Analysis Beispiele

$\log_{5} (1 + x^{2})$

Schritt 1

Schreibe $\log_{5} (1 + x^{2})$ als Funktion.

$f (x) = \log_{5} (1 + x^{2})$

Schritt 2

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \log_{5} (x)$ und $g (x) = 1 + x^{2}$ .

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Schritt 2.1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\log_{5} (u)] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Schritt 2.1.1.2

Die Ableitung von $\log_{5} (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u \ln (5)}$ .

$\frac{1}{u \ln (5)} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Schritt 2.1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $1 + x^{2}$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) \ln (5)} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere.

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Schritt 2.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) \ln (5)} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) \ln (5)} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.1.2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) \ln (5)} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) \ln (5)} (2 x)$

Schritt 2.1.2.5

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.1.2.5.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{(1 + x^{2}) \ln (5)}$ .

$\frac{2}{(1 + x^{2}) \ln (5)} x$

Schritt 2.1.2.5.2

Kombiniere $\frac{2}{(1 + x^{2}) \ln (5)}$ und $x$ .

$\frac{2 x}{(1 + x^{2}) \ln (5)}$

Schritt 2.1.3

Vereinfache.

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Schritt 2.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x}{1 \ln (5) + x^{2} \ln (5)}$

Schritt 2.1.3.2

Mutltipliziere $\ln (5)$ mit $1$ .

$\frac{2 x}{\ln (5) + x^{2} \ln (5)}$

Schritt 2.1.3.3

Stelle die Terme um.

$f' (x) = \frac{2 x}{x^{2} \ln (5) + \ln (5)}$

Schritt 2.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{2 x}{x^{2} \ln (5) + \ln (5)}$ .

$\frac{2 x}{x^{2} \ln (5) + \ln (5)}$

Schritt 3

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{2 x}{x^{2} \ln (5) + \ln (5)} = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{2 x}{x^{2} \ln (5) + \ln (5)} = 0$

Schritt 3.2

Setze den Zähler gleich Null.

$2 x = 0$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 3.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$x = 0$

Schritt 4

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $0$ .

$0$

Schritt 5

Nach dem Auffinden des Punktes, der die Ableitung $f' (x) = \frac{2 x}{x^{2} \ln (5) + \ln (5)}$ gleich $0$ oder undefiniert macht, ist das Intervall, in dem geprüft werden muss, wo $f (x) = \log_{5} (1 + x^{2})$ ansteigt und abfällt, gleich $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{2 (- 1)}{{(- 1)}^{2} \ln (5) + \ln (5)}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 2}{{(- 1)}^{2} \ln (5) + \ln (5)}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.2.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 2}{1 \ln (5) + \ln (5)}$

Schritt 6.2.2.2

Mutltipliziere $\ln (5)$ mit $1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 2}{\ln (5) + \ln (5)}$

Schritt 6.2.2.3

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$f' (- 1) = \frac{- 2}{\ln (5 \cdot 5)}$

Schritt 6.2.2.4

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$f' (- 1) = \frac{- 2}{\ln (25)}$

Schritt 6.2.3

Schreibe $\ln (25)$ als $\ln (5^{2})$ um.

$f' (- 1) = \frac{- 2}{\ln (5^{2})}$

Schritt 6.2.4

Zerlege $\ln (5^{2})$ durch Herausziehen von $2$ aus dem Logarithmus.

$f' (- 1) = \frac{- 2}{2 \ln (5)}$

Schritt 6.2.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 6.2.5.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$f' (- 1) = \frac{2 \cdot - 1}{2 \ln (5)}$

Schritt 6.2.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \ln (5)$ heraus.

$f' (- 1) = \frac{2 \cdot - 1}{2 (\ln (5))}$

Schritt 6.2.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (- 1) = \frac{2 \cdot - 1}{2 \ln (5)}$

Schritt 6.2.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (- 1) = \frac{- 1}{\ln (5)}$

Schritt 6.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (- 1) = - \frac{1}{\ln (5)}$

Schritt 6.2.7

Die endgültige Lösung ist $- \frac{1}{\ln (5)}$ .

$- \frac{1}{\ln (5)}$

Schritt 6.3

Bei $x = - 1$ ist die Ableitung $- \frac{1}{\ln (5)}$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- \infty, 0)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- \infty, 0)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f' (1) = \frac{2 (1)}{{(1)}^{2} \ln (5) + \ln (5)}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f' (1) = \frac{2}{1^{2} \ln (5) + \ln (5)}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (1) = \frac{2}{1 \ln (5) + \ln (5)}$

Schritt 7.2.2.2

Mutltipliziere $\ln (5)$ mit $1$ .

$f' (1) = \frac{2}{\ln (5) + \ln (5)}$

Schritt 7.2.2.3

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$f' (1) = \frac{2}{\ln (5 \cdot 5)}$

Schritt 7.2.2.4

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$f' (1) = \frac{2}{\ln (25)}$

Schritt 7.2.3

Schreibe $\ln (25)$ als $\ln (5^{2})$ um.

$f' (1) = \frac{2}{\ln (5^{2})}$

Schritt 7.2.4

Zerlege $\ln (5^{2})$ durch Herausziehen von $2$ aus dem Logarithmus.

$f' (1) = \frac{2}{2 \ln (5)}$

Schritt 7.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (1) = \frac{2}{2 \ln (5)}$

Schritt 7.2.5.2

Forme den Ausdruck um.

$f' (1) = \frac{1}{\ln (5)}$

Schritt 7.2.6

Die endgültige Lösung ist $\frac{1}{\ln (5)}$ .

$\frac{1}{\ln (5)}$

Schritt 7.3

Bei $x = 1$ ist die Ableitung $\frac{1}{\ln (5)}$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(0, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(0, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 8

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(0, \infty)$

Abfallend im Intervall: $(- \infty, 0)$

Schritt 9