Analysis Beispiele

$x^{4} - 13 x^{2} + 36$ ; $x = 2$

Schritt 1

Schreibe $x^{4} - 13 x^{2} + 36$ als Gleichung.

$y = x^{4} - 13 x^{2} + 36$

Schritt 2

Find the corresponding $y$ -value to $x = 2$ .

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Schritt 2.1

Setze $2$ für $x$ ein.

$y = {(2)}^{4} - 13 {(2)}^{2} + 36$

Schritt 2.2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 2^{4} - 13 {(2)}^{2} + 36$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = 2^{4} - 13 \cdot 2^{2} + 36$

Schritt 2.2.3

Entferne die Klammern.

$y = {(2)}^{4} - 13 {(2)}^{2} + 36$

Schritt 2.2.4

Vereinfache ${(2)}^{4} - 13 {(2)}^{2} + 36$ .

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Schritt 2.2.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.4.1.1

Potenziere $2$ mit $4$ .

$y = 16 - 13 {(2)}^{2} + 36$

Schritt 2.2.4.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = 16 - 13 \cdot 4 + 36$

Schritt 2.2.4.1.3

Mutltipliziere $- 13$ mit $4$ .

$y = 16 - 52 + 36$

Schritt 2.2.4.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 2.2.4.2.1

Subtrahiere $52$ von $16$ .

$y = - 36 + 36$

Schritt 2.2.4.2.2

Addiere $- 36$ und $36$ .

$y = 0$

Schritt 3

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 2$ und $y = 0$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 3.1

Differenziere.

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Schritt 3.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} - 13 x^{2} + 36$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 13 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 13 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 13 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 13 x^{2}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $- 13$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 13 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 13 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 13 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 x^{3} - 13 (2 x) + \frac{d}{d x} [36]$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 13$ .

$4 x^{3} - 26 x + \frac{d}{d x} [36]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 3.3.1

Da $36$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $36$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 x^{3} - 26 x + 0$

Schritt 3.3.2

Addiere $4 x^{3} - 26 x$ und $0$ .

$4 x^{3} - 26 x$

Schritt 3.4

Bestimme die Ableitung bei $x = 2$ .

$4 {(2)}^{3} - 26 \cdot 2$

Schritt 3.5

Vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.1.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$4 \cdot 8 - 26 \cdot 2$

Schritt 3.5.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $8$ .

$32 - 26 \cdot 2$

Schritt 3.5.1.3

Mutltipliziere $- 26$ mit $2$ .

$32 - 52$

Schritt 3.5.2

Subtrahiere $52$ von $32$ .

$- 20$

Schritt 4

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 4.1

Benutze die Steigung $- 20$ und einen gegebenen Punkt $(2, 0)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (0) = - 20 \cdot (x - (2))$

Schritt 4.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y + 0 = - 20 \cdot (x - 2)$

Schritt 4.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.3.1

Addiere $y$ und $0$ .

$y = - 20 \cdot (x - 2)$

Schritt 4.3.2

Vereinfache $- 20 \cdot (x - 2)$ .

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Schritt 4.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - 20 x - 20 \cdot - 2$

Schritt 4.3.2.2

Mutltipliziere $- 20$ mit $- 2$ .

$y = - 20 x + 40$

Schritt 5