Analysis Beispiele

$y = \frac{1}{x - 2}$ , $x = 7$

Schritt 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = 7$ .

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Schritt 1.1

Setze $7$ für $x$ ein.

$y = \frac{1}{(7) - 2}$

Schritt 1.2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.2.1

Entferne die Klammern.

$y = \frac{1}{7 - 2}$

Schritt 1.2.2

Entferne die Klammern.

$y = \frac{1}{(7) - 2}$

Schritt 1.2.3

Subtrahiere $2$ von $7$ .

$y = \frac{1}{5}$

Schritt 2

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 7$ und $y = \frac{1}{5}$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 2.1

Schreibe $\frac{1}{x - 2}$ als ${(x - 2)}^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{- 1}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x - 2$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 2$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x - 2]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 2]$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 2$ .

$- {(x - 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 2]$

Schritt 2.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$- {(x - 2)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- {(x - 2)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])$

Schritt 2.3.3

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- {(x - 2)}^{- 2} (1 + 0)$

Schritt 2.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$- {(x - 2)}^{- 2} \cdot 1$

Schritt 2.3.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- {(x - 2)}^{- 2}$

Schritt 2.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.5

Bestimme die Ableitung bei $x = 7$ .

$- \frac{1}{{((7) - 2)}^{2}}$

Schritt 2.6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.6.1

Subtrahiere $2$ von $7$ .

$- \frac{1}{5^{2}}$

Schritt 2.6.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$- \frac{1}{25}$

Schritt 3

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 3.1

Benutze die Steigung $- \frac{1}{25}$ und einen gegebenen Punkt $(7, \frac{1}{5})$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (\frac{1}{5}) = - \frac{1}{25} \cdot (x - (7))$

Schritt 3.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - \frac{1}{5} = - \frac{1}{25} \cdot (x - 7)$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache $- \frac{1}{25} \cdot (x - 7)$ .

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Schritt 3.3.1.1

Forme um.

$y - \frac{1}{5} = 0 + 0 - \frac{1}{25} \cdot (x - 7)$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - \frac{1}{5} = - \frac{1}{25} \cdot (x - 7)$

Schritt 3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - \frac{1}{5} = - \frac{1}{25} x - \frac{1}{25} \cdot - 7$

Schritt 3.3.1.4

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{25}$ .

$y - \frac{1}{5} = - \frac{x}{25} - \frac{1}{25} \cdot - 7$

Schritt 3.3.1.5

Multipliziere $- \frac{1}{25} \cdot - 7$ .

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Schritt 3.3.1.5.1

Mutltipliziere $- 7$ mit $- 1$ .

$y - \frac{1}{5} = - \frac{x}{25} + 7 (\frac{1}{25})$

Schritt 3.3.1.5.2

Kombiniere $7$ und $\frac{1}{25}$ .

$y - \frac{1}{5} = - \frac{x}{25} + \frac{7}{25}$

Schritt 3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Addiere $\frac{1}{5}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - \frac{x}{25} + \frac{7}{25} + \frac{1}{5}$

Schritt 3.3.2.2

Um $\frac{1}{5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$y = - \frac{x}{25} + \frac{7}{25} + \frac{1}{5} \cdot \frac{5}{5}$

Schritt 3.3.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $25$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.3.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{5}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$y = - \frac{x}{25} + \frac{7}{25} + \frac{5}{5 \cdot 5}$

Schritt 3.3.2.3.2

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$y = - \frac{x}{25} + \frac{7}{25} + \frac{5}{25}$

Schritt 3.3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = - \frac{x}{25} + \frac{7 + 5}{25}$

Schritt 3.3.2.5

Addiere $7$ und $5$ .

$y = - \frac{x}{25} + \frac{12}{25}$

Schritt 3.3.3

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

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Schritt 3.3.3.1

Stelle die Terme um.

$y = - (\frac{1}{25} x) + \frac{12}{25}$

Schritt 3.3.3.2

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{1}{25} x + \frac{12}{25}$

Schritt 4