x])$

Schritt 1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{1}{2} x$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{1 + {(\frac{1}{2} x)}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x])$

Schritt 1.3

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x])$

Schritt 1.3.2

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Schritt 1.3.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{(1 + {(\frac{x}{2})}^{2}) \cdot 3} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Schritt 1.3.2.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $1 + {(\frac{x}{2})}^{2}$ .

$\frac{1}{3 \cdot (1 + {(\frac{x}{2})}^{2})} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Schritt 1.3.3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3 (1 + {(\frac{x}{2})}^{2})} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.3.4

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{3 (1 + {(\frac{x}{2})}^{2})}$ .

$\frac{1}{2 (3 (1 + {(\frac{x}{2})}^{2}))} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{2})}^{2})} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{2})}^{2})} \cdot 1$

Schritt 1.3.6

Mutltipliziere $\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{2})}^{2})}$ mit $1$ .

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{2})}^{2})}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1

Wende die Produktregel auf $\frac{x}{2}$ an.

$\frac{1}{6 (1 + \frac{x^{2}}{2^{2}})}$

Schritt 1.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{6 \cdot 1 + 6 \frac{x^{2}}{2^{2}}}$

Schritt 1.4.3

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.3.1

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$\frac{1}{6 + 6 \frac{x^{2}}{2^{2}}}$

Schritt 1.4.3.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{6 + 6 \frac{x^{2}}{4}}$

Schritt 1.4.3.3

Kombiniere $6$ und $\frac{x^{2}}{4}$ .

$\frac{1}{6 + \frac{6 x^{2}}{4}}$

Schritt 1.4.3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $6 x^{2}$ heraus.

$\frac{1}{6 + \frac{2 (3 x^{2})}{4}}$

Schritt 1.4.3.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.3.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{1}{6 + \frac{2 (3 x^{2})}{2 (2)}}$

Schritt 1.4.3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{6 + \frac{2 (3 x^{2})}{2 \cdot 2}}$

Schritt 1.4.3.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{6 + \frac{3 x^{2}}{2}}$

Schritt 1.4.4

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{\frac{3 x^{2}}{2} + 6}$

Schritt 1.4.5

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.5.1

Faktorisiere $3$ aus $\frac{3 x^{2}}{2} + 6$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.5.1.1

Faktorisiere $3$ aus $\frac{3 x^{2}}{2}$ heraus.

$\frac{1}{3 \frac{x^{2}}{2} + 6}$

Schritt 1.4.5.1.2

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{1}{3 \frac{x^{2}}{2} + 3 \cdot 2}$

Schritt 1.4.5.1.3

Faktorisiere $3$ aus $3 \frac{x^{2}}{2} + 3 \cdot 2$ heraus.

$\frac{1}{3 (\frac{x^{2}}{2} + 2)}$

Schritt 1.4.5.2

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3 (\frac{x^{2}}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2})}$

Schritt 1.4.5.3

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3 (\frac{x^{2}}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2})}$

Schritt 1.4.5.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{3 \frac{x^{2} + 2 \cdot 2}{2}}$

Schritt 1.4.5.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{3 \frac{x^{2} + 4}{2}}$

Schritt 1.4.6

Kombiniere $3$ und $\frac{x^{2} + 4}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{3 (x^{2} + 4)}{2}}$

Schritt 1.4.7

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$1 \frac{2}{3 (x^{2} + 4)}$

Schritt 1.4.8

Mutltipliziere $\frac{2}{3 (x^{2} + 4)}$ mit $1$ .

$\frac{2}{3 (x^{2} + 4)}$

Schritt 1.5

Bestimme die Ableitung bei $x = 2$ .

$\frac{2}{3 ({(2)}^{2} + 4)}$

Schritt 1.6

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.6.1

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.6.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{2}{3 (4 + 4)}$

Schritt 1.6.1.2

Addiere $4$ und $4$ .

$\frac{2}{3 \cdot 8}$

Schritt 1.6.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.6.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$\frac{2}{24}$

Schritt 1.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $24$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.6.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (1)}{24}$

Schritt 1.6.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.6.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $24$ heraus.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 12}$

Schritt 1.6.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 12}$

Schritt 1.6.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{12}$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Benutze die Steigung $\frac{1}{12}$ und einen gegebenen Punkt $(2, \frac{π}{12})$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (\frac{π}{12}) = \frac{1}{12} \cdot (x - (2))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - \frac{π}{12} = \frac{1}{12} \cdot (x - 2)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Vereinfache $\frac{1}{12} \cdot (x - 2)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - \frac{π}{12} = 0 + 0 + \frac{1}{12} \cdot (x - 2)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - \frac{π}{12} = \frac{1}{12} \cdot (x - 2)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - \frac{π}{12} = \frac{1}{12} x + \frac{1}{12} \cdot - 2$

Schritt 2.3.1.4

Kombiniere $\frac{1}{12}$ und $x$ .

$y - \frac{π}{12} = \frac{x}{12} + \frac{1}{12} \cdot - 2$

Schritt 2.3.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.5.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$y - \frac{π}{12} = \frac{x}{12} + \frac{1}{2 (6)} \cdot - 2$

Schritt 2.3.1.5.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$y - \frac{π}{12} = \frac{x}{12} + \frac{1}{2 \cdot 6} \cdot (2 \cdot - 1)$

Schritt 2.3.1.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y - \frac{π}{12} = \frac{x}{12} + \frac{1}{2 \cdot 6} \cdot (2 \cdot - 1)$

Schritt 2.3.1.5.4

Forme den Ausdruck um.

$y - \frac{π}{12} = \frac{x}{12} + \frac{1}{6} \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.6

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $- 1$ .

$y - \frac{π}{12} = \frac{x}{12} + \frac{- 1}{6}$

Schritt 2.3.1.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y - \frac{π}{12} = \frac{x}{12} - \frac{1}{6}$

Schritt 2.3.2

Addiere $\frac{π}{12}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \frac{x}{12} - \frac{1}{6} + \frac{π}{12}$

Schritt 2.3.3

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.3.1

Um $- \frac{1}{6}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x}{12} - \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{12}$

Schritt 2.3.3.2

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $12$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{6}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x}{12} - \frac{2}{6 \cdot 2} + \frac{π}{12}$

Schritt 2.3.3.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$y = \frac{x}{12} - \frac{2}{12} + \frac{π}{12}$

Schritt 2.3.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{x}{12} + \frac{- 2 + π}{12}$

Schritt 2.3.3.4

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$y = \frac{x}{12} + \frac{- 1 (2) + π}{12}$

Schritt 2.3.3.5

Faktorisiere $- 1$ aus $π$ heraus.

$y = \frac{x}{12} + \frac{- 1 (2) - 1 (- π)}{12}$

Schritt 2.3.3.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (2) - 1 (- π)$ heraus.

$y = \frac{x}{12} + \frac{- 1 (2 - π)}{12}$

Schritt 2.3.3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{x}{12} - \frac{2 - π}{12}$

Schritt 2.3.3.8

Stelle die Terme um.

$y = \frac{1}{12} x - \frac{2 - π}{12}$

Schritt 3