Analysis Beispiele

$9 \cos^{4} (x)$

Schritt 1

Schreibe $9 \cos^{4} (x)$ als Funktion.

$f (x) = 9 \cos^{4} (x)$

Schritt 2

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 \cos^{4} (x)$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [\cos^{4} (x)]$ .

$f' (x) = 9 \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = \cos (x)$ .

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Schritt 2.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\cos (x)$ .

$f' (x) = 9 (\frac{d}{d u} (u^{4}) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f' (x) = 9 (4 u^{3} \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Schritt 2.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\cos (x)$ .

$f' (x) = 9 (4 \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Schritt 2.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $9$ .

$f' (x) = 36 (\cos^{3} (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Schritt 2.1.4

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$f' (x) = 36 \cos^{3} (x) (- \sin (x))$

Schritt 2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $36$ .

$f' (x) = - 36 \cos^{3} (x) \sin (x)$

Schritt 2.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 36 \cos^{3} (x) \sin (x)$ .

$- 36 \cos^{3} (x) \sin (x)$

Schritt 3

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 36 \cos^{3} (x) \sin (x) = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- 36 \cos^{3} (x) \sin (x) = 0$

Schritt 3.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\cos^{3} (x) = 0$

$\sin (x) = 0$

Schritt 3.3

Setze $\cos^{3} (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.1

Setze $\cos^{3} (x)$ gleich $0$ .

$\cos^{3} (x) = 0$

Schritt 3.3.2

Löse $\cos^{3} (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \sqrt[3]{0}$

Schritt 3.3.2.2

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

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Schritt 3.3.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$\cos (x) = \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 3.3.2.2.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$\cos (x) = 0$

Schritt 3.3.2.3

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (0)$

Schritt 3.3.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.4.1

Der genau Wert von $\arccos (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 3.3.2.5

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Schritt 3.3.2.6

Vereinfache $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 3.3.2.6.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 3.3.2.6.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.3.2.6.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 3.3.2.6.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 3.3.2.6.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.2.6.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Schritt 3.3.2.6.3.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 3.3.2.7

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 3.3.2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 3.3.2.7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 3.3.2.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 3.3.2.7.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 3.3.2.8

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 3.4

Setze $\sin (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.1

Setze $\sin (x)$ gleich $0$ .

$\sin (x) = 0$

Schritt 3.4.2

Löse $\sin (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.2.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (0)$

Schritt 3.4.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.2.1

Der genau Wert von $\arcsin (0)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 3.4.2.3

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π - 0$

Schritt 3.4.2.4

Subtrahiere $0$ von $π$ .

$x = π$

Schritt 3.4.2.5

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 3.4.2.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 3.4.2.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 3.4.2.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 3.4.2.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 3.4.2.6

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 3.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- 36 \cos^{3} (x) \sin (x) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, 2 π n, π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 3.6

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π n}{2}$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 4

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $\frac{π n}{2}$ .

$\frac{π n}{2}$

Schritt 5

Nach dem Auffinden des Punktes, der die Ableitung $f' (x) = - 36 \cos^{3} (x) \sin (x)$ gleich $0$ oder undefiniert macht, ist das Intervall, in dem geprüft werden muss, wo $f (x) = 9 \cos^{4} (x)$ ansteigt und abfällt, gleich $(- \infty, \frac{π n}{2}) \cup (\frac{π n}{2}, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{π n}{2}) \cup (\frac{π n}{2}, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, \frac{π n}{2})$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{π n}{2} - 1$ .

$f' (\frac{π n}{2} - 1) = - 36 \cos^{3} (\frac{π n}{2} - 1) \sin (\frac{π n}{2} - 1)$

Schritt 6.2

Die endgültige Lösung ist $- 36 \cos^{3} (\frac{π n}{2} - 1) \sin (\frac{π n}{2} - 1)$ .

$- 36 \cos^{3} (\frac{π n}{2} - 1) \sin (\frac{π n}{2} - 1)$

Schritt 6.3

Vereinfache.

$- 36 \cos^{3} (\frac{π n}{2} - 1) \sin (\frac{π n}{2} - 1)$

Schritt 6.4

Bei $x = \frac{π n}{2} - 1$ ist die Ableitung $- 36 \cos^{3} (\frac{π n}{2} - 1) \sin (\frac{π n}{2} - 1)$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- \infty, \frac{π n}{2})$ ab.

Abfallend im Intervall $(- \infty, \frac{π n}{2})$ da $f' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(\frac{π n}{2}, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{π n}{2} + 1$ .

$f' (\frac{π n}{2} + 1) = - 36 \cos^{3} (\frac{π n}{2} + 1) \sin (\frac{π n}{2} + 1)$

Schritt 7.2

Die endgültige Lösung ist $- 36 \cos^{3} (\frac{π n}{2} + 1) \sin (\frac{π n}{2} + 1)$ .

$- 36 \cos^{3} (\frac{π n}{2} + 1) \sin (\frac{π n}{2} + 1)$

Schritt 7.3

Vereinfache.

$- 36 \cos^{3} (\frac{π n}{2} + 1) \sin (\frac{π n}{2} + 1)$

Schritt 7.4

Bei $x = \frac{π n}{2} + 1$ ist die Ableitung $- 36 \cos^{3} (\frac{π n}{2} + 1) \sin (\frac{π n}{2} + 1)$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(\frac{π n}{2}, \infty)$ ab.

Abfallend im Intervall $(\frac{π n}{2}, \infty)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 8

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Abfallend im Intervall: $(- \infty, \frac{π n}{2}), (\frac{π n}{2}, \infty)$

Schritt 9